Diagrama de árbol, permutaciones y combinaciones

por Luz | May 6, 2020 | Matematicas

DIAGRAMA DE ÁRBOL

El diagrama de árbol es otro método sencillo para calcular el número total de resultados y probabilidades. Al aplicar este método, se hace una representación grafica que incluye cierto número finito de pasos.

Ejemplo:

En el menú de una fonda, solo ofrecen limonada que puede ser pequeña, mediana o grande y con hielo o sin hielo.

En total tenemos seis posibilidades.

EJERCICIOS DE PRACTICA I

1. Escoge un sándwich de pan blanco o integral que sea de jamón, pavo o bistec.
2. Quieres reservar un crucero, te dan la opción de viajar solo o con una pareja; con balcón o sin balcón.
3. Tomar clases de inglés o del GED, en línea, en colegio comunitario o iglesia.
4. Comprar un carro o camioneta; estándar (manual) o automática; gris, roja o azul marino.
5. Elegir un postre, puede ser pastel o helado de tamaño pequeña, mediana o grande de chocolate, vainilla o fresa.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTAR

Una manera mas fácil para calcular el número posible de resultados posibles, si no se tienen cantidades muy grandes, es simplemente contar las variables.

Para calcular los posibles resultados, idéntica los eventos y el numero de maneras en que puede ocurrir.

Ejemplo:

Carlos tiene la opción de tomar un examen el lunes, miércoles o el viernes a las 9:00 A.M., 1:00 P.M., 5:00 P.M. o a las 7:00 P.M. ¿Cuántas oportunidades tiene Carlos para tomar su examen?

EJERCICIOS DE PRACTICA II

Tip: Calcula el número de maneras en que ocurre cada evento y multiplica.

1. Hornear un pastel de zanahoria, de chocolate, de fresa o vainilla con cubierta de fresa, chocolate, frambuesa o banana.
2. Lanza cubos numerados de seis lados.
3. Las placas en el estado de Illinois tienen tres letras y tres números. ¿Cuá es el número total de placas de automóvil si los primeros tres caracteres son letras y los últimos tres son dígitos?
4. Cada tarjeta de seguro social tiene un número de identificación de nueve dígitos. ¿Cuántos números posibles de seguro social hay?

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

La permutación consiste en ordenar objetos de un grupo en un orden definido, sin repeticiones donde el numero de posibilidades va disminuyendo. Para resolver la permutación se hace uso de la multiplicación descomponiendo en factores el número que queremos permutar (n) ordenándolo de mayor a menor (1). Se representa con estos símbolos (n!)

Ejemplo:  4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24    (Tip: Para obtener los factoriales, empieza con el número dado y se multiplica por cada numero menor hasta llegar al uno.

Ejemplo II:

Pensemos que tienen las siguientes figuras geométricas, a cada una le asignamos un número, ¿cómo podemos ordenar las figuras? En total son ocho.

Identificamos la función factorial: 8!

Descomponemos en factores del mayor al menor:

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1  = 40320

En total hay 40320

También pueden pedir que elegir que se elija solo las primeras tres, en ese caso tendríamos:

8 x 7 x 6 = 336

Aplicando la formula nos debe dar el mismo resultado:

Donde n!  representa el valor que se va a factorizar

r representa el n

COMBINACIONES

Un arreglo o lista de cosas en que el orden no es importante se llama combinaciones. En estas el orden no importa.

Si aplicamos usando el ejemplo de las figuras geométricas enumeradas, pero ahora usamos las figuras 1, 2 y 3, veamos las posibilidades que tenemos si están ordenadas y sin estarlo.

En la permutación son 6 veces mas posibilidades.   3! = 3 x 2 x 1 = 6

Aplicando la formula:

El número de combinaciones de cosas se puede calcular dividiendo cada número de permutaciones del conjunto completo entre el número de maneras en que se puede arreglar cada conjunto mas pequeño.