Desigualdades, parte II
Una vez que has aprendido a identificar y aplicar las desigualdades en la recta numérica, puedes intentar resolver desigualdades expresadas en forma de ecuación. Para eso es indispensable saber resolver ecuaciones, veamos esta comparación para identificar las semejanzas y diferencias.
Una desigualdad se resuelve siguiendo los mismos pasos que se utilizan para resolver una ecuación, (solo recuerda que en lugar de tener el símbolo = vamos a tener algún símbolo de desigualdad).
EJEMPLO I
2x – 4 < – 2
PASO I
Hay que ordenar la desigualdad poniendo del lado derecho todos los números y dejando a la izquierda la “x”. Recuerda que al pasar un número de la izquierda a la derecha, cambia su signo, (si esta sumando, pasa restando; si está multiplicando pasa dividiendo o viceversa)
2x < – 2 + 4
PASO II
Simplificar si es necesario, en este caso simplificamos los números usando la ley de signos para suma y resta.
2x < 2
PASO III
Despejar el dos, como está multiplicando a la x, pasa dividiendo al otro lado del signo de desigualdad.
x < 2/2
PASO 4
Realizar la división de 2 entre 2 y obtienes el valor de la desigualdad. En este caso indica que el valor de x debe ser menor a 1 (0, –1, –2, –3, etc.).
x < 1
Representación en la recta numérica.
EJEMPLO II
–5x + 2 (x – 4) ≤ 7
PASO I
Simplificar, primero despejando paréntesis.
–5x +(2x – 8) ≤ 7
–5x +2x – 8 ≤ 7
PASO II
Pasar el -8 al lado derecho de la desigualdad. (Es negativo, pasa con signo positivo)
–5x +2x ≤ 7 + 8
PASO III
Sumar o restar términos semejantes en ambos lados de la desigualdad.
–3x ≤ 15
PASO IV
Despejar el -3. (Está multiplicando a la x, pasa del otro lado dividiendo)
x ≤ 15/–3
IMPORTANTE: Si en el último paso se multiplica un número negativo el símbolo de la desigualdad se invierte.
x ≥ –5
Finalmente solo se representa la desigualdad en la recta numérica.
Ejemplo III
3x – 6x – 10 < x + 6 + 4
PASO I
Simplificar ambos lados de la desigualdad 3x – 6x = –3x y 6 + 4 = 10 antes de despejar
– 3x – 10 < x + 10
PASO II
Despejar pasando los números con “x” a la izquierda y los números que no tienen incognita a la derecha cambiando su signo o poniendo el signo contrario.
–3x –x < 10 +10
PASO III
Simplificas ambos lados de la desigualdad
-4x < 20
PASO IV
El -4 está multiplicando a la “x”, lo despejamos dividiendo al 20 y pasa con su signo negativo
x < 20/–4
PASO 5: Dividimos 20 entre -4, recuerda que al dividir, los signos se multiplican y el signo de desigualdad cambia de dirección.
IMPORTANTE: Si en el último paso se multiplica un número negativo el símbolo de la desigualdad se invierte.
x > –5
Por último representas la desigualdad en la recta numérica.
EJERCICIOS DE PRACTICA
1. 2x < 12
2. 6x – 5x > –8 + 12
3. 2 (x + 5) ≤ 15 + 10 – 5
4. 3x + 5 –6x ≥ 20
5. 4x –9x +x –14 < 10
6. –3(x – 4) > 28 – 4
7. x – 4x – 6 ≥ 12
8. 2x – x + 8x – 2x ≤ 4 + 8 – 6 + 8
9. 2 (x – 6) < 2 – 8
10. 4 + 4 (x – 2) > 3 (x + 2)
RESPUESTAS
1. x < 6
2. x > 4
3. x ≤ 5
4. x ≤ – 5
5. x > – 6
6. x < – 4
7. x ≤ – 6
8. x ≤ 2
9. x < 3
10. x > 10