9ª CLASE DE ÁLGEBRA factorizar trinomios

9ª CLASE DE ÁLGEBRA factorizar trinomios

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Durante este verano 2019 las clases se van a impartir los jueves a las 8:00 pm hora este y los sábados a las 10:30 am hora este por el canal de YOUTUBE, una vez que se termine la clase vas a encontrar las tareas y el video publicado en nuestra pagina web.

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Factorizar polinomios

Factorización de trinomios – agrupación

EJERCICIOS DE PRACTICA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RESPUESTAS

  1. (n + 3) (n + 7)
  2. (m + 8) (m – 2)
  3. (z + 3 (z + 1)
  4. (x + 2) (x + 5)
  5. (n + 1) (n + 6)
  6. (x – 1) (n – 2)
  7. (x – 6) (x + 1)
  8. (n – 3) (n + 8 )
  9. (m + 7( (m – 2)
  10. (x + 5) (x – 2)
  11. (x – 9) (x + 4)
  12. (x – 10 ( (x + 3)
  13. (a + 9) (a – 2)
  14. (y – 5) (y – 4)
  15. (x – 3) (x + 2)
  16. (x – 3) (x – 1)
  17. (y + 6) (y – 5)
  18. (n – 10) (n + 4)
  19. (x + 2) (x – 1)
  20. (x – 1) (x – 8)
8ª CLASE DE ÁLGEBRA factorización

8ª CLASE DE ÁLGEBRA factorización

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Concepto de factorización

Máximo común factor

Factorizar polinomios

Factorización de trinomios cuadrados perfectos

EJERCICIOS DE PRACTICA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6ta. CLASE DE ÁLGEBRA- Funciones y ecuaciones lineales

6ta. CLASE DE ÁLGEBRA- Funciones y ecuaciones lineales

En esta clase vamos a cubrir todo lo relacionado con las funciones y los diferentes formatos en los que nos pueden plantear preguntas relacionadas con ecuaciones lineales. Si tienes dificultad con estos temas, asegurate de repasar todos los contenidos de la 5ta. clase porque es importante que aprendas los diferentes métodos para obtener la pendiente, representar una ecuación lineal en el Plano Cartesiano, obtener la ecuación de una recta y resolver ecuaciones lineales.

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Tipos de funciones – algebra

EJERCICIOS DE PRACTICA

RESPUESTAS

5ta. Clase de  ÁLGEBRA – ecuaciones lineales en el Plano Cartesiano

5ta. Clase de ÁLGEBRA – ecuaciones lineales en el Plano Cartesiano

En esta clase vamos a cubrir todo lo relacionado con las ecuaciones lineales, vamos a repasar lo básico del Plano Cartesiano, las partes de la formula y = mx + b, que es lo que representa cada parte de la formula, como obtener la pendiente de una recta  para finalmente graficar o representar la ecuación en el Plano Cartesiano. En seguida vas a encontrar un repaso de todos los temas por si quieres reforzar uno con mas calma y repasar. Una vez que se imparta la clase este sábado 15 de junio a las 10:00 am aparecerá publicada al final donde también vas a encontrar ejercicios de practica.

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Plano cartesiano

Pendiente en la recta

Métodos para obtener la pendiente

Ecuación de una recta

Buscar la recta de una ecuación

Ejercicios – ecuaciones lineales

EJERCICIOS DE PRACTICA  PARTE I

Obtén la ecuación de las siguientes rectas, (en la próxima clase repasamos como obtenerlas)

RESPUESTAS PARTE I

EJERCICIOS DE PRACTICA PARTE II

4ta. Clase de álgebra-Lenguaje algebraico y ecuaciones

4ta. Clase de álgebra-Lenguaje algebraico y ecuaciones

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Si necesitas revisar o estudiar mas el tema que abordamos en clase, lo puedes hacer en estos enlaces

Lenguaje algebraico

Ecuaciones de un solo paso

Ecuaciones

EJERCICIOS DE PRACTICA

RESPUESTAS

3ra. Clase de ÁLGEBRA- simplificar expresiones

3ra. Clase de ÁLGEBRA- simplificar expresiones

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Si necesitas revisar o estudiar mas el tema que abordamos en clase, lo puedes hacer en estos enlaces

Propiedad conmutativa, asociativa y distributiva

Eliminar signos de agrupación

EJERCICIOS DE PRACTICA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RESPUESTAS

    1. – 2x – 2y
    2. – 5m – 5n
    3. – p – q
    4. 8m + 8n
    5. – 3xy + 3mn
    6. – xy + 2y – 7y
    7. – 27
    8. – 8
    9. – 6
    10. 39
    11. – 17x + 18y
    12. x + 23y
    13. 7m – 2n
    14. 90
    15. 24
    16. – 57
    17. 28
    18. 3.5
    19. 20
    20. – 12
    21. – 9
    22. 12
    23. 12/5  o 2  2/5
    24. – 5
    25. 10
2da. CLASE DE ÁLGEBRA-MULTIPLICACIÓN DE TÉRMINOS

2da. CLASE DE ÁLGEBRA-MULTIPLICACIÓN DE TÉRMINOS

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SIGUIENTE CLASE

En la clase de hoy vamos revisamos el tema de LEY DE SIGNOS PARA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN y MULTIPLICACIÓN DE TÉRMINOS. También puedes revisar los videos y los temas que están en seguida para estudiar. Si después de hacerlo tienes alguna recomendación o encuentras los temas muy difíciles, me pueden dejar Tus dudas al final del articulo. 

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Si necesitas revisar o estudiar mas el tema que abordamos en clase, lo puedes hacer en estos enlaces

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS CON SIGNOS

EJERCICIOS

ELIMINAR SIGNOS DE AGRUPACIÓN

 

EJERCICIOS

MULTIPLICACIÓN DE TÉRMINOS

EJERCICIOS

EJERCICIOS

  1. (–3) (5)
  2. (4) (6) (2)
  3. (5) (3) (5) (2)
  4. (3) (5)
  5. (12) (2)
  6. (7) (3)
  7. 8(4) + 5(2)
  8. 3(2) – 6(5)
  9. 2(4) + 7(4)
  10. 5(8) + 4(3)
  11. 2x(x)
  12. 4x3y2(5x2y3)
  13. 5m2n4(2m2n3)
  14. 7z + (5z – z)
  15. 3x (x – x)
  16. 2xy (x + y)
  17. 5m (3m2m2)
  18. 6yz – (yz2+ yz)
  19. 4xyz (xyz – 6xyz)
  20. 15x2y3(2xy2 – xy)
  21. 3mn– (mn3+ mn)
  22. 4y32x (x2 – 3y3)
  23. 5z2(3z – 4z)
  24. 8x3y2(2xy2 – 4x)
  25. 6x + (8x)
  26. 2m2– 3(m2 + n)
  27. 4a3b2c (2a2b2c3)
  28. 4mn (2m)
  29. 7xy 2(xy)
  30. 5mn + 4(mn)
  31. 2(x + y) + 3x
  32. 5x (x + y) – 4x(2y)
  33. 6(m n) + 5(m + n)
  34. 8a(a + b) – 2(3a + 5b)
  35. 7(a + b c) + 5a (b + c)

RESPUESTAS

  1. 15
  2. – 48
  3.  150
  4. – 15
  5. – 24
  6. 21
  7. – 42
  8. 24
  9. – 20
  10. – 28
  11. – 2x2
  12. 20x5y5
  13. – 10m4n7
  14. 11z
  15. 0
  16. – 2x2y + 2xy2
  17. – 10m3
  18.  5yz – yz2
  19. – 20x2y2z2
  20. 15x3y5 – 15x3y4
  21. 2mn3 – mn
  22. 4y3 – 2x3 + 6xy3
  23. – 5z3
  24. 16x4y4 – 32x4y2
  25. 2x
  26. – 5m2 – 3n     
  27. – 8a5b4c4
  28. 8m2n
  29. 5xy
  30.  mn
  31. 5x + 2y
  32. 5x2 +13xy
  33. 11m – n
  34. 8a2 + 8ab – 6a -10b
  35. 7a + 7b – 7c + 5ab + 5ac
1ra. CLASE-ALGEBRA -TÉRMINOS SEMEJANTES

1ra. CLASE-ALGEBRA -TÉRMINOS SEMEJANTES

¡BIENVENIDOS!

SIGUIENTE CLASE

Esta es una serie de clases que vamos a impartir durante el verano. En esta primera clase revisamos el tema de SUMA Y RESTA DE NÚMEROS CON SIGNO Y SIMPLIFICACIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES.  Revisa el video los temas que están en seguida para estudiar. Si después de hacerlo tienes alguna recomendación o encuentras los temas muy difíciles, me pueden enviar un mensaje info@spanishged365.com o dejar Tus dudas al final del articulo. 

Durante este verano 2019 las clases se van a impartir los jueves a las 8:00 pm hora este y los sábados a las 10:00 am hora este por el canal de YOUTUBE, una vez que se termine la clase vas a encontrar las tareas y el video publicado en nuestra pagina web.

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PRÓXIMA CLASE DE ÁLGEBRA SE IMPARTIRA EL 25 DE MAYO A LAS 10:00 AM HORA ESTE

Si necesitas revisar o estudiar mas el tema que abordamos en clase, lo puedes hacer en estos enlaces.

SUMA DE NÚMEROS CON SIGNO

SUMA DE TÉRMINOS SEMEJANTES

DURANTE LA CLASE DE GEOMETRÍA ES ÚTIL USAR LA CALCULADORA, EN ESTE VIDEO EXPLICO COMO HACERLO PARA USARLA GRATIS POR 90 DÍAS.

LIGA PARA BAJAR LA CALCULADORA

EJERCICIOS DE PRACTICA I

  1. 8 – 7 + 4
  2. 4 + 5 – 12
  3. – 3 – 5 – 8
  4. 6 – 2 + 5
  5. – 4 – 3 –12
  6. + 18 – 2 – 5 + 4
  7. 5 + 3 – 9
  8. 6 – 1 – 5 + 4
  9. 5.4 + 2.3 – 6
  10. – 2.6 – 5.4 – 3.7
  11. 7.4 – 2.6
  12. 8.3 – 4.4
  13. – 3 – 5 – 9
  14. – 15 + 2
  15. – 12 + 14
  16. Una perdida de 5 y una ganancia de 7.
  17. Si la temperatura a las 5:00 am está a – 2 grados centígrados y para el medio día la temperatura está a 12 grados centígrados. ¿cuántos grados subió la temperatura?
  18. El balance de la tarjeta de crédito de Laura era de – $125, si ha hecho los siguientes abonos en los últimos cinco meses: $15, $12, $25, $12, $10. ¿Cuál es su saldo actual sin contar intereses?
  19. Miguel está recogiendo un sendero de 150 millas, si lleva caminando 4 días y en cada día recorre 15 millas, ¿Cuántas millas le faltan por recorrer?
  20. El ingreso semanal de Luisa es de $329. Si en la semana gasto $40 en gasolina, $80 en despensa, $20 en pago de tarjetas, $60 de luz y $40 del plan de teléfono, ¿cuál dinero le queda?

RESPUESTAS:

  1. 5
  2. – 3
  3. – 16
  4. 9
  5. – 19
  6. 15
  7. – 1
  8. 4
  9. 1.7
  10. – 11.7
  11. 4.8
  12. 3.9
  13. – 17
  14. – 13
  15. 2
  16. 2
  17. 14
  18. –  $51
  19. 90
  20. 89

 EJERCICIOS DE PRACTICA II

SUMA DE TÉRMINOS SEMEJANTES

  1. 2x – 5x + 9x
  2. 2x2 + 7x + x – 8x2
  3. 5xy – 3x + 4xy
  4. 6x – 8y – 4y
  5. 3y + 5y2 – 7y + x
  6. 8z + 3xy – 12z
  7. 2n + 5m – 9n
  8. 10x + 4y2 – y2
  9. 6z – 4z + 2z
  10. 3x – 7y + 5x + 4y
  11. 2x + 5y – 2y
  12. 3xy + 8xy
  13. 4y2 + 5y2 -12y2
  14. 12xy + 9x – 3xy
  15. 8x2 + 3x3 +7x2
  16. 9n + 7n – 2n + 5mn
  17. 3x + 5xy + 8x – 3x
  18. 3xy – 6xy + 8x2
  19. – 8xy + 4xy – xy
  20. 3x2 + 6x2 – 3x
  21. x + 3xy – 6x – 2x + 8xy
  22. m + 4m – 12m + 11n
  23. 24m2n – 2mn + 12m2n
  24. 7y2 + 18y2 – 13y2
  25. 8n – 4mn + 4n – 3mn
  26. 9z + 8zy2 – 5z + zy2 + 15xy2
  27. 6b – 3b + 8a – 8b + a
  28. 3c + 2d – 6c + 5d
  29. 15mn + mn – 8m – 25mn
  30. 5x2y + 2xy – 8xy + xy

RESPUESTAS

  1. 6x
  2. – 6x2 + 8x
  3. 9xy – 3x
  4. 6x – 12y
  5. x – 4y +5y2
  6. 3xy – 4z
  7. 5m – 7n
  8. 10x + 3y2
  9. 4z
  10. 8x – 3y
  11. 2x + 3y
  12. 11xy
  13. – 3y2
  14. 9x + 9xy
  15. 3x3 + 15x2
  16. 14n + 5mn
  17. 8x + 5xy
  18. 8x2 – 3xy
  19. – 5xy
  20. 9x2 – 3x
  21. – 7x + 11xy
  22. – 7m + 11n
  23. 36m2n – 2mn
  24. 12y2
  25. – 7mn + 2n
  26. 4z + 24xy2
  27. 9a – 5b
  28. – 3c + 7d
  29. – 9mn – 8m
  30. 5x2y – 5xy
Curso en línea GRATUITO  de ÁLGEBRA  BÁSICA  – UNAM

Curso en línea GRATUITO de ÁLGEBRA BÁSICA – UNAM

La UNAM ofrece varios cursos en línea, completamente gratuitos, por medio de la plataforma CURSELA, entre ellos esta del de ÁLGEBRA BÁSICA que es de mucha utilidad para los estudiantes que se están preparando para presentar el examen del GED, HiSET, TASC, CENEVAL o incluso cualquier examen que aborde el tema. 

Para tomar el curso deben activar una cuenta en la plataforma COURSERA. Si inicias el curso y consideras que es un poco difícil, estudia los TEMAS PREVIOS incluidos abajo.

El curso comprende cinco unidades  y se da una semana para terminar cada unidad:

Unidad I NUMERACIÓN Y LENGUAJE ALGEBRAICO

Unidad II ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Unidad III POLINOMIOS

Unidad IV  PRODUCTOS NOTABLES

Unidad V SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO POR FACTORIZACIÓN

Cada unidad incluye en promedio diéz temas a cubrir, ejercicios de practica y un examen final. 

 

TEMAS PREVIOS

Si inician la clase y la encuentran un poco difícil, les recomiendo estudien los siguientes temas ya que hay temas que no se cubren y que son indispensables para entender lo abordado en la clase.

Para estudiar los temas, solo dale click a cada uno. Si hay algún enlace que no funciona o tienes alguna duda, puedes dejar tus comentarios al final de la columna.

ÁLGEBRA I

SUMA Y RESTA 

 

MULTIPLICACIÓN

 

DIVISIÓN

 

ECUACIONES Y OTROS TEMAS

​​

DESIGUALDADES

 

PLANO CARTESIANO, ECUACIONES LINEALES, PENDIENTE Y DISTANCIA

 

ECUACIONES SIMULTANEAS

 

TRINOMIOS CUADRADOS  

 

FACTORIZARCIÓN

 

RADICALES

Eliminar signos de agrupación

Eliminar signos de agrupación

El signo de agrupación que se usa con más frecuencia es el paréntesis, también tenemos los corchetes [ ] y las llaves { }. En esta lección vamos a trabajar con los paréntesis donde el objetivo es eliminarlos para poder llevar a cabo las operaciones y resolver los ejercicios. 

El primer paso para eliminar paréntesis es aplicar la ley de signos de multiplicación y al hacerlo tenemos:

Siguiendo la ley de signos vamos a resolver el siguiente ejemplo:

Ejemplo I

(-2) (-4)

Cuando se tienen dos o mas números dentro de un paréntesis, indica multiplicación y el primer paso es MULTIPLICAR SIGNOS

PASO I 

MULTIPLICAR SIGNOS

Menos por menos nos da mas.

 + 

PASO II

MULTIPLICAR NÚMEROS

Dos por cuatro es 8

R = 8

Ejemplo II

 5 – ( 6) + 4

PASO I

Los números que no tienen paréntesis pasan igual, y se multiplican los signos que estan junto al paréntesis  -(6)   -Si un número no tiene signo, su signo es positivo)

5 – 6 + 4

PASO II 

Se suman y restan los números de izquierda a derecha.

5 – 6 + 4 Suma los positivos 5 + 4 = 9

9 – 6

R = 3

Revisa el siguiente video para mas ejemplos:

Ejercicios

1.   (–3) (4)

2.    – 4 + (2)

3.    6 – (– 4) – 2

4.    (–2) (– 4) ( – 3)

5.    – 3 – (4) + 7

6.    –2 – (3) – (– 8)

7.    – 9 + (– 4) 

8.    4 – (– 2) + 8

9.    (– 2) (– 5) (– 4) (– 3)

10.   3 (– 2)

11.   – 4 (2) + 6 (– 3)

12.   – 8 – (–2)

RESPUESTAS

1.     – 12

2.    – 2 

3.    8

4.    – 24 

5.    0

6.    3

7.    – 13

8.    14

9.    120

10.  – 6

11.  – 26 

12.  – 6  

Fórmula cuadratica usando la calculadora  TI-30XS MultiView

Fórmula cuadratica usando la calculadora TI-30XS MultiView

Resolver los trinomios cuadrados es sencillo si se tienen conocimientos básicos de la ley de signos para multiplicar y si incluye raíces cuadradas perfectas. 

Y a pesar de que hay varios métodos para resolverlo, entre ellos la factorización, esta se puede dificultar cuando no se tienen número enteros.

Si se trata de trinomios cuadrados perfectos o de números enteros se recomienda aprender a aplicar la fórmula cuadratica de manera manual. Una vez aprendida, es indispensable también practicar usando la calculadora, sobre todo cuando se tienen trinomios representados con números racionales (fracciones) o decimales.

La siguiente imagen muestra las teclas que se usan en la calculadora TI-30XS MultiView para resolver una ecuación cuadrática o de segundo grado.

Pon especial atención a los signos negativos, uno esta entre paréntesis (-) en la parte inferior junto a la tecla «enter», otro no tiene paréntesis y esta arriba del signo +. Ambos se van a usar.

Ejemplo I

x2 + 3x – 10

Paso I  Asignar valores (para aprender a asignar los valores, revisa el video)

a = 1

b = 3

c = – 10

Paso II    Sustituir los valores  de ab y c en la fórmula

IMPORTANTE: Para la primera parte en el valor de «b» se deben multiplicar los signos antes de ponerlos en la calculadora, en este caso multiplicar  (+3) menos por mas da menos. Por esa razon queda 3.

Paso III. Una vez asignados los valores, puedes introducirlos en la calculadora, revisa el video y se muestra paso a paso como hacerlo. Después del video estan los pasos escritos como referencia. 

Los valores en la calculadora se ponen en el orden que se indica a continuación:

  1. Tecla “on” (Para prenderla)
  2. n/d (Para indicar la fracción)
  3. (Para indicar el signo negativo usando la tecla (-)
  4. 3
  5. 2nd (Para activar la función de raíz)
  6. x2  (para indicar la raíz cuadrada)
  7. 3
  8. x(Para elevar el número al cuadrado)
  9. (Este signo negativo es el que está arriba del signo +, no el que está entre paréntesis)
  10.  4
  11. (1) (Entre paréntesis el uno para indicar la multiplicación)
  12. (-10) [Se repite con el 10 pero se usa el signo negativo que esta entre paréntesis (-)]
  13. cursor hacia abajo (circulo)
  14. 2
  15. (1) (Entre paréntesis el uno para indicar multiplicación)
  16. Enter (Para terminar la operación)

Con esto se obtiene un valor de «x» pero todas las ecuaciones cuadraticas tienen dos valores para «x». Para obtener el otro valor hay que repatir todos los pasos y solo en el paso 5 poner el signo negativo que no esta entre paréntesis.

EJERCICIOS DE PRACTICA

Resuelve asignando valores para «x» y posteriormente poniendo los valores en la calculadora.

1. x+ 7x + 12

2. x2 + 3x  40

3. x2 + 5x  14

4.  x2 + 8x + 15

5. 2x2 + x  10

RESPUESTAS

1.     x =  3,    x =  4

2.     x =  8,    x = 5

3.     x = 2,     x = – 7

4.     x =  3,   x =  5

5.     x = 2,     x =  5/2

Identificar operaciones básicas de álgebra

Identificar operaciones básicas de álgebra

Una de las dificultades que enfrenan los estudiantes al aprender Álgebra es la confusión entre tantos números, letras y signos. Para facilitar este proceso de aprendizaje es recomendable identificar primero que tipo de operación se debe hacer, estas son las más básicas de suma, resta, multiplicación y división. 

Primero, vamos a recordar las reglas de signo para suma y resta.

I. Números con signos iguales se suman: 

  • – 4 – 5 = – 9
  • + 4 + 5 = + 9

II. Números con signos diferentes se restan y se deja el signo del mayor: 

  • + 4 – 5 = – 1
  • – 4 + 5 = + 1

Solo se van a sumar o restar los TERMINOS SEMEJANTES que comparten la misma incognita (letra) y el mismo exponente.

  • 2x2  + 6x2 – 8x2   (Todos son semejantes)
  • 2x2  + 6x3 – 8x     (Ninguno es semejantes, comparten la misma incognita – letra – pero diferente exponente)

Para aprender a sumar y restar terminos semejantes visita este enlace.

El siguiente paso es aprender a distinguir cuando se debe multiplicar teniendo presente siempre la ley de signos:

I. Números con signos iguales da positivo:

  • + por + = +
  • –  por – =  –

II. Números con singos diferenes da negativo:

  • + por – = –
  • – por + = –

III. Indica que se esta multiplicando cuando:

  • 2x -hay un número y letra juntos
  • 2(x) – hay paréntesis
  • 2 • x – hay un punto entre el número y la letra u otro número
  • 2 * x – hay un asterisco entre el número y la letra
  • ¾x  – hay una fracción junto a la letra

IV. Pasos para multiplicar

  • Primero se multiplica el signo
  • Segundo, se multiplican los coeficientes (números)
  • Tercero, se multiplican las incognitas (letras) – sumando exponentes
  • Cuarto, simplificar sumando y restando si es necesario

Para aprender a multiplicar términos, visita este enlace

Otra operación básica es la división 

I. Pasos para dividir

  • Primero se multiplica el signo
  • Segundo, se dividen los coeficientes (números)
  • Tercero, se dividen las incognitas (letras) – RESTANDO exponentes

Para aprender a dividir, visita este enlace.

EJERCICIOS DE PRACTICA

1. 3x + 6y – 4y

2. 2x – (x + 5) + 7x

3. 2xy + 8x – y(x + 5)  donde x = 3, y = -1

4. n + 6(m – n) – 5m  donde m = 2, n = 5

5. 3x + 5y – 4x – 8x + y

6. 4(x + y) – 4x + 6y – 2(x +3) donde x = -1, y = 2

7. m + n – 8m 

8. x + y   donde x = -2, y = 3

9. m(n + 5) – 9m  donde m = 4, n = 0

10. 3x – 6x + 9y – y

RESPUESTAS

1. 3x + 2y

2. 8x + 5

3. 26

4. – 23

5. – 9x + 6y

6. 16

7. – 7m + n

8. 1

9. – 16

10. – 3x + 8y

Tipos de funciones – algebra

Tipos de funciones – algebra

Una función es una relación numérica de valores que tienen una relación de dependencia, quiere decir que si tenemos dos cantidades o valores numéricos el primero va a depender siempre del segundo.  

Un ejemplo sencillo para entender una función son las semanas laborales, si una persona gana $300 durante una semana laboral. Para ganar $600 debe trabajar 2 semanas y así sucesivamente. El ingreso que obtenga siempre va a depender del número de semanas que trabaje. ¡Sencillo, ¿verdad?! 

Ahora, hay una variedad inmensa de funciones, pero ahora nos vamos a enfocar en las cuatro mas comunes, algunas mas complicadas que otras: constante, lineal, cuadratica y cúbica.

FUNCIÓN CONSTANTE

La función es constante cuando permanece siempre igual, sin importar cual sea el valor de entrada.

La fórmula para esta función es fx= c

 

FUNCIÓN LINEAL

Esta función nos permite dibujar una linea recta y se forma usando la fórmula fx = mx + b donde “m” es la pendiente (inclinación de la recta) y “b” es el intercepto en “y”. Ahora por cada valor que le demos a la “x” vamos a obtener un valor correspondiente para “y” (fx).

Para aprender mas sobre este tema se pueden estudiar los siguientes enlaces.

Pendiente

Obtener la ecuación de una recta

Graficar una ecuación

fx = 2x + 1

fx = 2(1) + 1

fx = 2 + 1

fx = 3

FUNCIÓN  CUADRATICA

fx = ax2 + bx + c

La función cuadratica es un polinomio de segundo grado, siempre va a cambiar de dirección en un punto que se llama VÉRTICE

Siempre que el valor de +ax2 es positivo, la dirección de la parábola va hacia arriba (como una U). Siempre que el valor de -ax2 es negativo, la dirección de la parábola va hacia abajo (como una «U» invertida).

Los puntos claves en una parábola son el vértice, las raíces y el intercepto en «y».

Para aprender a obtener los valores en la parábola visita esta lección.

Otra pista importante en las funciones cuadraticas es que mientras mas chico sea el valor de “ax» mas ancha va a ser la parábola.

FUNCIÓN CÚBICA

f(x)= ax3 + bx– cx – d

Una función cúbica es un polinomio de tercer grado. Muchos de estos polinomios tienen tres raíces, quiere decir que la grafica va a tener tres puntos que atraviesan «x».

Si la «+ax3» es positiva, la gráfica va a iniciar de abajo hacia arriba (de izquierda a derecha). 

Si la «- ax3« es negativa, la gráfica va a iniciar de arriba hacia abajo (de izquierda a derecha).

Ejemplo:

f(x)= x3 + x– 4x – 4

0 = x3 + x2 – 4x – 4  Se iguala a cero el polinomio. 

0 = (x3 + x2) + (- 4x – 4) Se agrupa en pares.

0 = x(x +1) – 4 (x + 1)Se factoriza cada factor.

0 =  (x + 1) (x2 – 4) Se agrupan (los que quedan fuera del paréntesis forman otro par).

0 =  (x + 1) (x + 2) (x – 2) Se factoriza el  (x2 – 4).

x = {- 1, – 2, + 2}  Los tres valores de «x» son los números que quedan de la factorización pero con signo contrario.

Para representar las coordenadas, los valores en «y» siempre van a ser cero. Así tenemos: (-1, 0), (-2, 0) y ( 2, 0)

Otro dato importante es el intercepto en «y» que siempre a a ser el valor de «d», en este caso, el -4 y su coordenada quedaría (0, -4).

Ecuaciones simultáneas – método de sustitución

Ecuaciones simultáneas – método de sustitución

Si tenemos dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas podemos buscar en punto de intersección de ambas aplicando tres métodos: de igualdad, de sustitución y de reducción (suma o resta).

Antes de continuar con el tema, revisa los temas previos 

Plano cartesiano

Pendiente

Métodos para obtener la pendiente

Graficar una ecuación

Ecuación de una recta

En esta ocasión vamos a revisar el método de sustitución para lo cual vamos a seguir los siguientes pasos.

1) 2x + y = 7
2) x + 3y = 11

PASO I
Elegir una de las ecuaciones y despejar una de las variables, en este caso vamos a despejar la “y” de la ecuación 1.
2x + y = 7  Despejando tenemos    y = 7 – 2x

PASO II
El valor de “y” (7 – 2x)    se sustituye en la ecuación 2 y tenemos:
x + 3(7 – 2x) = 11

PASO III
Resolvemos para encontrar el valor de “x”
x + 21 – 6x = 11
–5x = 11 – 21
x = – 10 ÷ – 5
x = 2

PASO IV
Sustituimos el valor de “x” en cualquiera de las ecuaciones
2 + 3y = 11
3y = 11 – 2
3y = 9
y = 9 ÷ 3
y = 3

El punto donde se cruzan ambas rectas es (2, 3)

Para comprobar se pueden asignar diferentes valores a la “x” o a la “y” en ambas ecuaciones

Representando las funciones en el Plano Cartesiano las rectas quedan de esta manera:

EJERCICIOS DE PRACTICA

  1. a) 3x + 2y = 8             b) 5x – y   = 9
  2.  a) 8x + 5y = 34          b) 4x – 2y = 8
  3.  a) 2x – 6y = – 26       b) 15x + 3y = 93
  4.  a) 9x – 15y = –39      b) 15x – 4y = –23
  5.  a) 2x + 5y = 30          b) 6x + 4y = 46
  6.  a) 3y + 5x = 4            b) 6y – 10x = –32
  7.  a) 14y – 75x = – 38   b) –2y + 9x = 2
  8.  a) 24x – 3y = –45      b) –12x + 5y =19
  9.  a) 11y – 4x = 56        b)  –15y + 2x = – 66
  10.  a) 18x – 6y = 6          b)  21x – 24y = –117
  11.  a)  6x – 2y = 26         b) 3x + 18y = –63
RESPUESTAS
1. x = 2, y =1
2. x = 3, y = 2
3. x = 5, y = 6
4. x = -1, y = 2
5. x = 5, y = 4
6. x = 2, y = -2
7. x = 2,  y = 8
8. x = -2, y = -1
9.  x = -3, y = 4
10. x = -1, y = -4
11. x = 3, y = -4

 

División de polinomios

División de polinomios

Para entender la división en algebra hay que saber dividir números naturales ya que se siguen los mismos pasos que una división regular. Además de eso es importante saber y dominar los siguientes temas:

Una vez repasados esos temas hay que aprender las partes de la división y los pasos a seguir.

Ejemplo 

3m2 – 13m – 10   entre  m – 5

PASOS I  Ordenar el dividendo y el divisor en relación a la incógnita o letra (del exponente mas grande al mas chico. Poner dentro el dividendo y fuera el divisor. 

                    

PASO II  Dividir el primer término del dividendo (3m2) entre el primer término del divisor (m). La respuesta se pone en la parte superior y es el primer termino del cociente.

                    

PASO III  Se multiplica el primer termino del cociente que se obtuvo de la división (3m) y después multiplica por todo el divisor (m – 5). La respuesta se escribe bajo el dividendo en el termino que corresponda para restarlo. IMPORTANTE: como se va a restar, se cambia el signo. Las respuestas de la multiplicación fueron 3m2  y – 15m, las escribimos – 3m2  y 15m.

                    

PASO IV  Se restan los terminos semejantes y el -10 se baja, nos queda 2m – 10.

                   

PASO V Una vez que restamos, dividimos el primer término de la respuesta (2m) entre el primer término del divisor (m)  y lo colocamos con su signo en la parte superior (lugar del cociente).

                  

PASO VI Este segundo término del cociente (2) se multiplica por todo el divisor (m – 5) y la respuesta se resta del dividendo, recuerda!!!! Cambiando el signo.

                 

Al restar nos queda cero. Y podemos hacer la comprobación multiplicando (m – 5) por (3m + 2)

              

Ejercicios:

  1. n2 + 2n – 15 entre n – 3
  2. x2 + 2x – 8  entre x – 2 
  3. y2 – 10y + 24  entre y – 6 
  4. 2a2 – a – 6 entre 2a + 3 
  5. 5a2 + 2z – 8 entre 3a – 2 

RESPUESTAS

  1. n + 5
  2. x + 4
  3. y – 4 
  4. 2a + 3
  5. 5a + 4