En este capítulo vamos a revisar como resolver las inecuaciones con dos variables y graficarlas en el Plano Cartesiano. Para ello es importante que se tengan los siguientes conocimientos previos:
- Plano Cartesiano
- Pendiente en una recta
- Métodos para obtener la pendiente
- Como graficar una ecuación lineal
- Como obtener la ecuación de una recta
- Inecuaciones I
- Inecuaciones II
Ahora que ya sabes resolver ecuaciones lineales y graficarla, vamos a ver las diferencias entre éstas y las inecuaciones lineales.
Los pasos para resolver las inecuaciones lineales son los mismos que seguimos en las ecuaciones, también representamos la recta en el plano cartesiano, pero con una pequeña diferencia.
Revisa la imagen presentada en seguida y ve como se grafican las inecuaciones dependiendo de cada signo: <, ≤, >, ≥
Como puedes ver, seguimos el mismo formato de la formula y = mx + b solo aplicando los símbolos de las inecuaciones. Hay que tener siempre presente si usamos los símbolos (≤ o ≥) los valores en la recta están incluidos, en los símbolos (< o >) los valores de la recta no incluyen la solución.
Ahora veamos un ejemplo: y ≤ 3x – 2
Pistas: tenemos el símbolo ≤, por lo tanto, la recta va a ser solida y la parte inferior va a ir sombreada.
Paso I
Sustituye por lo menos dos valores en la variable “x” para obtener los valores de “y”
Cuando x = 0
- y ≤ 3x – 2
- y ≤ 3(0) – 2
- y ≤ – 2
La respuesta nos indica que los valores de “y” son iguales o menores a -2.
Cuando x = 2
- y ≤ 3x – 2
- y ≤ 3(2) – 2
- y ≤ 6 – 2
- y ≤ 4
La respuesta nos indica que los valores de “y” son iguales o menores a 1.
PASO II
Ubica las coordenadas (0, -2) y (2, 4) en el Plano Cartesiano y dibuja la recta.
Recuerda: La línea es solida porque tenemos el símbolo ≤.
Paso III
Sombrea la parte inferior de la línea. (Recuerda, siempre que tenemos los símbolos < y ≤ sombreamos la parte inferior de la recta)
Problema verbal
Las inecuaciones también pueden presentarse como problema verbal, para resolverlo primero hay que representar la inecuación y después resolverla siguiendo los pasos anteriores.
1. La entrada para el carnaval de la escuela cuesta $4.5 para los adultos y $3.00 para los niños. La escuela necesita obtener por lo menos $135 en entradas para cubrir los gastos.
Usando la “x” para representar el número de boletos vendidos a adultos y “y” el número de boletos vendidos a los niños, escribe y grafica la inecuación para el monto que la escuela gana con la venta de los boletos.
Partes clave de la inecuación:
- 4.5x representa los boletos vendidos a adultos.
- 3y representa los boletos vendidos a niños.
- Se deben recaudar mínimo $135 o más con la venta de boletos; por eso usamos el signo ≥
Asi tenemos 4.5x + 3y ≥ 135, para resolverla primero se da el valor de cero a la «x» y obtenemos el valor de «y».
- 4.5x + 3y ≥ 135
- 4.5(0) + 3y ≥ 135
- 3y ≥ 135
- y ≥ 135/3
- y ≥ 45
Ahora asigna el valor de cero a la «y» para encontrar el valor de «x».
- 4.5x + 3y ≥ 135
- 4.5x + 3(0) ≥ 135
- 4.5x + 3(0) ≥ 135
- 4.5x ≥ 135
- x ≥ 135/4.5
- x ≥ 30
Al representarlo en el Plano Cartesiano queda de la siguiente manera y como tenemos el signo ≥ sombreamos la parte de encima.
2. Si se vendieron 25 entradas para niños, ¿cuántos boletos para adultos se deben vender para cubrir los gastos?
Para este problema, nos están dando el número de boletos vendidos, solo hay que sustituir ese valor en la inecuación.
- 4.5x + 3y ≥ 135
- 4.5x + 3(25) ≥ 135
- 4.5x + 75 ≥ 135
- 4.5x ≥ 135 – 75
- 4.5x ≥ 60
- x ≥ 60/4.5
- x ≥ 13.3
Como la incognitas «y» y «x» representan boletos, el 13.3 se redondea a 14
EJERCICIOS DE PRACTICA
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