Identificar operaciones básicas de álgebra

Identificar operaciones básicas de álgebra

Una de las dificultades que enfrenan los estudiantes al aprender Álgebra es la confusión entre tantos números, letras y signos. Para facilitar este proceso de aprendizaje es recomendable identificar primero que tipo de operación se debe hacer, estas son las más básicas de suma, resta, multiplicación y división. 

Primero, vamos a recordar las reglas de signo para suma y resta.

I. Números con signos iguales se suman: 

  • – 4 – 5 = – 9
  • + 4 + 5 = + 9

II. Números con signos diferentes se restan y se deja el signo del mayor: 

  • + 4 – 5 = – 1
  • – 4 + 5 = + 1

Solo se van a sumar o restar los TERMINOS SEMEJANTES que comparten la misma incognita (letra) y el mismo exponente.

  • 2x2  + 6x2 – 8x2   (Todos son semejantes)
  • 2x2  + 6x3 – 8x     (Ninguno es semejantes, comparten la misma incognita – letra – pero diferente exponente)

Para aprender a sumar y restar terminos semejantes visita este enlace.

El siguiente paso es aprender a distinguir cuando se debe multiplicar teniendo presente siempre la ley de signos:

I. Números con signos iguales da positivo:

  • + por + = +
  • –  por – =  –

II. Números con singos diferenes da negativo:

  • + por – = –
  • – por + = –

III. Indica que se esta multiplicando cuando:

  • 2x -hay un número y letra juntos
  • 2(x) – hay paréntesis
  • 2 • x – hay un punto entre el número y la letra u otro número
  • 2 * x – hay un asterisco entre el número y la letra
  • ¾x  – hay una fracción junto a la letra

IV. Pasos para multiplicar

  • Primero se multiplica el signo
  • Segundo, se multiplican los coeficientes (números)
  • Tercero, se multiplican las incognitas (letras) – sumando exponentes
  • Cuarto, simplificar sumando y restando si es necesario

Para aprender a multiplicar términos, visita este enlace

Otra operación básica es la división 

I. Pasos para dividir

  • Primero se multiplica el signo
  • Segundo, se dividen los coeficientes (números)
  • Tercero, se dividen las incognitas (letras) – RESTANDO exponentes

Para aprender a dividir, visita este enlace.

EJERCICIOS DE PRACTICA

1. 3x + 6y – 4y

2. 2x – (x + 5) + 7x

3. 2xy + 8x – y(x + 5)  donde x = 3, y = -1

4. n + 6(m – n) – 5m  donde m = 2, n = 5

5. 3x + 5y – 4x – 8x + y

6. 4(x + y) – 4x + 6y – 2(x +3) donde x = -1, y = 2

7. m + n – 8m 

8. x + y   donde x = -2, y = 3

9. m(n + 5) – 9m  donde m = 4, n = 0

10. 3x – 6x + 9y – y

RESPUESTAS

1. 3x + 2y

2. 8x + 5

3. 26

4. – 23

5. – 9x + 6y

6. 16

7. – 7m + n

8. 1

9. – 16

10. – 3x + 8y

Tipos de funciones – algebra

Tipos de funciones – algebra

Una función es una relación numérica de valores que tienen una relación de dependencia, quiere decir que si tenemos dos cantidades o valores numéricos el primero va a depender siempre del segundo.  

Un ejemplo sencillo para entender una función son las semanas laborales, si una persona gana $300 durante una semana laboral. Para ganar $600 debe trabajar 2 semanas y así sucesivamente. El ingreso que obtenga siempre va a depender del número de semanas que trabaje. ¡Sencillo, ¿verdad?! 

Ahora, hay una variedad inmensa de funciones, pero ahora nos vamos a enfocar en las cuatro mas comunes, algunas mas complicadas que otras: constante, lineal, cuadratica y cúbica.

FUNCIÓN CONSTANTE

La función es constante cuando permanece siempre igual, sin importar cual sea el valor de entrada.

La fórmula para esta función es fx= c

 

FUNCIÓN LINEAL

Esta función nos permite dibujar una linea recta y se forma usando la fórmula fx = mx + b donde “m” es la pendiente (inclinación de la recta) y “b” es el intercepto en “y”. Ahora por cada valor que le demos a la “x” vamos a obtener un valor correspondiente para “y” (fx).

Para aprender mas sobre este tema se pueden estudiar los siguientes enlaces.

Pendiente

Obtener la ecuación de una recta

Graficar una ecuación

fx = 2x + 1

fx = 2(1) + 1

fx = 2 + 1

fx = 3

FUNCIÓN  CUADRATICA

fx = ax2 + bx + c

La función cuadratica es un polinomio de segundo grado, siempre va a cambiar de dirección en un punto que se llama VÉRTICE

Siempre que el valor de +ax2 es positivo, la dirección de la parábola va hacia arriba (como una U). Siempre que el valor de -ax2 es negativo, la dirección de la parábola va hacia abajo (como una «U» invertida).

Los puntos claves en una parábola son el vértice, las raíces y el intercepto en «y».

Para aprender a obtener los valores en la parábola visita esta lección.

Otra pista importante en las funciones cuadraticas es que mientras mas chico sea el valor de “ax» mas ancha va a ser la parábola.

FUNCIÓN CÚBICA

f(x)= ax3 + bx– cx – d

Una función cúbica es un polinomio de tercer grado. Muchos de estos polinomios tienen tres raíces, quiere decir que la grafica va a tener tres puntos que atraviesan «x».

Si la «+ax3» es positiva, la gráfica va a iniciar de abajo hacia arriba (de izquierda a derecha). 

Si la «- ax3« es negativa, la gráfica va a iniciar de arriba hacia abajo (de izquierda a derecha).

Ejemplo:

f(x)= x3 + x– 4x – 4

0 = x3 + x2 – 4x – 4  Se iguala a cero el polinomio. 

0 = (x3 + x2) + (- 4x – 4) Se agrupa en pares.

0 = x(x +1) – 4 (x + 1)Se factoriza cada factor.

0 =  (x + 1) (x2 – 4) Se agrupan (los que quedan fuera del paréntesis forman otro par).

0 =  (x + 1) (x + 2) (x – 2) Se factoriza el  (x2 – 4).

x = {- 1, – 2, + 2}  Los tres valores de «x» son los números que quedan de la factorización pero con signo contrario.

Para representar las coordenadas, los valores en «y» siempre van a ser cero. Así tenemos: (-1, 0), (-2, 0) y ( 2, 0)

Otro dato importante es el intercepto en «y» que siempre a a ser el valor de «d», en este caso, el -4 y su coordenada quedaría (0, -4).

Ecuaciones simultáneas – método de sustitución

Ecuaciones simultáneas – método de sustitución

Si tenemos dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas podemos buscar en punto de intersección de ambas aplicando tres métodos: de igualdad, de sustitución y de reducción (suma o resta).

Antes de continuar con el tema, revisa los temas previos 

Plano cartesiano

Pendiente

Métodos para obtener la pendiente

Graficar una ecuación

Ecuación de una recta

En esta ocasión vamos a revisar el método de sustitución para lo cual vamos a seguir los siguientes pasos.

1) 2x + y = 7
2) x + 3y = 11

PASO I
Elegir una de las ecuaciones y despejar una de las variables, en este caso vamos a despejar la “y” de la ecuación 1.
2x + y = 7  Despejando tenemos    y = 7 – 2x

PASO II
El valor de “y” (7 – 2x)    se sustituye en la ecuación 2 y tenemos:
x + 3(7 – 2x) = 11

PASO III
Resolvemos para encontrar el valor de “x”
x + 21 – 6x = 11
–5x = 11 – 21
x = – 10 ÷ – 5
x = 2

PASO IV
Sustituimos el valor de “x” en cualquiera de las ecuaciones
2 + 3y = 11
3y = 11 – 2
3y = 9
y = 9 ÷ 3
y = 3

El punto donde se cruzan ambas rectas es (2, 3)

Para comprobar se pueden asignar diferentes valores a la “x” o a la “y” en ambas ecuaciones

Representando las funciones en el Plano Cartesiano las rectas quedan de esta manera:

EJERCICIOS DE PRACTICA

  1. a) 3x + 2y = 8             b) 5x – y   = 9
  2.  a) 8x + 5y = 34          b) 4x – 2y = 8
  3.  a) 2x – 6y = – 26       b) 15x + 3y = 93
  4.  a) 9x – 15y = –39      b) 15x – 4y = –23
  5.  a) 2x + 5y = 30          b) 6x + 4y = 46
  6.  a) 3y + 5x = 4            b) 6y – 10x = –32
  7.  a) 14y – 75x = – 38   b) –2y + 9x = 2
  8.  a) 24x – 3y = –45      b) –12x + 5y =19
  9.  a) 11y – 4x = 56        b)  –15y + 2x = – 66
  10.  a) 18x – 6y = 6          b)  21x – 24y = –117
  11.  a)  6x – 2y = 26         b) 3x + 18y = –63
RESPUESTAS
1. x = 2, y =1
2. x = 3, y = 2
3. x = 5, y = 6
4. x = -1, y = 2
5. x = 5, y = 4
6. x = 2, y = -2
7. x = 2,  y = 8
8. x = -2, y = -1
9.  x = -3, y = 4
10. x = -1, y = -4
11. x = 3, y = -4

 

División de polinomios

División de polinomios

Para entender la división en algebra hay que saber dividir números naturales ya que se siguen los mismos pasos que una división regular. Además de eso es importante saber y dominar los siguientes temas:

Una vez repasados esos temas hay que aprender las partes de la división y los pasos a seguir.

Ejemplo 

3m2 – 13m – 10   entre  m – 5

PASOS I  Ordenar el dividendo y el divisor en relación a la incógnita o letra (del exponente mas grande al mas chico. Poner dentro el dividendo y fuera el divisor. 

                    

PASO II  Dividir el primer término del dividendo (3m2) entre el primer término del divisor (m). La respuesta se pone en la parte superior y es el primer termino del cociente.

                    

PASO III  Se multiplica el primer termino del cociente que se obtuvo de la división (3m) y después multiplica por todo el divisor (m – 5). La respuesta se escribe bajo el dividendo en el termino que corresponda para restarlo. IMPORTANTE: como se va a restar, se cambia el signo. Las respuestas de la multiplicación fueron 3m2  y – 15m, las escribimos – 3m2  y 15m.

                    

PASO IV  Se restan los terminos semejantes y el -10 se baja, nos queda 2m – 10.

                   

PASO V Una vez que restamos, dividimos el primer término de la respuesta (2m) entre el primer término del divisor (m)  y lo colocamos con su signo en la parte superior (lugar del cociente).

                  

PASO VI Este segundo término del cociente (2) se multiplica por todo el divisor (m – 5) y la respuesta se resta del dividendo, recuerda!!!! Cambiando el signo.

                 

Al restar nos queda cero. Y podemos hacer la comprobación multiplicando (m – 5) por (3m + 2)

              

Ejercicios:

  1. n2 + 2n – 15 entre n – 3
  2. x2 + 2x – 8  entre x – 2 
  3. y2 – 10y + 24  entre y – 6 
  4. 2a2 – a – 6 entre 2a + 3 
  5. 5a2 + 2z – 8 entre 3a – 2 

RESPUESTAS

  1. n + 5
  2. x + 4
  3. y – 4 
  4. 2a + 3
  5. 5a + 4
Factorización de trinomios – agrupación

Factorización de trinomios – agrupación

Al factorizar trinomios cuadrados es necesario identificar qué tipo de trinomio es para saber cuál método aplicar. Los mas fáciles son los trinomios cuadrados perfectos y los pasos para resolverlos se explican en este enlace.   

Características del trinomio cuadrado:

x2 + 12x + 4

  • El coeficiente y la incógnita del primer término tienen raíz cuadrada.
  • El coeficiente del tercer término es también una raíz cuadrada.

Si el trinomio NO cubre las dos carácteristicas anteriores, hay que verificar si es de la forma x+ bx + c,  para saberlo el trinomio debe cubrir las siguientes carácteristicas: 

  • El coeficiente del primer término (x2)  es el número 1, (recuerda que si un término no tiene coeficiente o número este siempre va a ser 1.

x2 + 5x + 6 

  • La incógnita del primer término (x2 es una letra al cuadrado.
  • El segundo término (bx) tiene la misma incógnita (letra) que el primero y su exponente es 1, sin importar que coeficiente (letra) tiene.
  • El tercer término es independiente del primero y segundo término, esto es que no comparte la misma incógnita o letra.

Una vez que identificas que se trara de un trinomio de este tipo, los pasos para resolverlo son los siguientes: 

Ejemplo I

x2 + 5x + 6

PASO I  

Descomponer en factores el primer término obteniendo la raíz cuadrada de la incógnita. Exprésalo en forma de binomio y escribe una “x” encada uno.

(x     )    ( x    )

PASO II   

En el primer factor escribe el signo del segundo término del trinomio, en este caso es positivo  + 5x

(x +   )  ( x    )

PASO III   

En el segundo factor escribir el signo que resulte de la multiplicación del segundo y tercer término. En este caso es + ∙ +  = +

(x + )  ( x +  )

PASO IV   

Factoriza el tercer término, esto es buscar todos los números que multiplicados entre si nos da el valor de «c» y sumados o restados nos da el valor de «b»

2 ∙ 3  = 6   sumados 2+3 =5  y restados da 1

1 ∙ 6  = 6   sumados 1 + 6 = 7 y restados nos da 5

IMPORTANTE: Si los signos del trinomio son iguales y positivos, se busca el par de números que sumados nos de el segundo término, en este caso  el 2 y 3.

(x + 2) (x + 3)

Si el  segundo y el tercer termino fueran negativos se usarian el 6 con signo negativo y el 1 con signo positivo.

También es posible que los signos del trinomio sean diferentes, quiere decir uno positivo y otro negativo, en ese caso solo si el tercer término es negativo se buscan los números que restados den el segundo término

PASO V

Comprobar multiplicando (x +2) (x + 3)   la respuesta debe ser el trinomio x2 + 5x + 6

Ejemplo II

m2 + 3m – 10

PASO I    

Descomponer en factores el primer término obteniendo la raíz cuadrada de la incógnita. Exprésalo en forma de binomio y escribe una “m” encada uno.

(m   )    (m   )

PASO II   

En el primer factor escribe el signo del segundo término del trinomio, en este caso es positivo  + 3x

(m +   )  (m    )

PASO III  

En el segundo factor escribir el signo que resulte de la multiplicación del segundo y tercer término. En este caso es + ∙ –  = –

(x + )  ( x –  )

PASO IV   

Factoriza el tercer término, esto es buscar todos los números que multiplicados nos da esa cantidad. 

2 ∙ 5  = 10

1 ∙ 10  = 10

IIMPORTANTE: Si los signos del trinomio son iguales, se busca el par de números que sumados nos del segundo término. En este caso  son diferentes, no se aplica esta regla.

Como los signos del trinomio son diferentes y el negativo está en el tercer término. Se buscan los  números que restados den el segundo término (3). Por tanto 5 menos 2 nos da 3, al representarlo el 2 va a ser negativo.

(m + 5) (m – 2)

PASO V  

Comprobar multiplicando (m + 5) (m – 2) la respuesta debe ser el trinomio m2 + 3m – 10.

Ejercicios

  1. c2 + 5c – 24
  2. x2 + 10x + 21
  3. n2 – 4n + 3
  4. x2 – 11x + 24
  5. z2 – 7z – 30 

Respuestas

  1. (c + 8)  (c – 3)
  2. ( x + 3)  (x + 7)
  3. (n – 3)  (n – 1)
  4. (x – 3) (x – 8)
  5. (z + 3) (z – 10)
Factorizar polinomios

Factorizar polinomios

Un monomio está compuesto por un solo término el cual incluye signo, coeficiente, incógnita y exponente por tanto un polinomio es aquel que tiene dos o más términos. Para factorizar un polinomio vamos a seguir los siguientes pasos:

Si tienes dificultad con estos temas es recomendabel revisar primero:

– Concepto de factorización

– Máximo común factor

– División de polinomios

Ejemplo I

b2 + 3b

PASO I:  Buscar el factor común de ambos términos. El factor común para las incógnitas (letras) es la que se encuentra en ambos términos. Para entender el factor común de los coeficientes (números) revisa este enlace.

Para este caso el factor común es la “b”

PASO II: Dividir cada termino entre el factor común que se encontró, ósea que vamos a dividir b2 ÷ b  y 3b ÷ b. Si tienes dificultad para dividir términos, revisa este enlace.

b2 ÷ b  = b

2b ÷ b = 2

PASO III: Se escriben las respuestas dentro de un paréntesis incluyendo los signos, y afuera del paréntesis se escribe el factor común.

b (b + 2)

Ejemplo II

10n – 30mn2

PASO I: Buscamos el factor común para las incógnitas (letras) y los coeficientes (números)

10 → 2, 5, 10   

30 → 3, 10

n – mn2 → n

Nuestro factor común va a ser el 10 porque se repite en ambos coeficientes y la n

OJO: Si al factorizar se repite más de dos veces un número escogemos el MAYOR como factor común 

PASO II: Dividimos los términos entre los factores comunes 

10n ÷ 10n = 1

– 30mn2 ÷ 10n = – 3mn

PASO III:  Poner las respuestas que obtuvimos de las divisiones dentro de un paréntesis respetando signos y afuera el factor común que obtuvimos

10n(1 – 3mn)

Ejemplo III

15x3 + 20x2 – 5x

PASO I: Obtenemos el factor común de los coeficientes y las incógnitas

15 → 3, 5

20 → 2, 4, 5, 10

5 → 1, 5

Factor común → 5

Para las incógnitas es x

PASO II: Dividimos cada termino entre el factor común

15x3 ÷ 5x → 3x2

20x2 ÷ 5x → 4x

– 5x ÷ 5x → -1

PASO III: Escribimos las respuestas de la división dentro de un paréntesis incluyendo los signos y afuera el factor común.

5x (3x2 + 4x – 1)

Ejercicios de práctica

  1. 8x2 + 12xy  
  2. m2 + m
  3. p3 – p5 – p7
  4. 35x2y3 – 70x3
  5. xy – yz  
  6. 5c2 + 15c3
  7. 2b2c + 6bc2
  8. 4m2 – 8m + 2  

Respuestas

  1. 4x(2x + 3n)
  2. m (m+1)
  3. x3 (1 + x2 – x4)
  4. 35x2(y3 – 2x )
  5. y(x –z)  
  6. 5c2(1 + 3c)
  7. 2bc(b + 3c)
  8. 2(2m2 – 4m + 1)
Factorización de trinomios cuadrados perfectos

Factorización de trinomios cuadrados perfectos

De la factorización de trinomios, el de cuadrados perfectos es uno de los más fáciles ya que solo tenemos que entender el concepto de la raíz cuadrada perfecta, que no es otra cosa que buscar el número que multiplicado por el mismo nos de el  valor que buscamos, por ejemplo la raíz cuadrada de 25 es 5 porque 5 por 5 es 25 y así sucesivamente, este tema lo puedes revisar el siguiente video. 

Al buscar los factores de un trinomio cuadrado perfecto se van a obtener aquellos que multiplicados por sí mismo nos dan el trinomio.  Si ya sabes multiplicar factores se te va a facilitar entender este tema, veamos el primer ejemplo y los pasos para resolverlo:

Antes de aplicar este método de factorización debes determinar si el primer y tercer término del trinomio son  cuadrados perfectos, en el caso de las incógnitas o letras, solo es ver si su exponente es par, quiere decir que la raíz cuadrada de x4 = x2, de m6n2 = m3n y así sucesivamente.

x2 + 6x + 9

PASO I

Obtener la raíz del primer término (azúl), abrir un paréntesis y poner la respuesta. (Para obtener la raíz cuadrada de cualquier incognita, simplemente se divide el exponente entre 2).

(x

PASO II

Identificar el signo de segundo término (verde) y escribirlo enseguida.

(x + 

PASO III

Obtener la raíz cuadrada del tercer término (rojo), escribelo después del signo y cerrar el paréntesis.

(x + 3)

PASO IV

Elevar al cuadrado la respuesta.

(x + 3)2

Ejemplo II

x4 + 4x2y + 4y2

PASO I

Obtener la raíz cuadrada del primero y tercer término – azul y rojo- (recuerda que los exponentes de las incógnitas se dividen entre dos).

 

PASO II

Escribir las respuestas dentro de un paréntesis.  

(x2   2y)   

PASO III

Escribir el signo del segundo término y elevas al cuadrado.

(x2 + 2y)2   

Para comprobar la respuesta, simplemente  se multiplica el binomio por el mismo.

(x2 + 2y) (x2 + 2y)           

x4 + 4x2y + 4y2

Ejercicios de practica

  1. 4 – 4x + x2
  2. 4x2 + 12x + 9
  3. x2y2 + 8xy +16
  4. 25m2 – 10mn + n2
  5. m2n2 + 10mn + 25
  6. 36x2 – 72x + 81
  7. 9m2 + 12mn + 4m2
  8. m2 + 4mn + 4n2
  9. 9x4 – 30x3y + 25xy
  10. 16m8 – 64m5n – 64m2n2

RESPUESTAS

  1. (x – 2)2
  2. (2x + 3)2
  3. (xy + 4)2
  4. (5m – n)2
  5. (mn + 5)2
  6. (6x – 9)2
  7. (3m + 2n)2
  8. (m + 2n)2
  9. (3x2 – 5xy)2
  10. (4m4 – 8mn)2
División de polinomio con monomio

División de polinomio con monomio

Una vez que te has familiarizado con la división de términos se te va a facilitar las diferentes variables de división que se presentan en algebra. Primero vamos a recordar lo siguiente:

  • Un monomio se compone de un término sin importar el número de incógnitas o letras que tenga (-4x3yz4)
  • Un binomio se compone de dos términos y un trinomio de tres, estos también se conocen como polinomios que son los que ya tienen dos o más  términos, por ejemplo: binomio (5m-3n2 – 8mn) , trinomio (-3xy + xy – 2x2y).
  • Cuando tenemos más de tres términos es más común que los llamen polinomio (7mn4 -3m2 +mn2 +2mn).

Ahora veamos como dividir un polinomio (que puede tener dos o más términos) con un monomio, quiere decir que en la parte del numerador vamos a tener varios términos y en la parte del denominador tendremos solo uno.

EJEMPLO I

PASO I 

Dividir, siguiendo los pasos de la división, el primer término que está en café.

PASO II 

Dividir el segundo término  (azúl) con el denominador.

PASO III 

Dividir el tercer término (verde) con el denominador.

PASO IV 

Representar tu respuesta juntando cada una de las anteriores

EJEMPLO II

PASO I  

Dividir, siguiendo los pasos de la división, el primer término que está en café.

PASO II  

Dividir el segundo término  (azúl) con el denominador.

PASO III  

Dividir el tercer término (verde) con el denominador.

PASO IV   

Representar la respuesta

EJEMPLO III

PASO I 

Dividir, siguiendo los pasos de la división, el primer término que está en café. Si se te dificulta visita “Fracciones”.

Al dividir 3n ÷ 6m = ½mn

Al dividir enteros solo escribe el número uno en lugar del denominador y se multiplica cruzado. 

PASO II 

Dividir el segundo término  (azúl) con el denominador.

Recuerda que si no hay coeficiente o número este va a ser 1 y al dividir 1entre 6 nos da un sexto.

PASO III 

Dividir el tercer término (verde) con el denominador

PASO IV 

Representar la respuesta

PASO V

Simplificar términos semejantes, este paso no siempre va a ser necesario, solo cuando hay términos semejantes que son aquellos que tienen la misma incógnita o letra y el mismo exponente. En el ejemplo anterior todos son términos semejantes y se simplifican aplicando la ley para suma y resta. Aquí se puede repasar la suma y resta de fracciones y recuerda que para algunos exámenes puedes usar la calculadora.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

RESPUESTAS

Sistema de dos ecuaciones

Sistema de dos ecuaciones

Cuando nos presentan una ecuación lineal de la forma y = mx + b, sabemos que podemos obtener los valores de las variables (x, y) y representar la función (recta) en el plano cartesiano, en el siguiente tema vamos a trabajar con dos ecuaciones juntas y lo primero es que vamos a buscar el punto donde se cruzan estas rectas aplicando el método de eliminación por sustituían.

Si el tema se te dificulta, considera revisar los temas previos:

Ahora iniciemos con un ejemplo sencillo

Si tenemos:

x + y = 6

x – y = 4 

En estas dos ecuaciones los valores de “x” y “y” van a ser los mismo pero el resultado va a ser diferente, en la primera debemos buscar dos números que sumados nos den 6 (primera) y esos mismos numero restados nos dé 4 (segunda). El único par que cumple esta función son el 5 y 1.

5 + 1 = 6   

5 – 1 = 4

Este ejemplo es sencillo, pero si tenemos números más grandes que incluyan multiplicación se puede complicar un poco más así que veamos el método para resolverlas paso a paso.

EJEMPLO I 

 x + y = 9

10x + 5y = 60

En este ejemplo, hay que buscar un número (x) que sumado  a otro número (y) nos de 9, esos mismos valores de “x” y “y” deben resolver la segunda ecuación donde se multiplica diez por el primer número (x) y se suma la multiplicación de cinco por el otro número (y) donde nos da como resultado 60.

PASO I

Hay que escoger un coeficiente (número) para igualarlos, si escogemos las “y” ambas ecuaciones deben tener 5y y si escogemos las “x” ambas deben tener 10x. Para este ejemplo vamos a igualar las “y” para tener en ambas ecuaciones 5x. Una debe ser negativa y la otra positiva.

PASO II

Ya que se elegieron cual coeficiente (número) que se van a igualar, se busca el mcm, que en este caso es el 5. Posteriormente se multiplica cada uno de los términos de la primera ecuación por -5. (El cinco debe ser negativo porque  queremos que en la primera ecuación nos de -5y. 

– 5 ( x) = – 5x

– 5 (y) = – 5y

– 5 (9) = – 45

Y la ecuación quedaría así: – 5x = 5y = – 45

PASO III

Una vez que se multiplica la ecuación, se acomoda en orden para sumar o restar ambas ecuaciones

 -5x  –  5y = – 45

10x + 5y = 60

  5x     /    = 15 

        x = 3

PASO IV

Ya restada la ecuación, solo queda despejar y obtener el valor de “y” en cualquiera de las dos ecuaciones.

10x + 5y = 60 Sustituimos el valor que obtuvimos de «x» en la ecuación.

10(3) +5y = 60  Se multiplica 10 por 3 y se despeja del otro lado de la ecuación.

30 + 5y = 60   

5y = 60 – 30

y = 30/5  

y = 6 

Por tanto el punto de intercepción de ambas ecuaciones es (3, 6) 

PASO V

Representa los valores de “x” y “y” en el plano cartesiano que  indican donde se cruzan ambas rectas.  (3, 6)

PASO VI

Obtener dos valores más de cada función y graficar para representar las rectas. Esto se hace asignando valores a la “x”, tu respuesta puede variar dependiendo que valores asignes, pero la recta debe tener la misma dirección. Si no sabes cómo graficar una ecuación, revisa este enlace.

PASO VII

Graficar ambas funciones

IMPORTANTE: Si se presenta el caso en el que los coeficientes (números) que queremos igualar tienen el mismo signo  y no se puede restan, simplemente hay que cambiarle los signos a toda la ecuación. 

Ejemplo II

2x + y = 7

 x + 4y = 14

Siguiendo los pasos anteriores, igualamos la segunda ecuación para tener 2x multiplicando toda la ecuación por dos.

2 (x) = 2x

2 (4y) = 8y

2 (14) 28

Restando

2x + y = 7

2x + 8y = 28 (OJO, como puedes ver el 2x es positivo, hay que cambiarlo a negativo por tanto los signos  de los términos restantes también cambian). Una vez cambiados, hay que restar.

   2x + y =   7

– 2x – 8y = – 28

    /   -7y = – 21

Despejas “y”

 y = – 21 / – 7

 y = 3

Una vez encontrado el valor de “y”, se siguen los  pasos del IV al VII hasta que  se grafiques ambas ecuaciones. 

EJERCICIOS DE PRACTICA

  1. a) 3x + 2y = 8             b) 5x – y   = 9
  2.  a) 8x + 5y = 34          b) 4x – 2y = 8
  3.  a) 2x – 6y = – 26       b) 15x + 3y = 93
  4.  a) 9x – 15y = –39      b) 15x – 4y = –23
  5.  a) 2x + 5y = 30          b) 6x + 4y = 46
  6.  a) 3y + 5x = 4            b) 6y – 10x = –32
  7.  a) 14y – 75x = – 38   b) –2y + 9x = 2
  8.  a) 24x – 3y = –45      b) –12x + 5y =19
  9.  a) 11y – 4x = 56        b)  –15y + 2x = – 66
  10.  a) 18x – 6y = 6          b)  21x – 24y = –117
  11.  a)  6x – 2y = 26         b) 3x + 18y = –63
RESPUESTAS
1. x = 2, y =1
2. x = 3, y = 2
3. x = 5, y = 6
4. x = -1, y = 2
5. x = 5, y = 4
6. x = 2, y = -2
7. x = 2,  y = 8
8. x = -2, y = -1
9.  x = -3, y = 4
10. x = -1, y = -4
11. x = 3, y = -4
Ejercicios – ecuaciones lineales

Ejercicios – ecuaciones lineales

Muchos podemos sentir que materias como álgebra no tienen relación directa con nuestra vida cotidiana, sin embargo no hay nada más alejado de la realidad. A continuación vamos a revisar una serie de datos a los que se conjuntan los conocimientos básicos de algebra con la elaboración de gráficas, funciones y ecuaciones lineales que al final representan la misma información pero representado en diferentes formas.

Antes de estudiar este tema debes estar familiarizado o saber resolver lo siguiente:

Plano Cartesiano

Pendiente de una recta

Métodos para obtener la pendiente

Ecuación de una recta

Graficar una ecuación

La siguiente tabla represente el desempeño de los estudiantes en un examen final de 5 preguntas.

 El “Puntaje inicial” es el que ganaron los estudiantes antes de contestar el examen, si un estudiante falta o llega tarde, se le van restando puntos por esa razón puede ser negativo y si un estudiante participa en clase o  hace tarea, su puntaje va a ser positivo. 

El “valor de la pregunta” es diferente para cada estudiante de esta manera podemos elaborar diferentes ecuaciones lineales para cada estudiante.

Revisa este video antes de continuar.

Veamos un ejemplo usando los datos del estudiante número 6 que tiene un puntaje inicial de -1 y cada pregunta tiene un valor de 1 ½ puntos, si en total contesto 4 preguntas correctas podemos obtener su puntaje final con una simple multiplicación  y resta. (1 ½ x  4) – 1 = 5, ahora representemos toda esa información en el Plano Cartesiano y en forma de ecuación. 

PASO I

Representa los datos en forma de función, enlistando las preguntas (representada por la “x”) y el puntaje obtenido (representado por “fx”).

Como puedes ver el primer dato indica 0 y -1 porque el estudiante antes de contestar las preguntas ya tenía negativo un punto. Al obtener una pregunta buena con un valor de 1 ½  (segunda columna) su puntaje pasa a ser de ½ punto. Para entender el concepto de -1 + 1 ½ revisa el tema “Suma y resta de números con signo”.

PASO II

Graficar los datos de esa función en el Plano Cartesiano

PASO III

Obtener la pendiente de la recta usando cualquiera de los cuatro métodos.

P = 1 ½ 

PASO IV

Elaborar la ecuación usando la formula y = mx + b donde la m representa la pendiente y “b” el intercepto en “y”.

y = 1 ½ x -1

Si tienen la calculadora  TI-30XS Multiview, en el siguiente video se explica como resolverlas.

EJERICICIOS DE PRACTICA
Una vez que has identificado los pasos para obtener la ecuación, puedes hacer una por cada estudiante, tomando en cuentta que cada uno tiene diferente puntaje inicial y el valor de las preguntas varia para cada uno.
Parte 1. Escribir la ecuación por cada estudiante
Parte 2. Buscar dos coordenadas por cada ecuación (asignando los valores de creo y uno a la «x»). Si asignas otros valores a la «x», puedes obtener diferentes coodenadas pero siempre deben quedar sobre una linea recta al representarlas en el plano cartesiano.  
Parte 3. Representa las coordenadas en el plano cartesiano.
RESPUESTAS
Parte 1
1. y = ½x – 2
2. y = 2x + 1
3. y = x + 3
4. y = 2x – 2½
5. y = 3x + ½
6. y = 1½x -1
7. y = ½x
8. y = x – 4
9. y = 2x + 1½
10. y = 4x + 5
11. y = 1½x – 1½
12. y = 3x + 2
13. y = 5x + 4
14. y = x – 5
15. y = 1½x + 2½
Parte 2
1. x = 0, y = -2
    x = 1, y = -1.5
2. x = 0, y = 1
    x = 1, y = 3
3. x = 0, y = 3
    x = 1, y = 4
4. x = 0, y = -2.5
    x = 1, y = 1/2
5. x = 0, y = 1/2
    x = 1, y = 3.5
6. x = 0, y = -1
    x = 1, y = 1/2
7. x = 0, y = 0
    x = 1, y = 1/2
8. x = 0, y = -4
    x = 1, y = -3
9. x = 0, y = 1.5
    x = 1, y = 3.5
10. x = 0, y = 5
      x = 1, y = 9
11. x = 0, y = -1.5
      x = 1, y = 0
12. x = 0, y = 2
      x = 1, y = 5
13. x = 0, y = 4
      x = 1, y = 9
14. x = 0, y = -5
      x = 1, y = -4
15. x = 0, y = 2.5
      x = 1, y = 4
Parte 3: Representa las coodenadas anteriores en el plano cartesiano
División en algebra

División en algebra

Al dividir en algebra se siguen los mismos pasos que en la multiplicación pero de manera invertida, ósea, haciendo lo contrario. Los pasos para la división son lo siguientes:

  • Dividir el signo aplicando la misma regla de la multiplicación
  • Dividir los coeficientes o números
  • Dividir la incógnita o letra, al hacerlo se restan los exponentes (número pequeños de la derecha y si no hay exponente, este siempre va a ser 1). 

EJEMPLO I

PASO I

Dividir el signo, aplicando la misma regla de la multiplicación.

–  / + = 

PASO II

Dividir los números

8 ÷ 4 = 2

PASO III

Dividir incognita o letra restando exponentes (si una incógnita o letra no tiene exponente, este va a ser uno)

x5 ÷ x = x4

La respuesta es  – 2x4

EJEMPLO II

Recuerda que si hay varias letras sin número, este va a ser siempre 1 y cuando dos incógnitas (letras) tengas el mismo exponente, la letra se elimina.

PASO I 

Dividir los signos

 –  / –  = +

PASO II

Se dividen los coeficientes (números)

TIP: Siempre que tengas una fracción para dividir queda la misma respuesta, por ejemplo:

PASO III  

Se dividen las incógnitas (letras) restando exponentes, si hay más de una incógnita hay que resolver las semejantes, una por una.

x2 ÷ x = x

y ÷ y = / Se elimina porque 1 – 1 = 0

z3 ÷ z = z2   

La respuesta sería:

 

(Ten presente que si el signo es positivo no se escribe)   

EJEMPLO III

PASO I

Dividir signos

+ /  –   =

PASO II 

Dividir coeficientes (números)

15 ÷ 3 = 5

PASO III

Dividir incógnitas (letra) restando exponente, (OJO, si solo hay una incógnita, solo se pasa a la respuesta) 

m3 ÷ m = m2

n ÷ 0 = n

p2 ÷ p = p

La respuesta: -5m2np

   

Regla para exponentes: 

Al restar los exponentes toma en cuenta la regla de signos para suma y resta, puedes tener los siguientes casos:

  • x5 ÷ x3 = al restar exponentes seria 5 – 3 = 2
  • x5 ÷ x -3 = si el segundo exponente es negativo tenemos 5 – -3 = 8
  • x -5 ÷ x 3 = si ambos exponentes son negativos tenemos -5 – -3 = -2
  • x -5 ÷ x3 = si el primero es negativo tenemos -5 -3 = -8 

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

RESPUESTAS

  1. 4z4

2. 4mn

3. – ½ n

4. – 3x5z2

5. 1/3 a3bc2

6. 5uq-2

7. 2s

8. 6m-1n3z

9. 4x -5z4

Cómo obtener la parabola de un trinomio

Cómo obtener la parabola de un trinomio

Los trinomios de segundo grado o trinomio cuadrado son aquellos que tienen tres términos. El primero va a tener una literal al cuadrado, el segundo su literal estará a la potencia uno y el último término no tendrá literal. Por ejemplo:

2x2 + 6 x – 4. 

I Fórmula cuadrática para obtener las raíces
Si tenemos un trinomio cuadrado se pueden buscar sus factores, quiere decir encontrar los términos que multiplicados entre si nos dan el trinomio. Ese es un método para obtener los valores de “x” que también se pueden obtener aplicando la fórmula cuadrática. A esas “x” las vamos a llamar raíces, que no es otra cosa que los puntos por los que atraviesa una parábola en la coordenada de “x”. Es posible que algunos trinomios cuadrados no tengan raíces, ósea, que no toquen la coordenada de “x”.
La siguiente ilustración muestra un ejemplo, las raíces siempre se van a encontrar en el punto en que cruzan la parábola y la coordenada de “x”
Para encontrar las raíces veamos el siguiente ejemplo aplicando la fórmula cuadrática en el siguiente trinomio cuadrado
x2 – 6x + 5
Paso I 
Igualar el trinomio a cero para convertirlo en ecuación  x2 – 6x + 5 = 0
Paso II 
Asignar los valores “a”, “b”, “c”. Si aún no sabes asignarlos revisa este enlace.
  • El valor de «a» siempre va a ser el coeficiente del término que esta elevado al cuadrado.
  • El valor de «b» va a ser el coeficiente del término cuya potencia es 1.
  • El valor de «c» va a ser el coeficiente que no tiene ninguna incognita.
                               
Paso III
Sustituir  los valores de  a, b, c en la fórmula.
                                 
Paso IV 
Resolver para encontrar los dos valores de “x”, algunas veces estos pueden ser negativos o en otras posiblemente no se puedan obtener. Valores para «x» x = 1, x = 5.  Para aprender a aplicar la fórmula cuadrática se puede visitar este enlace fórmula cuadrática.
Paso V 
Representar las coordenadas asignando el valor de cero a las “y”  (1, 0), (5, 0) que son las raíces de la primera imagen.
Para probar que los valores de “y” son cero pueden sustituir los valores de “x” en el trinomio cuadrado.
Sustituyendo x = 1
y = x2 – 6x + 5
y = (1)2 – 6(1) + 5
y =  1 –  6 + 5
y =  0
Sustituyendo x = 5
y = x2 – 6x + 5
y = (5)2 – 6(5) + 5
y =  25 – 30 + 5
y =  0
Las raíces están representadas por las estrellas amarillas.
II Intercepto en “y”
Con el trinomio cuadrado también podemos encontrar el intercepto en “y”, este es un poco mas sencillo. Si ya sabes sustituir valores en la ecuación ya que solo consiste en darle a la “x” el valor de cero. Veamos
y = (0)2 – 6(0) + 5
y = 5
Las coordenadas del intercepto en “y” van a ser (0, 5). Después de practicar un poco te vas a dar cuenta de que no se necesita llevar a cabo la ecuación, ya que el valor de “y” siempre va a ser “c” ósea el tercer término del binomio cuadrado.
III   Vértice o punto de cambio
El vértice indica el punto en el que la parábola cambia  de dirección. Para obtenerlo se usa una parte de la fórmula cuadrática y seguir los siguientes pasos.
PASO I 
Sustituir los valores  de  “a” y “b” en el binomio x2 – 6x + 5 = 0 y resolvemos
PASO II 
Sustituimos el valor de “x = 3” para encontrar el valor de “y”
y = x2 – 6x + 5
y = (3)2 – 6(3) + 5
y = 9 – 18 + 5
y = – 4
El vértice queda en la coordenada de (3, – 4)
IV Funciones
Lo siguiente es escribir los valores de las coordenadas que hemos obtenido y representar la función en una tabla.
Para encontrar otras coordenadas, solo hay que asignar valores a la “x”, pueden ser incluso fracciones y cada una de esas coordenadas van a representar la parábola.
Sustituyendo x = 2
y = x2 – 6x + 5
y = (2)2 – 6(2) + 5
y =  4 –  12 + 5
y = – 3
coordenada (2, – 3)
Sustituyendo x = 4
y = x2 – 6x + 5
y = (4)2 – 6(4) + 5
y =  16  – 24 + 5
y =  – 3
coordenada (4, – 3)
                    
V Graficar las funciones
Una vez que tienes identificas la función, solo queda representar cada una de las coordenadas en el plano cartesiano para representar la parábola.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
1. 2x² – x – 6
2. 5x²  + 8 + 41x
3. x² – 26x – 155
4.  24x + x² + 143
5.  63 – 16x + x²
Deben obtener las raíces, intecepto, vertice; posteriormente graficarlo y representar la función. 
RESPUESTAS
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Máximo común factor

Máximo común factor

Una vez que hemos aprendido a encontrar en común factor usando números, vamos a practicar un poco como obtener el común factor usando literales (letras). 

Para encontrar la literal (letra) común, hay que observar cual es común a cada uno de los términos y escoger la que tenga el exponente mas chico. Por ejemplo, si tenemos x4 + x2, de estos dos términos el que tiene el exponente más chico es el x2, esa va a ser la literal común. 

Si un término tiene más de una literal con exponentes diferentes se aplica el mismo procedimiento con cada literal.

Ejemplo x6y+ x+ y7 – x3y3, en este caso la literal “x” con el exponente más chico es x2 y la literal “y” con el exponente más chico es y3, al final los literales comunes son x2y3.

En seguida se presentan tres ejercicios para identificar las literales comunes: (No hay que sumar o restar, solo buscar las literales comunes)

  1. m6n3, m8n2, m5n7, m3n6
  2. x2y5z9, x5y12z11, x3y3z8
  3. a15b3, a3b, a5b6, a2b7

 Respuestas, literal común.

  1. m3n2
  2. x2y3z8
  3. a2b

El siguiente paso es aprender a buscar el “máximo común factor” y para esto se combinan el común factor y las literales comunes, en otras palabras, vamos a combinar números y letras. 

Ejemplo I

6x2 + 15x

PASO I 

Identifica el común factor   (2)(3) = 6    y  (3)(5) = 15,  el común factor es 3

PASO II 

Identifica la literal común, ósea la letra que tiene el exponente más chico y es la “x” 

PASO III 

Escribe los factores comunes  (el 3 y la “x”) fuera del paréntesis y los restantes  (los números que sobran del PASO I, que son el 2 y 5) dentro del paréntesis expresando multiplicación de términos  3x (2x + 5)

IMPORTANTE: Para determinar que literal (letra) va dentro del paréntesis, hay que restar el exponente de la literal con la literal común

x2 – 1 = 1 

También se pude obtener dividiendo, como se explica mas abajo.

PASO IV 

Para comprobar se multiplica y se debe obtener las expresión inicial.                                          

3x (2x + 5)  

6x2 + 15x

EJEMPLO II

45m5n3 – 10 m2

PASO I 

Identificar el común factor, (3)(3)(5) = 45 y (2)(5) = 10. El común factor es 5

PASO II Identificar la literal común (letras que tienen el exponente más chico) m2n

PASO III 

Escribir el común factor y la literal común fuera del paréntesis. Dentro del paréntesis se escriben los términos restantes respetando los signos de multiplicación.

5m2n (9m3n2 – 2)

IMPORTANTE: para determinar que exponente van a llevar las literales dentro del paréntesis, solo se restan los exponentes de la expresión original con los exponentes de la literal común que no es otra cosa que la división.

m5 – 2 n3 – 1 

m3n2.

Solo un repaso, se resta porque si recuerdas, en la multiplicación de términos, al multiplicar se suman sus exponentes y factorizar es lo contrario a multiplicar, ósea dividir.

También puedes dividir la expresión original entre el máximo común factor y nos quedaría así.  

                                             

La respuesta anterior es la que va dentro del paréntesis y el máximo común divisor fuera 5m2n (9m3n2 – 2)

Pasos para la división:

(Hay que dividir la expresión que queremos factorizar entre el máximo común divisor  45m5n3 ÷ 5m2n)

  1. Se divide el signo usando la misma regla de multiplicación de signos (+ • + = +)
  2. Se dividen los coeficientes -números- (45 ÷ 5 = 9)
  3. Se dividen las literales (letra) (OJO) al dividir incognitas se restan sus exponentes m5-2 =3 = m3  y n3-1 =2 = n2 
  4. Por último para dividir  (– 10 m2n ÷ 5m2n) se repiten los mismos pasos. Solo al final, al dividir las literales, como tienen el mismo exponente, se eliminan y no se escribe ninguna literal, solo el  –2.

Ejemplo II

4a2b3 – 6a3b2 + 8a4b

PASO I 

Obtener el común factor (2)(2) = 4, (2)(3) = 6, (2)(4)= 8. El común factor es 2

PASO II 

Identificar la literal común y es a2b

PASO III

Escribe el común factor y la literal común fuera del paréntesis y el resto dentro del paréntesis  2a2b (2b2 – 3ab + 4a2) Si se te dificulta obtener los términos que van dentro del paréntesis, también puedes dividir la expresión original entre el máximo común factor o simplemente resta los exponentes del ejercicio original con la literal común. El otro método es dividir.

                                              

PASO IV 

Comprueba tu respuesta multiplicando.

a2b (2ab2 – 3ab + 4a2b)

EJERCICIOS DE PRACTICA

  1. 42x2 + 30x
  2. 15m2 + 6m
  3. 40y2 + 35y
  4. 10x2 + 40x
  5. 18z2 + 4z
  6. 12x7y2 + 24x5y5
  7. 45m4n2 – 10mn6
  8. 36d4h5 + 15dh2
  9. 8m6n2p – 36mn3p5
  10. 44x5y7z + 11x2y3z4

RESPUESTAS

  1. 6x (7x+5)
  2. 3m (5m +2)
  3. 5y (8y + 7)
  4. 5x (2x + 8)
  5. 2z (9z + 2)
  6. 6x5y2 (2x2 + 4y3)
  7. 5mn2 (9m3  – 2n4)
  8. 3dh2 (12d3h3 + 5)
  9. 4mn2p (2m5 – 9np4)
  10. 11x2y3z (4x3y4 + z3)

Concepto de factorización

Concepto de factorización

Para entender la factorización vamos a definir los conceptos y mostrar ejemplos sencillos para después elaborar operaciones más avanzadas. Primero, un “factor” es  cada uno de los números que se multiplican para formar un producto, podemos decir que es la operación opuesta a la multiplicación.

Podemos ilustrar esa explicación buscando todos los posibles factores del 12. 

   

En otras palabras (2) (2) (3) = 12, por lo que los factores de 12 son 2, 2, 3, o dependiendo los factores que necesitemos podemos usar el 4 y 3, etc.

Veamos otros ejemplos:

(3) (5) = 15 por lo que los factores de 15 son 3 y 5

(2) (3) (7) = 42 por lo que los factores de 42 son 2, 3 y 7

(5) (7) = 45 por lo que los factores de 45 son 7 y 5

Factor común

Cuando un número entero divide exactamente a dos o más números dados sin dejar un residuo le llamamos  “factor común”, para ilustrar este ejemplo hay que buscar los factores de  6, 10 y 30.

  6 = (2)(3)

10 = (2)(5)

30 = (2)(3)(5) 

En los ejemplos anteriores nuestro “factor común” es el 2 porque cada uno de estos números es divisible entre 2 y no deja residuo.

Para poder obtener los factores de una expresiones algebraicas donde ya se incluyen literales (letras) hay que entender y dominar estos conceptos primero usando números. Puedes llevar a cabo los siguientes ejercicios.

Obtén los factores y el “factor común” de las siguientes cantidades.

  1. 6, 9
  2. 45, 20, 
  3. 36, 15, 12
  4. 40, 8, 12
  5. 21, 9, 15
  6. 49, 21, 35
  7. 25, 20, 30

RESPUESTAS

  1. (2)(3) = 6   /  (3)(3) = 9factor común  = 3
  2. (3)(3)(5) = 45   / (2)(2)(5) = 20    – factor común = 5
  3. (2)(2)(3)(3) = 36   /  (3)(5) = 15    /  (2)(2)(3) = 12   – factor común  = 3
  4. (2)(2)(2)(5)  = 40  /  (2)(2)(2) = 8  / (2)(2)(3) = 12    – factor común  = 2
  5. (3)(7) = 21   / (3)(3) = 9   / (3)(5) = 15   –  factor común = 3
  6. (7)(7) = 49   / (3)(7) = 21   / (7)(5) = 35   – factor común = 7
  7. (5)(5) = 25   / (2)(2)(5) = 20   / (2)(3)(5) = 30    – factor común = 5
Métodos para obtener la pendiente

Métodos para obtener la pendiente

La pendiente en algebra es la inclinación de una recta representada en el plano cartesiano y es necesaria para resolver las ecuaciones lineales planteadas con la fórmula:
 y = mx + d 
Las preguntas relacionadas con la pendiente pueden variar mucho y presentárselas en diferente formato por lo que es importante que aprendan a obtenerla e identificarla usando los siguientes métodos.
1. Aplicando la fórmula
2. Obtenerla viendo las coordenadas
3. Usando el plano cartesiano
4. Identificarlas en las funciones
De los métodos anteriores ya deben estar familiarizados con el primero y el tercero, ese tema se explica en “pendiente”, entender ese tema les va a facilitar la siguiente explicación.
PRIMER MÉTODO
La fórmula puede parecer el más difícil de los cuatro ya que deben dominar las operaciones de números con signo, coordenadas en el plano cartesiano, fracciones y sustitución de valores.
Si tenemos las siguientes coordenadas m (3, 4)    n (1, 0) y sabemos que la fórmula es:
                                             
Paso I
Asignar valores de las variables (letras) que estan en la fórmula a las coordenadas y nos quedan de la siguiente manera: (Hay que tenerpresente que el primer número de cada coordenada representa las «x» y el segundo siempre va a representar las «y»). 
                                     
Paso II
Sustituir valores aplicando la fórmula y resolvemos.
                                     
SEGUNDO MÉTODO
En la medida en que se familiaricen y resuelvan sin problema la fórmula de la pendiente van a tener la habilidad de obtenerla solo viendo las coordenadas y sin aplicar la fórmula.  Digamos que lo hagan mentalmente y eso requiere práctica y sobre todo dominio de las operaciones de números en signos.
                           
La mejor forma de aplicar este método es visualizar los valores mentalmente y tener presente que solo deben restar y al final solo simplifican o dividen la fracción.
La parte difícil se va a presentar cuando se presenten valores negativos, analicen los siguientes ejemplos y vean como los signos cambian el valor de la pendiente.
                     
La operación mental que debes hacer es  4 – 0     y   3 – – 1 te queda 4/4  y eso es = 1
Recuerda, es siempre – – 1 porque un signo es de la fórmula y otro es el del  – 1 y cuando tenemos dos signos negativos juntos se multiplican. 
                    
La operación mental que debes hacer es restando las «y» es 4 – 0  y restando las «x» – 3 – – 1 = 4/–2 = – 2
Si esto te parece confuso intenta repasar los siguientes temas: de SUMA Y RESTA DE NÚMEROS CON SIGNO y MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO.
                     
La operación mental que debes hacer es  restar las «y» – 4 – 0 = – 4   y restar las «x» 3 – – 1  =  4 al acomodar – 4/4 = -1
Para desarrollar esta habilidad no hay más que practicar y tratar de hacerlo lo más rápido y asertivamente posible, esto te va a permitir contestar en menor tiempo.
TERCER MÉTODO
Identificar la pendiente en el plano cartesiano cuando te presentan una recta numérica donde no necesariamente se te van a indicar las coordenadas como el ejemplo siguiente:
                                     
PASO I
Visualizar las coordenadas, que son los puntos donde se cruzan los puntos y atraviesa la recta.
                                    
PASO II
Elegir un par de coordenadas y aplicar el método para obtener la pendiente visualizando un triángulo rectángulo. Se cuentan las unidades (cuadros en y) y las unidades en x. Se representan en forma de fracción poniendo el valor en «y» en el lugar del numerador y el de «x» en el lugar del denominador.
                                   
PISTA: Se puede usar cualquier par de coordenadas y la respuesta va a ser siempre la misma.
CUARTO MÉTODO
Otra forma de identificar la pendiente es en las funciones que es la representación de las coordenadas en una tabla o relación de datos. En el siguiente ejemplo usamos las coordenadas de la imagen anterior, solo se escriben en la columna de la izquierda los valores de “x” y en la derecha el valor correspondiente a “y”. También es posible que en lugar de la «y» este el símbolo  ʄx que indica que esos datos son una función en «x». 
                                                          
                      
Si pones atención puedes identificar que el cambio en “y” representa la pendiente que en la imagen anterior es «2», solo hay que tener presente que siempre que el cambio en la relación de«x» se de uno en uno, la «pendiente» va a ser el cambio que esta representado en «y»ʄx.
Si solo te presentan una función, como el caso anterior, no es necesario aplicar la fórmula de la pendiente. Solo hay que identificar la diferencia entre un número y otro en la columna de las “y”, esa es la pendiente. De hecho, puede haber problemas donde este método facilite la solución de la fórmula  y = mx + d, donde “m” representa la pendiente.
Ahora, en caso de que el cambio en «x» no sea de uno en uno, solo tienes que identificar el cambio que hay en la relacion de «y», lo escribes en el lugar del numerador, después identifica el cambio en «x» y lo escribes en el lugar del denominador. Como se esta representando en forma de fracción. Algunas veces va a ser necesario simplificar o dividir.
Practica con el siguiente ejemplo, primero identifica el cambio en «x», si va de dos en dos, de tres en tres, de cinco en cinco, etc.
Una vez que lo identifiques escribelo en el lugar del denominador. 
Después identifica el cambio en «y» y escribelo en el lugar del númerador.
                                         
En este ejemplo tu pendiente debe ser 2/3 porque el cambio en «y» es de dos en dos y el cambio en «x» es de tres en tres.
Ahora  hay que obtener la pendiente con este otro ejemplo:
                                              
     
En este caso hay que simplificar después de obtener los cambios te debe quedar 2/4 y esta respuesta hay que simplificarla (si no sabes como simplificar, revisa este tema) y la respuesta final debe ser ½. 
Últimos tips, siempre que los valores en «y» sean de cero en ambas coordenadas, no hay pendiente y finalmente hay que tener presente que si la pendiente es negativa, es un poco mas difícil identificar el signo solo con los cambios en las relaciones de «x» y «y» pero se puede comprobar haciendo la operación mentalmente o aplicando la fórmula.
EJERCICIOS DE PRACTICA
Con los siguientes pares de coordenadas, obten la pendiente aplicando esos cuatro métodos, en todos te debe dar el mismo resultado y en las funciones pueden intentar por lo menos encontrar cinco coordenadas diferentes.
  1. (5, 2) (3, 1)
  2. (9, 5) (4, 2)
  3. (6, 5) (5, 0)
  4. (8, 0) (6, 0)
  5. (3, 9) (2, 3)
  6. (– 4, 2) (– 5, 3)
  7. (2, – 4 ) (0, – 6)
  8. (– 1, – 4) (5, – 3)
  9. (0, – 3) (– 2, – 5)
  10. (– 3, – 7) (– 2, – 4)

RESPUESTAS

  1. ½
  2. 3/5 
  3. 5
  4. No hay pendiente
  5. 6
  6. – 1
  7. 1
  8. 1/6
  9. – 1
  10.  3