En esta clase vamos a cubrir todo lo relacionado con las ecuaciones lineales, vamos a repasar lo básico del Plano Cartesiano, las partes de la formula y = mx + b, que es lo que representa cada parte de la formula, como obtener la pendiente de una recta para finalmente graficar o representar la ecuación en el Plano Cartesiano. En seguida vas a encontrar un repaso de todos los temas por si quieres reforzar uno con mas calma y repasar. Una vez que se imparta la clase este sábado 15 de junio a las 10:00 am aparecerá publicada al final donde también vas a encontrar ejercicios de practica.
Durante este verano 2019 las clases se van a impartir los jueves a las 8:00 pm hora este y los sábados a las 10:00 am hora este por el canal de YOUTUBE, una vez que se termine la clase vas a encontrar las tareas y el video publicado en nuestra pagina web.
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En la clase de hoy vamos revisamos el tema de LEY DE SIGNOS PARA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN y MULTIPLICACIÓN DE TÉRMINOS. También puedes revisar los videos y los temas que están en seguida para estudiar. Si después de hacerlo tienes alguna recomendación o encuentras los temas muy difíciles, me pueden dejar Tus dudas al final del articulo.
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Esta es una serie de clases que vamos a impartir durante el verano. En esta primera clase revisamos el tema de SUMA Y RESTA DE NÚMEROS CON SIGNO Y SIMPLIFICACIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES. Revisa el video los temas que están en seguida para estudiar. Si después de hacerlo tienes alguna recomendación o encuentras los temas muy difíciles, me pueden enviar un mensaje info@spanishged365.com o dejar Tus dudas al final del articulo.
Durante este verano 2019 las clases se van a impartir los jueves a las 8:00 pm hora este y los sábados a las 10:00 am hora este por el canal de YOUTUBE, una vez que se termine la clase vas a encontrar las tareas y el video publicado en nuestra pagina web.
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PRÓXIMA CLASE DE ÁLGEBRA SE IMPARTIRA EL 25 DE MAYO A LAS 10:00 AM HORA ESTE
Si necesitas revisar o estudiar mas el tema que abordamos en clase, lo puedes hacer en estos enlaces.
Si la temperatura a las 5:00 am está a – 2 grados centígrados y para el medio día la temperatura está a 12 grados centígrados. ¿cuántos grados subió la temperatura?
El balance de la tarjeta de crédito de Laura era de – $125, si ha hecho los siguientes abonos en los últimos cinco meses: $15, $12, $25, $12, $10. ¿Cuál es su saldo actual sin contar intereses?
Miguel está recogiendo un sendero de 150 millas, si lleva caminando 4 días y en cada día recorre 15 millas, ¿Cuántas millas le faltan por recorrer?
El ingreso semanal de Luisa es de $329. Si en la semana gasto $40 en gasolina, $80 en despensa, $20 en pago de tarjetas, $60 de luz y $40 del plan de teléfono, ¿cuál dinero le queda?
La UNAM ofrece varios cursos en línea, completamente gratuitos, por medio de la plataforma CURSELA, entre ellos esta del de ÁLGEBRA BÁSICA que es de mucha utilidad para los estudiantes que se están preparando para presentar el examen del GED, HiSET, TASC, CENEVAL o incluso cualquier examen que aborde el tema.
Para tomar el curso deben activar una cuenta en la plataforma COURSERA. Si inicias el curso y consideras que es un poco difícil, estudia los TEMAS PREVIOS incluidos abajo.
El curso comprende cinco unidades y se da una semana para terminar cada unidad:
Unidad I NUMERACIÓN Y LENGUAJE ALGEBRAICO
Unidad II ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Unidad III POLINOMIOS
Unidad IV PRODUCTOS NOTABLES
Unidad V SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO POR FACTORIZACIÓN
Cada unidad incluye en promedio diéz temas a cubrir, ejercicios de practica y un examen final.
TEMAS PREVIOS
Si inician la clase y la encuentran un poco difícil, les recomiendo estudien los siguientes temas ya que hay temas que no se cubren y que son indispensables para entender lo abordado en la clase.
Para estudiar los temas, solo dale click a cada uno. Si hay algún enlace que no funciona o tienes alguna duda, puedes dejar tus comentarios al final de la columna.
El signo de agrupación que se usa con más frecuencia es el paréntesis, también tenemos los corchetes [ ] y las llaves { }. En esta lección vamos a trabajar con los paréntesis donde el objetivo es eliminarlos para poder llevar a cabo las operaciones y resolver los ejercicios.
El primer paso para eliminar paréntesis es aplicar la ley de signos de multiplicación y al hacerlo tenemos:
Siguiendo la ley de signos vamos a resolver el siguiente ejemplo:
Ejemplo I
(-2) (-4)
Cuando se tienen dos o mas números dentro de un paréntesis, indica multiplicación y el primer paso es MULTIPLICAR SIGNOS
PASO I
MULTIPLICAR SIGNOS
Menos por menos nos da mas.
+
PASO II
MULTIPLICAR NÚMEROS
Dos por cuatro es 8
R = 8
Ejemplo II
5 – ( 6) + 4
PASO I
Los números que no tienen paréntesis pasan igual, y se multiplican los signos que estan junto al paréntesis -(6) -Si un número no tiene signo, su signo es positivo)
5 – 6 + 4
PASO II
Se suman y restan los números de izquierda a derecha.
Resolver los trinomios cuadrados es sencillo si se tienen conocimientos básicos de la ley de signos para multiplicar y si incluye raíces cuadradas perfectas.
Y a pesar de que hay varios métodos para resolverlo, entre ellos la factorización, esta se puede dificultar cuando no se tienen número enteros.
Si se trata de trinomios cuadrados perfectos o de números enteros se recomienda aprender a aplicar la fórmula cuadratica de manera manual. Una vez aprendida, es indispensable también practicar usando la calculadora, sobre todo cuando se tienen trinomios representados con números racionales (fracciones) o decimales.
La siguiente imagen muestra las teclas que se usan en la calculadora TI-30XS MultiView para resolver una ecuación cuadrática o de segundo grado.
Pon especial atención a los signos negativos, uno esta entre paréntesis (-) en la parte inferior junto a la tecla «enter», otro no tiene paréntesis y esta arriba del signo +. Ambos se van a usar.
Ejemplo I
x2 + 3x – 10
Paso I Asignar valores (para aprender a asignar los valores, revisa el video)
a = 1
b = 3
c = – 10
Paso II Sustituir los valores de a, b y c en la fórmula
IMPORTANTE: Para la primera parte en el valor de «b» se deben multiplicar los signos antes de ponerlos en la calculadora, en este caso multiplicar –(+3) menos por mas da menos. Por esa razon queda –3.
Paso III. Una vez asignados los valores, puedes introducirlos en la calculadora, revisa el video y se muestra paso a paso como hacerlo. Después del video estan los pasos escritos como referencia.
Los valores en la calculadora se ponen en el orden que se indica a continuación:
Tecla “on” (Para prenderla)
n/d (Para indicar la fracción)
– (Para indicar el signo negativo usando la tecla (-)
3
+
2nd (Para activar la función de raíz)
x2 (para indicar la raíz cuadrada)
3
x2 (Para elevar el número al cuadrado)
– (Este signo negativo es el que está arriba del signo +, no el que está entre paréntesis)
4
(1) (Entre paréntesis el uno para indicar la multiplicación)
(-10) [Se repite con el 10 pero se usa el signo negativo que esta entre paréntesis (-)]
cursor hacia abajo (circulo)
2
(1) (Entre paréntesis el uno para indicar multiplicación)
Enter (Para terminar la operación)
Con esto se obtiene un valor de «x» pero todas las ecuaciones cuadraticas tienen dos valores para «x». Para obtener el otro valor hay que repatir todos los pasos y solo en el paso 5 poner el signo negativo que no esta entre paréntesis.
EJERCICIOS DE PRACTICA
Resuelve asignando valores para «x» y posteriormente poniendo los valores en la calculadora.
Una de las dificultades que enfrenan los estudiantes al aprender Álgebra es la confusión entre tantos números, letras y signos. Para facilitar este proceso de aprendizaje es recomendable identificar primero que tipo de operación se debe hacer, estas son las más básicas de suma, resta, multiplicación y división.
Primero, vamos a recordar las reglas de signo para suma y resta.
I. Números con signos iguales se suman:
– 4 – 5 = – 9
+ 4 + 5 = + 9
II. Números con signos diferentes se restan y se deja el signo del mayor:
+ 4 – 5 = – 1
– 4 + 5 = + 1
Solo se van a sumar o restar los TERMINOS SEMEJANTES que comparten la misma incognita (letra) y el mismo exponente.
2x2 + 6x2 – 8x2 (Todos son semejantes)
2x2 + 6x3 – 8x (Ninguno es semejantes, comparten la misma incognita – letra – pero diferente exponente)
Para aprender a sumar y restar terminos semejantes visita este enlace.
El siguiente paso es aprender a distinguir cuando se debe multiplicar teniendo presente siempre la ley de signos:
I. Números con signos iguales da positivo:
+ por + = +
– por – = +
II. Números con singos diferenes da negativo:
+ por – = –
– por + = –
III. Indica que se esta multiplicando cuando:
2x -hay un número y letra juntos
2(x) – hay paréntesis
2 • x – hay un punto entre el número y la letra u otro número
2 * x – hay un asterisco entre el número y la letra
¾x – hay una fracción junto a la letra
IV. Pasos para multiplicar
Primero se multiplica el signo
Segundo, se multiplican los coeficientes (números)
Tercero, se multiplican las incognitas (letras) – sumando exponentes
Cuarto, simplificar sumando y restando si es necesario
Para aprender a multiplicar términos, visita este enlace
Otra operación básica es la división
I. Pasos para dividir
Primero se multiplica el signo
Segundo, se dividen los coeficientes (números)
Tercero, se dividen las incognitas (letras) – RESTANDO exponentes
Una función es una relación numérica de valores que tienen una relación de dependencia, quiere decir que si tenemos dos cantidades o valores numéricos el primero va a depender siempre del segundo.
Un ejemplo sencillo para entender una función son las semanas laborales, si una persona gana $300 durante una semana laboral. Para ganar $600 debe trabajar 2 semanas y así sucesivamente. El ingreso que obtenga siempre va a depender del número de semanas que trabaje. ¡Sencillo, ¿verdad?!
Ahora, hay una variedad inmensa de funciones, pero ahora nos vamos a enfocar en las cuatro mas comunes, algunas mas complicadas que otras: constante, lineal, cuadratica y cúbica.
FUNCIÓN CONSTANTE
La función es constante cuando permanece siempre igual, sin importar cual sea el valor de entrada.
La fórmula para esta función es fx= c
FUNCIÓN LINEAL
Esta función nos permite dibujar una linea recta y se forma usando la fórmula fx = mx + b donde “m” es la pendiente (inclinación de la recta) y “b” es el intercepto en “y”. Ahora por cada valor que le demos a la “x” vamos a obtener un valor correspondiente para “y”(fx).
Para aprender mas sobre este tema se pueden estudiar los siguientes enlaces.
La función cuadratica es un polinomio de segundo grado, siempre va a cambiar de dirección en un punto que se llama VÉRTICE.
Siempre que el valor de +ax2es positivo, la dirección de la parábola va hacia arriba (como una U). Siempre que el valor de -ax2es negativo, la dirección de la parábola va hacia abajo (como una «U» invertida).
Los puntos claves en una parábola son el vértice, las raíces y el intercepto en «y».
Para aprender a obtener los valores en la parábola visita esta lección.
Otra pista importante en las funciones cuadraticas es que mientras mas chico sea el valor de “ax2 » mas ancha va a ser la parábola.
FUNCIÓN CÚBICA
f(x)= ax3 + bx2 – cx – d
Una función cúbica es un polinomio de tercer grado. Muchos de estos polinomios tienen tres raíces, quiere decir que la grafica va a tener tres puntos que atraviesan «x».
Si la «+ax3» es positiva, la gráfica va a iniciar de abajo hacia arriba (de izquierda a derecha).
Si la «- ax3« es negativa, la gráfica va a iniciar de arriba hacia abajo (de izquierda a derecha).
Ejemplo:
f(x)= x3 + x2 – 4x – 4
0 = x3 + x2 – 4x – 4 Se iguala a cero el polinomio.
Si tenemos dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas podemos buscar en punto de intersección de ambas aplicando tres métodos: de igualdad, de sustitución y de reducción (suma o resta).
Antes de continuar con el tema, revisa los temas previos
En esta ocasión vamos a revisar el método de sustitución para lo cual vamos a seguir los siguientes pasos.
1) 2x + y = 7
2) x + 3y = 11
PASO I
Elegir una de las ecuaciones y despejar una de las variables, en este caso vamos a despejar la “y” de la ecuación 1.
2x + y = 7 Despejando tenemos y = 7 – 2x
PASO II
El valor de “y” (7 – 2x) se sustituye en la ecuación 2 y tenemos:
x + 3(7 – 2x) = 11
PASO III
Resolvemos para encontrar el valor de “x”
x + 21 – 6x = 11
–5x = 11 – 21
x = – 10 ÷ – 5
x = 2
PASO IV
Sustituimos el valor de “x” en cualquiera de las ecuaciones
2 + 3y = 11
3y = 11 – 2
3y = 9
y = 9 ÷ 3
y = 3
El punto donde se cruzan ambas rectas es (2, 3)
Para comprobar se pueden asignar diferentes valores a la “x” o a la “y” en ambas ecuaciones
Representando las funciones en el Plano Cartesiano las rectas quedan de esta manera:
Para entender la división en algebra hay que saber dividir números naturales ya que se siguen los mismos pasos que una división regular. Además de eso es importante saber y dominar los siguientes temas:
Una vez repasados esos temas hay que aprender las partes de la división y los pasos a seguir.
Ejemplo
3m2 – 13m – 10 entre m – 5
PASOS I Ordenar el dividendo y el divisor en relación a la incógnita o letra (del exponente mas grande al mas chico. Poner dentro el dividendo y fuera el divisor.
PASO II Dividir el primer término del dividendo (3m2) entre el primer término del divisor (m). La respuesta se pone en la parte superior y es el primer termino del cociente.
PASO III Se multiplica el primer termino del cociente que se obtuvo de la división (3m) y después multiplica por todo el divisor (m – 5). La respuesta se escribe bajo el dividendo en el termino que corresponda para restarlo. IMPORTANTE: como se va a restar, se cambia el signo. Las respuestas de la multiplicación fueron 3m2 y – 15m, las escribimos – 3m2 y 15m.
PASO IV Se restan los terminos semejantes y el -10 se baja, nos queda 2m – 10.
PASO V Una vez que restamos, dividimos el primer término de la respuesta (2m) entre el primer término del divisor (m) y lo colocamos con su signo en la parte superior (lugar del cociente).
PASO VI Este segundo término del cociente (2) se multiplica por todo el divisor (m – 5) y la respuesta se resta del dividendo, recuerda!!!! Cambiando el signo.
Al restar nos queda cero. Y podemos hacer la comprobación multiplicando (m – 5) por (3m + 2)
Al factorizar trinomios cuadrados es necesario identificar qué tipo de trinomio es para saber cuál método aplicar. Los mas fáciles son los trinomios cuadrados perfectos y los pasos para resolverlos se explican en este enlace.
Características del trinomio cuadrado:
x2 + 12x + 4
El coeficiente y la incógnita del primer término tienen raíz cuadrada.
El coeficiente del tercer término es también una raíz cuadrada.
Si el trinomio NO cubre las dos carácteristicas anteriores, hay que verificar si es de la forma x2 + bx + c, para saberlo el trinomio debe cubrir las siguientes carácteristicas:
El coeficiente del primer término(x2) es el número 1, (recuerda que si un término no tiene coeficiente o número este siempre va a ser 1.
x2+ 5x + 6
La incógnita del primer término (x2) es una letra al cuadrado.
El segundo término (bx) tiene la misma incógnita (letra) que el primero y su exponente es 1, sin importar que coeficiente (letra) tiene.
El tercer término es independiente del primero y segundo término, esto es que no comparte la misma incógnita o letra.
Una vez que identificas que se trara de un trinomio de este tipo, los pasos para resolverlo son los siguientes:
Ejemplo I
x2 + 5x+ 6
PASO I
Descomponer en factores el primer término obteniendo la raíz cuadrada de la incógnita. Exprésalo en forma de binomio y escribe una “x” encada uno.
(x ) ( x )
PASO II
En el primer factor escribe el signo del segundo término del trinomio, en este caso es positivo + 5x
(x + ) ( x )
PASO III
En el segundo factor escribir el signo que resulte de la multiplicación del segundo y tercer término. En este caso es + ∙ + = +
(x + ) ( x + )
PASO IV
Factoriza el tercer término, esto es buscar todos los números que multiplicados entre si nos da el valor de «c» y sumados o restados nos da el valor de «b».
2 ∙ 3 = 6 sumados 2+3 =5 y restados da 1
1 ∙ 6 = 6 sumados 1 + 6 = 7 y restados nos da 5
IMPORTANTE: Si los signos del trinomio son iguales y positivos, se busca el par de números que sumados nos de el segundo término, en este caso el 2 y 3.
(x + 2) (x + 3)
Si el segundo y el tercer termino fueran negativos se usarian el 6 con signo negativo y el 1 con signo positivo.
También es posible que los signos del trinomio sean diferentes, quiere decir uno positivo y otro negativo, en ese caso solo si el tercer término es negativo se buscan los números que restados den el segundo término.
PASO V
Comprobar multiplicando (x +2) (x + 3) la respuesta debe ser el trinomio x2 + 5x + 6
Ejemplo II
m2 + 3m– 10
PASO I
Descomponer en factores el primer término obteniendo la raíz cuadrada de la incógnita. Exprésalo en forma de binomio y escribe una “m” encada uno.
(m ) (m )
PASO II
En el primer factor escribe el signo del segundo término del trinomio, en este caso es positivo + 3x
(m + ) (m )
PASO III
En el segundo factor escribir el signo que resulte de la multiplicación del segundo y tercer término. En este caso es + ∙ – = –
(x + ) ( x – )
PASO IV
Factoriza el tercer término, esto es buscar todos los números que multiplicados nos da esa cantidad.
2 ∙ 5 = 10
1 ∙ 10 = 10
IIMPORTANTE: Si los signos del trinomio son iguales, se busca el par de números que sumados nos del segundo término. En este caso son diferentes, no se aplica esta regla.
Como los signos del trinomio son diferentes y el negativo está en el tercer término. Se buscan los números que restados den el segundo término (3). Por tanto 5 menos 2 nos da 3, al representarlo el 2 va a ser negativo.
(m + 5) (m – 2)
PASO V
Comprobar multiplicando (m + 5) (m – 2) la respuesta debe ser el trinomio m2 + 3m – 10.
Un monomio está compuesto por un solo término el cual incluye signo, coeficiente, incógnita y exponente por tanto un polinomio es aquel que tiene dos o más términos. Para factorizar un polinomio vamos a seguir los siguientes pasos:
Si tienes dificultad con estos temas es recomendabel revisar primero:
PASO I: Buscar el factor común de ambos términos. El factor común para las incógnitas (letras) es la que se encuentra en ambos términos. Para entender el factor común de los coeficientes (números) revisa este enlace.
Para este caso el factor común es la “b”
PASO II: Dividir cada termino entre el factor común que se encontró, ósea que vamos a dividir b2 ÷ b y 3b ÷ b. Si tienes dificultad para dividir términos, revisa este enlace.
b2 ÷ b = b
2b ÷ b = 2
PASO III: Se escriben las respuestas dentro de un paréntesis incluyendo los signos, y afuera del paréntesis se escribe el factor común.
b (b + 2)
Ejemplo II
10n – 30mn2
PASO I: Buscamos el factor común para las incógnitas (letras) y los coeficientes (números)
10 → 2, 5, 10
30 → 3, 10
n – mn2 → n
Nuestro factor común va a ser el 10 porque se repite en ambos coeficientes y la n
OJO: Si al factorizar se repite más de dos veces un número escogemos el MAYOR como factor común
PASO II: Dividimos los términos entre los factores comunes
10n ÷ 10n = 1
– 30mn2 ÷ 10n = – 3mn
PASO III: Poner las respuestas que obtuvimos de las divisiones dentro de un paréntesis respetando signos y afuera el factor común que obtuvimos
10n(1 – 3mn)
Ejemplo III
15x3+ 20x2 – 5x
PASO I: Obtenemos el factor común de los coeficientes y las incógnitas
15 → 3, 5
20 → 2, 4, 5, 10
5 → 1, 5
Factor común → 5
Para las incógnitas es x
PASO II: Dividimos cada termino entre el factor común
15x3÷ 5x → 3x2
20x2 ÷ 5x → 4x
– 5x ÷ 5x → -1
PASO III: Escribimos las respuestas de la división dentro de un paréntesis incluyendo los signos y afuera el factor común.
De la factorización de trinomios, el de cuadrados perfectos es uno de los más fáciles ya que solo tenemos que entender el concepto de la raíz cuadrada perfecta, que no es otra cosa que buscar el número que multiplicado por el mismo nos de el valor que buscamos, por ejemplo la raíz cuadrada de 25 es 5 porque 5 por 5 es 25 y así sucesivamente, este tema lo puedes revisar el siguiente video.
Al buscar los factores de un trinomio cuadrado perfecto se van a obtener aquellos que multiplicados por sí mismo nos dan el trinomio. Si ya sabes multiplicar factores se te va a facilitar entender este tema, veamos el primer ejemplo y los pasos para resolverlo:
Antes de aplicar este método de factorización debes determinar si el primer y tercer término del trinomio son cuadrados perfectos, en el caso de las incógnitas o letras, solo es ver si su exponente es par, quiere decir que la raíz cuadrada de x4 = x2, de m6n2 = m3n y así sucesivamente.
x2+ 6x + 9
PASO I
Obtener la raíz del primer término (azúl), abrir un paréntesis y poner la respuesta. (Para obtener la raíz cuadrada de cualquier incognita, simplemente se divide el exponente entre 2).
(x
PASO II
Identificar el signo de segundo término (verde) y escribirlo enseguida.
(x +
PASO III
Obtener la raíz cuadrada del tercer término (rojo), escribelo después del signo y cerrar el paréntesis.
(x + 3)
PASO IV
Elevar al cuadrado la respuesta.
(x + 3)2
Ejemplo II
x4+ 4x2y + 4y2
PASO I
Obtener la raíz cuadrada del primero y tercer término – azul y rojo- (recuerda que los exponentes de las incógnitas se dividen entre dos).
PASO II
Escribir las respuestas dentro de un paréntesis.
(x2 2y)
PASO III
Escribir el signo del segundo término y elevas al cuadrado.
(x2 + 2y)2
Para comprobar la respuesta, simplemente se multiplica el binomio por el mismo.
(x2 + 2y) (x2 + 2y)
x4 + 4x2y + 4y2
Ejercicios de practica
4 – 4x + x2
4x2 + 12x + 9
x2y2 + 8xy +16
25m2 – 10mn + n2
m2n2 + 10mn + 25
36x2 – 108x + 81
9m2 + 12mn + 4n2
m2 + 4mn + 4n2
9x4 – 30x3y + 25x2y2
16m8 – 64m5n – 64m2n2
RESPUESTAS
Las respuestas las puedes representar (x – 2)2 o (x – 2) (x – 2)
(x – 2)2
(2x + 3)2
(xy + 4)2
(5m – n)2
(mn + 5)2
(6x – 9)2
(3m + 2n)2
(m + 2n)2
(3x2 – 5xy)2
(4m4 – 8mn)2
Pasos para resolverlos
1. x2– 4x + 4 Primero verifica que el trinomio este ordenado
(x ) (x ) Obten la raíz del primer término – separando las x
(x 2) (x 2) Obten la raíz del tercer término – √4 = 2
(x –2) (x 2) En el primer factor escribes el signo del segundo término.
(x – 2) (x – 2) Multiplicas el singo del primer término por el signo del tercero. – por + = –
2. 4x2 + 12x + 9
(2x ) (2x ) Obten la raíz del primer término – √4 = 2 y √x2 = x
(2x 3) (2x 3) Obten la raíz del tercer término – √9 = 3
(2x +3) (2x 3) En el primer factor escribes el signo del segundo término.
(2x + 3) (2x + 3) Multiplicas el singo del primer término por el signo del tercero. + por + = +
3. x2y2 + 8xy +16
(xy ) (xy ) Obten la raíz del primer término – √x2 = x y √y2 = y
(xy 4) (xy 4) Obten la raíz del tercer término – √16 = 4
(xy +4) (xy 4) En el primer factor escribes el signo del segundo término.
(xy + 4) (xy + 4) Multiplicas el singo del primer término por el signo del tercero. + por + = +
4. 25m2 – 10mn + n2
(5m ) (5m ) Obten la raíz del primer término – √25 = 5 y √m2 = m
(5m n) (5m n) Obten la raíz del tercer término – √n2 = n
(5m –n) (5m n) En el primer factor escribes el signo del segundo término.
(5m – n) (5m – n) Multiplicas el singo del primer término por el signo del tercero. – por + = –
5. m2n2 + 10mn + 25
(mn ) (mn ) Obten la raíz del primer término – √m2 = m y √n2 = n
(mn 5) (mn 5) Obten la raíz del tercer término – √25 = 5
(mn +5) (mn 5) En el primer factor escribes el signo del segundo término.
(mn + 5) (mn + 5) Multiplicas el singo del primer término por el signo del tercero. + por + = +
6. 36x2 – 108x + 81
(6x ) (6x ) Obten la raíz del primer término – √36 = 6 y √x2 = x
(6x 9) (6x 9) Obten la raíz del tercer término – √81 = 9
(6x –9) (6x 9) En el primer factor escribes el signo del segundo término.
(6x – 9) (6x – 9) Multiplicas el singo del primer término por el signo del tercero. – por + = –
7. 9m2 + 12mn + 4n2
(3m ) (3m ) Obten la raíz del primer término – √9 = 3 y √m2 = m
(3m 2n) (3m 2n) Obten la raíz del tercer término – √4 = 2 y √n2 = n
(3m +2n) (3m 2n) En el primer factor escribes el signo del segundo término.
(3m + 2n) (3m + 2n) Multiplicas el singo del primer término por el signo del tercero. + por + = +
8. m2 + 4mn + 4n2
(m ) (m ) Obten la raíz del primer término – √m2 = m
(m 2n) (m 2n) Obten la raíz del tercer término – √4 = 2 y √n2 = n
(m +2n) (m 2n) En el primer factor escribes el signo del segundo término.
(m + 2n) (m + 2n) Multiplicas el singo del primer término por el signo del tercero. + por + = +
9. 9x4 – 30x3y + 25x2y2
(3x2 ) (3x2 ) Obten la raíz del primer término – √9 = 3 y √x4 = x2
(3x25xy) (3x25xy) Obten la raíz del tercer término – √25 = 5 , √x2 = x y √y2 = y
(3x2–5xy) (3x2 5xy) En el primer factor escribes el signo del segundo término.
(3x2–5xy) (3x2– 5xy) Multiplicas el singo del primer término por el signo del tercero. – por + = –
10. 16m8 – 64m5n – 64m2n2
(4m4 ) (4m4 ) Obten la raíz del primer término – √16 = 4 y √m8 = m4
(4m48mn) (4m48mn) Obten la raíz del tercer término – √64 = 8, √m2 = m y √n2 = n
(4m4–8mn) (4m4 8mn) En el primer factor escribes el signo del segundo término.
(4m4– 8mn) (4m4– 8mn) Multiplicas el singo del primer término por el signo del tercero. – por – = –
