Los radicales solemos asociarlos con la “raíz cuadrada” pero esta es solo una parte de todo lo que comprende un radical que puede expresarse de diferente manera representando en cada una operaciones diversas, por ejemplo a todas estas expresiones las conocemos como “radicales”.
Partes de un radical
En la imagen, el tres es el radicando y el cuatro el índice, lo que se debe obtener es la cuarta raíz de tres.
Cuando tenemos expresiones sin el índice, indica que el índice es “2”, lo que conocemos como raíz cuadrada, por ejemplo: , en todos estos ejemplos, aunque no lo veas, el índice es “2” y generalmente no se escribe.
Es importante tener presente la respuesta de cualquier “raíz cuadrada” puede ser positivo o negativo y para eso usamos el símbolo «mas menos». Para entender ese concepto veamos el siguiente ejemplo:
(–5 )2 = 25
( 5)2 = 25
Pon mucha atención en el primer ejemplo al elevar el -5 al cuadrado tenernos (-5) (-5) = 25 porque multiplicas el signo y recuerda que los paréntesis representan una multiplicación.
Por esa razón la respuesta a la raíz cuadrada de ,, puede ser 5 y – 5, también se puede representar y se lee “mas menos 5”. Por lo general siempre se va a obtener la raíz positiva, a menos que se indique otra cosa, se recurre al signo negativo.
El coeficiente en los radicales
El coeficiente se representa escribiendo un número o letra enfrente de otro (2x, az,) significa 2 por “x”, y “a” por “z”. Entonces el 2 es coeficiente de “x”, “a” es el coeficiente de “z”.
Esto mismo aplica con los radicales, si tenemos significa 8 por , también se lee 8 es el coeficiente de . Otros ejemplos
Radicales semejantes
Los radicales son semejantes cuando tiene el mismo índice y el mismo radicando, no importa que el coeficiente sea diferente. Por ejemplo, son radicales semejantes, todos tienen como índice el tres y radicando el 4 aun cuando sus coeficientes sean diferentes.
Cuando un radical no tiene coeficiente, se sobreentiende que es el 1, por ejemplo tienen como coeficiente el número 1.
Suma y resta de radicales
Para poder sumar o restar radicales, estos deben ser semejantes, quiere decir que deben compartir el mismo índice y radicando; también hay que estar familiarizados con la suma y resta de números con signo para poder realizar estas operaciones.
Ejemplos:
Si tienes dificultad para entender las respuestas, ve la operación sin la raíz. Recuerda que si no hay un número antes del signo de raíz, ese número es 1.
Las graficas son la representación sintetizada de una base de datos que tienen una relación entre sí. Los formatos más comunes de representar esos datos son usando las graficas de barras, lineales y circulares.
Para la grafica de barras y las lineales vamos a usar las coordenadas y dibujar barras horizontales o verticales donde la escala es proporcional a los datos que representa.
EJEMPLOS
Los siguientes datos representan el desempeño de 11 estudiantes al contestar seis preguntas. Para graficar estos datos vamos a usar las coordenadas.
Para representar los datos en una grafica, vamos a poner en la línea horizontal el número que representa los estudiantes y en la línea vertical el número de pregunta.
También puede graficarse poniendo el número de pregunta en la línea horizontal y el número que representa a los estudiantes en la línea vertical.
Si quisiéramos incorporar mas información a la grafica, podríamos usar dos colores y representar mas datos, por ejemplo cuales de esos estudiantes fuero hombres y cuales mujeres. En la tabla inicial, las F = mujeres y la M= hombres. La grafica quedaría así:
Como puedes ver, esta grafica es casi idéntica a la anterior, solo que contiene dos colores, que indican el género de cada estudiante, de esta manera estamos incluyendo más información en la misma grafica sin necesidad de hacer dos separadas.
Estas graficas pueden representarse de manera horizontal, quiere decir que las barras no estarían paradas si no quedarían de la siguiente manera y si observas con cuidado y revisas los datos te vas a dar cuenta que las últimas dos graficas representan la misma información lo único que cambia es la dirección de las barras.
EJERCICIOS DE PRACTICA
La siguiente tabla muestra los datos demograficos de las personas que vieron nuestros videos en el canal de Youtube durante 30 días, el total de vistas fue de 62,495.
Identifica la siguiente información:
1. ¿Qué porcentaje de usuarios son mujeres?
2. ¿Qué porcentaje de usuarios tienen una edad entre 45 a 54 años de edad en los Estados Unidos?
3. ¿En qué país es mas alto el nivel de usuarios de entre 13 y 17 años de edad?
4. De acuerdo con los datos de la gráfica, se puede deducir que en Chile los videos del canal son mas populares entre las edades de:
5. ¿Entre qué edades es mas popular el canal en cada país?
Si ya has estudiado los PORCENTAJES, puedes obtener la siguiente información:
6. ¿Cuántas personas del sexo masculino de entre 35 y 44 años de edad vieron los videos durante ese periodo?
7. ¿Cuántas personas mayores de 65 años vieron videos?
8. ¿Cuál fue el número mas elevado de visitas en cada país y a qué edades corresponde?
9. ¿Cuántas mas personas, de entre 45 a 54 años vieron los videos, en Estados Unidos que en Chile?
Un formato común para representar datos son las graficas lineales, de barras y circulares, siendo estas tres las mas comunes. Sin embargo, el nuevo examen del GED incluye otro tipo de gráfica llamado «diagrama lineal» e incluye la representación de datos marcados con la letra «x» sobre una línea.
A los maestros les recomiendo que realicen esta actividad con sus estudiantes para que se familiaricen con este tipo de formato y la forma de representarlo. Aun cuando las preguntas pueden ser planteadas de diferente manera, los elementos más importantes a considerar son, en este caso, el número de preguntas y estudiantes.
Al finalizar la clase suelo asignar un número a cada estudiante, les presento ciento número de preguntas relacionadas con el tema visto, en este ejemplo son cinco. Después de cada pregunta cada estudiante indica si su respuesta fue correcta y la marco en una tabla, presentada abajo.
Los números rojos indican el número de pregunta; los azules, los estudiantes.
Veamos como representarlas de acuerdo al formato planteado en el Nuevo examen del GED.
PASO I: Dibuja una línea y bajo ella los números del uno al cinco, que van a indicar el número de preguntas correctas que obtuvo cada estudiantes.
PASO 2: Contar el número de preguntas correctas que obtuvo cada estudiante, empezando por el primero. En este caso el estudiante No. 1 obtuvo 4 preguntas correctas y vamos a marcar una x en el numero 4.
Pasa al estudiante No. 2, obtuvo 4 correctas, marca otra x arriba del 4, el estudiante No. 3 obtuvo una correcta, marcas una x arriba del 1, y asi sucesivamente.
Al terminar, queda de la siguiente manera e indica que un estudiante obtuvo una pregunta correcta, siete, cuatro buenas y tres cinco buenas. Como puedes ver en la parte superior de la línea hay 11 “x” que indica el total de los estudiantes. Sencillo, verdad!
Es posible que en el examen solo te pidan representar esta grafica o si está incompleta, que incorpores las “x” que hagan falta. También pueden evaluarte la MODA, MEDIANA, MEDIA –promedio- o RANGO. En ese caso coincide que todos van a ser 4.
MODA = 4
MEDIANA = 4
RANGO= 4
MEDIANA o PROMEDIO = 4
En este último, multiplicas 1(1) + 4 (7) + 5 (3) y el resultado lo divides entre 11 que fue el total de estudiantes y la respuesta es 4.
EJEMPLO II
Otra actividad que puedes realizar es tomar el record de las millas que caminas durante 7 días. (si tienes un Iphone, baja la aplicación de Argus) si no solo invéntate los datos redondeado a enteros y grafícalos.
En los últimos 7 días yo camine: 2, 6, 1, 2, 2, 5, 4
En este caso no se presenta tabla, simplemente los datos, no importa en que día fue, solo que son los últimos 7 días. Para hacer la tabla, nos vamos en el rango de numero que tenemos que van del 1 al 6.
Para representarlo, dibujamos la línea y la cantidad de millas en la parte de abajo, en este caso, van del 1 al 6
En este caso, las x representan los días, y como un día camine una milla, pongo una “x” arriba del 1, tres días camine 2 millas, van tres “x”. Otra “x” va encima del 4, porque solo un día camine cuatro millas, y así sucesivamente hasta representar todos los días. En este caso, las “x” representan los días aunque no se especifique que día.
Una vez que estudies estos conceptos y definiciones, te vas a dar cuenta que el mas fácil es la moda que en este caso es el 2.
El RANGO es también fácil de obtener, solo restas 6 – 1 = 5
Para obtener la mediana, si ordenas los números en orden tenemos
1, 2, 2, 2, 4, 5, 6
Ten presente, si tuviéramos solo 6 datos, digamos que tenemos 2, 2, 2, 4, 5, 6 en este caso seleccionamos los dos números que quedan en medio y los dividimos en dos, en este caso la mediana es 3.
Por último el promedio o media, en este caso sumas todos los datos (1 +2 + 2 + 2 +4 + 5 + 6) ÷ 7 = 3.1
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Los siguientes ejercicios van a variar en cada caso y vas a iniciar colectando los datos o inventando la información para después graficarla.
1. Elabora 10 ejercicios al azar de cualquier tema que quieras practicar durante 7 días, registra tu desempeño como se muestra en la primera grafica. (a la izquierda puedes poner el número de pregunta y en la parte superior los días). Una vez que tengas los datos, grafícalos usando el formato de las “x”.
2. Registra el cambio de temperatura durante cinco días, usando la temperatura máxima como parámetro. En este caso los valores de la recta puedes ser más grande, dependiendo de los grados que cambie la temperatura de un día a otro.
Una vez que se ha aprendido a multiplicar términos representados en monomios o binomios se puede iniciar con la multiplicación de factores con dos términos. Para ello es importante dominar la ley de signos para suma y resta y para multiplicación y división, de lo contrario puede crear confusión. De igual manera, hay que tener presente que la multiplicación en algebra puede representarse de la siguiente manera, los primeros tres son los más usados.
2x
2(x)
2 • x
2*x
A continuación tenemos dos factores, cada uno con dos términos, (x + 5) (x – 4). Para resolverlo, los dos términos del primer factor (x + 5) multiplican los dos términos del segundo factor (x – 4). Puede haber varios métodos para resolverlo, pero veamos el más sencillo aplicando el siguiente orden:
EJEMPLO I
(x + 5) (x – 4)
PASO I
Multiplicar los términos de los factores en el orden que se indica.
x (x) = x2
x (– 4) = – 4x
5 (x) = 5x
5 (–4) = – 20
PASO II
Hay que escribirlos en el orden en que se multiplican.
x2– 4x + 5x – 20
PASO III
Simplificar sumando o restando términos semejantes, en este caso el – 4x y 5x se restan. Nos da x.
PASO IV
Se escriben todos los valores juntos. (La «x» al cuadrado, la «x» sola y el coeficiente).
x2 + x – 20
EJEMPLO II
(x – 3) (6 + x)
PASO I
Multiplicar los términos de los factores en el orden que se indica.
x (6) = 6x
x (x) = x2
–3 (6) = –18
–3 (x) = –3x
PASO II
Se escribe primero el que tienen potencia 2; segundo, los que tienen literales con potencia 1; al final el coeficiente (número).
Una vez que has aprendido a identificar y aplicar las desigualdades en la recta numérica, puedes intentar resolver desigualdades expresadas en forma de ecuación. Para eso es indispensable saber resolver ecuaciones, veamos esta comparación para identificar las semejanzas y diferencias.
Una desigualdad se resuelve siguiendo los mismos pasos que se utilizan para resolver una ecuación, (solo recuerda que en lugar de tener el símbolo = vamos a tener algún símbolo de desigualdad).
EJEMPLO I
2x – 4 < – 2
PASO I
Hay que ordenar la desigualdad poniendo del lado derecho todos los números y dejando a la izquierda la “x”. Recuerda que al pasar un número de la izquierda a la derecha, cambia su signo, (si esta sumando, pasa restando; si está multiplicando pasa dividiendo o viceversa)
2x < – 2 + 4
PASO II
Simplificar si es necesario, en este caso simplificamos los números usando la ley de signos para suma y resta.
2x < 2
PASO III
Despejar el dos, como está multiplicando a la x, pasa dividiendo al otro lado del signo de desigualdad.
x < 2/2
PASO 4
Realizar la división de 2 entre 2 y obtienes el valor de la desigualdad. En este caso indica que el valor de x debe ser menor a 1 (0, –1, –2, –3, etc.).
x < 1
Representación en la recta numérica.
EJEMPLO II
–5x + 2 (x – 4) ≤ 7
PASO I
Simplificar, primero despejando paréntesis.
–5x +(2x – 8) ≤ 7
–5x +2x – 8 ≤ 7
PASO II
Pasar el -8 al lado derecho de la desigualdad. (Es negativo, pasa con signo positivo)
–5x +2x ≤ 7 + 8
PASO III
Sumar o restar términos semejantes en ambos lados de la desigualdad.
–3x ≤ 15
PASO IV
Despejar el -3. (Está multiplicando a la x, pasa del otro lado dividiendo)
x ≤ 15/–3
IMPORTANTE: Si en el último paso se multiplica un número negativo el símbolo de la desigualdad se invierte.
x ≥–5
Finalmente solo se representa la desigualdad en la recta numérica.
Ejemplo III
3x – 6x – 10 < x + 6 + 4
PASO I
Simplificar ambos lados de la desigualdad 3x – 6x = –3x y 6 + 4 = 10 antes de despejar
– 3x – 10 < x + 10
PASO II
Despejar pasando los números con “x” a la izquierda y los números que no tienen incognita a la derecha cambiando su signo o poniendo el signo contrario.
–3x –x < 10 +10
PASO III
Simplificas ambos lados de la desigualdad
-4x < 20
PASO IV
El -4 está multiplicando a la “x”, lo despejamos dividiendo al 20 y pasa con su signo negativo
x < 20/–4
PASO 5: Dividimos 20 entre -4, recuerda que al dividir, los signos se multiplican y el signo de desigualdad cambia de dirección.
IMPORTANTE: Si en el último paso se multiplica un número negativo el símbolo de la desigualdad se invierte.
x >–5
Por último representas la desigualdad en la recta numérica.
a todas estas expresiones las conocemos como “radicales”. 
, en todos estos ejemplos, aunque no lo veas, el índice es “2” y generalmente no se escribe.
«mas menos». Para entender ese concepto veamos el siguiente ejemplo:
, puede ser 5 y – 5, también se puede representar y se lee “mas menos 5”. Por lo general siempre se va a obtener la raíz positiva, a menos que se indique otra cosa, se recurre al signo negativo.
significa 8 por 
, también se lee 8 es el coeficiente de . Otros ejemplos
son radicales semejantes, todos tienen como índice el tres y radicando el 4 aun cuando sus coeficientes sean diferentes.
tienen como coeficiente el número 1.
