Propiedad conmutativa, asociativa y distributiva

Propiedad conmutativa, asociativa y distributiva

En las operaciones que se incluyen en aritmética, álgebra y análisis matemático se siguen ciertas condiciones relacionadas con las propiedades numéricas llamadas: neutras, conmutativa, asociativa y distributiva. Estas propiedades nos permiten simplificar una expresión aplicadas a la suma y multiplicación. Así vamos a aprender:

  • Las propiedades de los elementos neutros para la suma y multiplicación
  • La propiedad conmutativa para la suma y multiplicación
  • La propiedad distributiva para la suma y multiplicación
  • La propiedad asociativa que combina ambas, la suma y la multiplicación.

PROPIEDAD DEL ELEMENTO NEUTRO 

Para la SUMA, dicha propiedad nos dice que cualquier número sumado a  0 va a dar como resultado es el mismo número. Con respecto al cero, no aplica a la multiplicación porque cualquier número multiplicado por cero nos da cero y no el número original.

4 + 0 = 4 

Para la MULTIPLICACIÓN, la propiedad del número neutro corresponde al número uno, ya que cualquier número multiplicado por uno nos da el mismo número original.

6 x 1 = 6

PROPIEDAD CONMUTATIVA

Para la SUMA, nos indica que no importa el orden en que se sumen dos números, el resultado siempre va a ser el mismo. 

Nos da la misma respuesta si sumamos 4 + 5 = 9   o  5 + 4 = 9                             

Esta ley solo aplica a la SUMA, y no a la resta.

La conmutatividad en la MULTIPLICACIÓN nos dice que cuando dos o más números son multiplicados, su orden puede cambiarse sin afectar el resultado.

Por ejemplo, se obtiene el mismo resultado si multiplicas  6 = 30 o si multiplicas  5 = 30 .

PROPIEDAD ASOCIATIVA

Para la SUMA, nos indica que los números en una expresión aditiva pueden reagruparse usando paréntesis. Lo único que indica con los paréntesis, es que los números que se encuentran dentro, se deben sumar primero. 

1)      (3 + 4 ) + 5

            7 + 5

             12

2)      3 + (4 + 5)

             3 + 9

             12

Como puedes observar el paréntesis no afecta el resultado final ya que lo único que indica es cuales números se suman primero.

La propiedad asociativa para la MULTIPLICACIÓN tiene la misma función que en la suma, se agrupan dos números y se resuelve primero lo que está dentro del paréntesis.

1)  (3 • 4) • 5

        12 • 5

      r = 60

2)    3 • (4 • 5)

         3 • 20

     r = 60

Así, es lo mismo (3 • 4) • 5    que  3 • (4 • 5)

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

Esta propiedad relaciona tanto la propiedad conmutativa como la distributiva, así como las operaciones de SUMA y MULTIPLICACIÓN.

En el siguiente ejemplo, entre el tres y el paréntesis no hay ningún signo por lo que indica multiplicación y entre paréntesis se tiene la suma de 5 + 4 por lo que se debe resolver primero y al final multiplicar el 3 por 9.

3 (5 + 4) 

 3  9 

r = 27

Otra forma de resolverlo es que el factor o número que esta fuera del paréntesis se distribuye en cada uno de los sumandos que estan dentro del paréntesis. En otras palabras, el número que esta fuera multiplica por separado cada uno de los números que estan dentro del paréntesis.

3 (5 + 4)

15 + 12

r = 27 

Piensa que tienes cinco manzanas y cuatro peras distribuidas en tres canastas, en total vas a tener 27 frutas, pero el total de manzanas son 15 y de peras son 12. 

Estas propiedades también se aplican en álgebra y en la siguiente tabla se ilustran algunos ejemplos.

En el siguiente video se explican cada una de las propiedades y al final un par de ejercicios.

EJERCICIOS DE PRACTICA

Reescribe las siguientes operaciones usando la propiedad CONMUTATIVA

1.    3 + 4 

2.    2.5 + 3.2

3.     5

4.     2

5.    m + n

6.    r + q

7.    z + y

8.    w + v

9.    • k

10.  • f

Reescribe las siguientes operaciones usando la propiedad ASOCIATIVA

1.    (5 + 2) + 7

2.    3 + (8 + 2)

3.    (5  2)  4

4.    9 (3 2)

5.    m (n p)

6.    z (x y)

7.    p (m n)

8.    q (h g)

9.    7  (4 3)

10.  6 (2 5)

 Reescribe la operación usaldo la propiedad DISTRIBUTIVA

1.    (2 + 5)

2.     2 + 3  7

3.    5 (2 + 6)

4.     4 + 2  5

5.    (n + p)

6.    z (y + x)

7.    (p + q)

8.    (f + d)

9.    (b + h)

 

10.  j (m + n)

Ejercicios para resolver a mano en el examen del GED

Ejercicios para resolver a mano en el examen del GED

El formato para el examen de matemáticas está compuesto por dos partes. La primera, incluye cinco preguntas para resolver a mano. En la segunda parte se puede usar la calculadora. A continuación, se presentar una serie de ejercicios de practica parecidos a los que les van a presentar en el examen. Esto no quiere decir que van a ser los mismos ejercicios.

FRACCIONES

ALGEBRA

MULTIPLICACIÓN CON DECIMALES

DECIMALES Y FRACCIONES

Ordena de menor a mayor los siguientes valores

   

ORDEN DE OPERACIONES

Errores en matemáticas

Errores en matemáticas

     En un informe reciente emitido por el GED®  Testing Service se hizo entrega de una lista de habilidades y preguntas de los principales errores o equivocaciones que tienen los estudiantes al  momento de hacer el examen. A continuación se incorporan las preguntas tal como las ofreció el GED® Testing Service, no quiere decir que son el único tipo de preguntas solo son ejemplos del tipo de preguntas en las que más se han equivocado los estudiantes.

RAZONAMIENTO  MATEMÁTICO 

1. HABILIDAD:  

Obtener el área y circunferencia de un cirulo. Encontrar el radio o diámetro de un círculo cuanto se da el área o circunferencia

EJEMPLO:

 El área de un circulo es 855 pulgadas cuadradas. ¿Cuál es el diámetro del círculo?

2.  HABILIDAD:

Obtener el perímetro y área de un polígono. Encontrar la longitud de un polígono cuando se da el perímetro o área.

EJEMPLO:

Encuentra la altura y perímetro de un triángulo cuya área es de 12 pies cuadrados y su base de 6 pies y los lados laterales miden 5 pies.

3. HABILIDAD

Obtener el perímetro y área de dos figuras compuestas que puede incluir círculos

EJEMPLO:

Encuentra el área y perímetro de la siguiente figura

4. HABILIDAD:

Usar factores de escala para determinar la magnitud de un cambio de tamaño. Convertir entre dibujos reales y dibujos de escala.

EJEMPLO:

Dos rectángulos semejantes. El área de uno de los rectángulos es 24 pulgadas cuadradas y  de largo mide 8 pulgadas. El otro rectángulo  tiene un ancho de  12 pulgadas. ¿Cuál es el área del segundo rectángulo? Pista: primero debes obtener el ancho del primer rectangulo, aplicar la regla de tres o aplicar el factor de escala para obtener el largo del segundo rectangulo y finalmente obtener el área.

¿Cuál es el factor de escala entre el primero y segundo rectángulo?

5. HABILIDAD: 

Resolver problemas verbales de interés,  incluyen pero no están limitados a: interés simple, impuestos, márgenes, rebajas, propinas, comisiones, incremento o disminución de intereses.

EJEMPLO:

En Junio Sam trabajo 45.5 horas en junio y en julio 35 horas. ¿Cuál es el porcentaje de disminución en sus horas de junio a julio, al porcentaje más cercano?

6. HABILIDAD:

Localizar puntos en el plano cartesiano

EJEMPLO:

Marca la siguiente coordenada       (-3, 4)

7. HABILIDAD: 

Determinar la pendiente de una línea en una gráfica, ecuación o tabla (función)

EJEMPLO:

¿Cuál es la pendiente de la línea representada por la siguiente ecuación y = -5x + 2?

¿Cuál es la pendiente de la línea que paso por los puntos (-4, 3) y (2, -1)?

8. HABILIDAD:

Graficar dos variables de una ecuación lineal

EJEMPLO: Grafica la recta de la siguiente ecuación y= 2x -1

Completa una función asignando valores para “x” y “y”

PROBLEMAS ALGEBRAICOS REPRESENTADOS VERBALMENTE CON SITUACIONES REALES

1. HABILIDAD: 

Encontrar el valor de una variable en una ecuación lineal, formulas. Los estudiantes deben: Identificar o crear el primer paso para resolver una ecuación. En estos ejercicios el estudiante no debe resolver toda la ecuación, solo identificar o crear el primer paso a seguir para resolverlo.

EJEMPLO:

En la siguiente ecuación:

-2(x – 7) = 8x + 3 – 6x

¿Cuál de las siguientes opciones puede ser el primer paso para resolver la ecuación?

  1. Sumar 7 a los dos lados de la ecuación
  2. Restar “x” en los dos lados de la ecuación
  3. Combinar todos los términos del lado derecho de la ecuación
  4. Aplicar la propiedad distributiva en el lado izquierdo de la ecuación

2. HABILIDAD: 

           Resolver eciaciones lineales con una variable. Se presenta una desigualdad lineal en una variable, el estudiante debe tener la habilidad de identificar o crear el primer paso o procedimiento para resolverlo

EJEMPLO:

Con este tipo de pregunta, el estudiante no debe resolver toda la desigualdad, simplemente necesitan tener la habilidad de identificar o crear el primer paso para resolverlo.

Para la ecuación:

4x2 + 3x – 27 = 0

¿Cuál es el primer paso que debes hacer para encontrar el valor de “x”?

3. HABILIDAD:

Crear expresiones lineales  presentadas verbalmente usando símbolos o representar situaciones reales en forma de expresión. Se da una situación real expresada verbalmente y el estudiante debe tener la habilidad de expresar el problema en una expresión lineal

EJEMPLO:

En un viaje de estudios, debe haber  un maestro por cada 6 estudiantes. ¿Cuál expresión puede ser usada para representar el número de maestros requeridos?

  1. 6 – m
  2. m/6
  3. 6+m
  4. 6/m

4. HABILIDAD:

Crear una o dos variables en una ecuación lineal para representar situaciones que se te den.

EJEMPLO: 

En un viaje de estudios, debe haber un maestro por cada 6 estudiantes (s). Además, un maestro (m) extra es requerido como encargado del viaje. ¿Cuál ecuación puede ser usada para encontrar el número de maestros “m” que se requiere por estudiante “s”?

  1. m = 6s + 1
  2. m = s/6 + 1
  3. s = 6/m + 1
  4. s = c/6 + 1

5. HABILIDAD

Crear una desigualdad lineal de una variable para representar situaciones que se den.

EJEMPLO:

 Juan tiene $500 en una cuenta de ahorros  cuando inicia el verano.  Quiere tener por lo menos $200 en la cuenta para finales del verano. Saca $25 dólares cada semana para la comida, ropa y boletos para el cine. ¿Qué desigualdad representa esta situación?

RESPUESTAS: 

  1. 33 redondeado
  2. A = 4, P = 14
  3. A = 30.195, P = 20.13
  4. A = 384,  FE = 4
  5. 23%
  6. A la izquierda en x tres unidades y hacia arriba en “y” cuatro unidades
  7. – 5, pregunta dos: negativo dos tercios
  8. posibles valores (-1, -3), (0, -1), (1, 0)
ALGEBRA
  1. d
  2. Asignar los valores de a,b y c en la formula cuadrática o factorizar
  3. b
  4. b
  5. 500  –  25w > 200

Fuente: GED® Testing Service ged.com

Grafica de barras

Grafica de barras

Las graficas son la representación sintetizada de una base de datos que tienen una relación entre sí. Los formatos más comunes de representar esos datos son usando las graficas de barras, lineales y circulares.
Para la grafica de barras y las lineales vamos a usar las coordenadas y dibujar barras horizontales o verticales donde la escala es proporcional a los datos que representa. 
EJEMPLOS
Los siguientes datos representan el desempeño de 11 estudiantes al contestar seis preguntas. Para graficar estos datos vamos a usar las coordenadas.
             
Para representar los datos en una grafica, vamos a poner en la línea horizontal el número que representa los estudiantes y en la línea vertical el número de pregunta.
También puede graficarse poniendo el número de pregunta en la línea horizontal y el número que representa a los estudiantes en la línea vertical.               
                
Si quisiéramos incorporar mas información a la grafica, podríamos usar dos colores y representar mas datos, por ejemplo cuales de esos estudiantes fuero hombres y cuales mujeres.  En la tabla inicial, las F = mujeres y la M= hombres. La grafica quedaría así: 
               
Como puedes ver, esta grafica es casi idéntica a la anterior, solo que contiene dos colores, que indican el género de cada estudiante, de esta manera estamos incluyendo más información en la misma grafica sin necesidad de hacer dos separadas.
Estas graficas pueden representarse de manera horizontal, quiere decir que las barras no estarían paradas si no quedarían de la siguiente manera y si observas con cuidado y revisas los datos te vas a dar cuenta que las últimas dos graficas representan la misma información lo único que cambia es la dirección de las barras.
              
EJERCICIOS DE PRACTICA
La siguiente tabla muestra los datos demograficos de las personas que vieron nuestros videos en el canal de Youtube durante 30 días, el total de vistas fue de 62,495.
Identifica la siguiente información:
1. ¿Qué porcentaje de usuarios son mujeres?
2. ¿Qué porcentaje de usuarios tienen una edad entre 45 a 54 años de edad en los Estados Unidos?
3. ¿En qué país es mas alto el nivel de usuarios de entre 13 y 17 años de edad?
4. De acuerdo con los datos de la gráfica, se puede deducir que en Chile los videos del canal son mas populares entre las edades de:
5. ¿Entre qué edades es mas popular el canal en cada país?
Si ya has estudiado los PORCENTAJES, puedes obtener la siguiente información:
6. ¿Cuántas personas del sexo masculino de entre 35 y 44 años de edad vieron los videos durante ese periodo?
7. ¿Cuántas personas mayores de 65 años vieron videos?
8. ¿Cuál fue el número mas elevado de visitas en cada país y a qué edades corresponde?
9. ¿Cuántas mas personas, de entre 45 a 54 años vieron los videos, en Estados Unidos que en Chile?
Gráficas y base de datos

Gráficas y base de datos

     Un formato común para representar datos son las graficas lineales, de barras y circulares, siendo estas tres las mas comunes. Sin embargo, el nuevo examen del GED incluye otro tipo de gráfica llamado «diagrama lineal» e incluye la representación de datos marcados con la letra «x» sobre una línea.

     A los maestros les recomiendo que realicen esta actividad con sus  estudiantes para que se familiaricen con este tipo de formato y la forma de representarlo. Aun cuando las preguntas pueden ser planteadas de diferente manera, los elementos más importantes a considerar son, en este caso, el número de preguntas y estudiantes. 

     Al finalizar la clase suelo asignar un número a cada estudiante, les presento ciento número de preguntas relacionadas con el tema visto, en este ejemplo son cinco. Después de cada pregunta cada estudiante indica si su respuesta fue correcta y la marco en una tabla, presentada abajo.

     Los números rojos indican el número de pregunta; los azules, los estudiantes.

     Veamos como representarlas de acuerdo al formato planteado en el Nuevo examen del GED.

PASO I: Dibuja una línea y bajo ella los números del uno al cinco, que van a indicar el número de preguntas correctas que obtuvo cada estudiantes.

PASO 2: Contar el número de preguntas correctas que obtuvo cada estudiante, empezando por el primero. En este caso el estudiante No. 1 obtuvo 4 preguntas correctas y vamos a marcar una x en el numero 4. 

    Pasa al estudiante No. 2, obtuvo 4 correctas, marca otra x arriba del 4, el estudiante No. 3 obtuvo una correcta, marcas una x arriba del 1, y asi sucesivamente.

Al terminar, queda de la siguiente manera e indica que un estudiante obtuvo una pregunta correcta, siete, cuatro buenas y tres cinco buenas. Como puedes ver en la parte superior de la línea hay 11 “x” que indica el total de los estudiantes. Sencillo, verdad!

Es posible que en el examen solo te pidan representar esta grafica o si está incompleta, que incorpores las “x” que hagan falta. También pueden evaluarte la MODA, MEDIANA, MEDIA –promedio- o RANGO. En ese caso coincide que todos van a ser 4.

MODA = 4

MEDIANA = 4

RANGO= 4

MEDIANA o PROMEDIO = 4 

     En este último, multiplicas 1(1) + 4 (7) + 5 (3) y el resultado lo divides entre 11 que fue el total de estudiantes y la respuesta es 4.

EJEMPLO II

     Otra actividad que puedes realizar es tomar el record de las millas que caminas durante 7 días. (si tienes un Iphone, baja la aplicación de Argus) si no solo invéntate los datos redondeado a enteros y grafícalos.

     En los últimos 7 días yo camine: 2, 6, 1, 2, 2, 5, 4

     En este caso no se presenta tabla, simplemente los datos, no importa en que día fue, solo que son los últimos 7 días. Para hacer la tabla, nos vamos en el rango de numero que tenemos que van del 1 al 6.

     Para representarlo, dibujamos la línea y la cantidad de millas en la parte de abajo, en este caso, van del 1 al 6

     En este caso, las x representan los días, y como un día camine una milla, pongo una “x” arriba del 1, tres días camine 2 millas, van tres “x”. Otra “x” va encima del 4, porque solo un día camine cuatro millas, y así sucesivamente hasta representar todos los días. En este caso, las “x” representan los días aunque no se especifique que día.

¿Cómo obtener la MODA, MEDIANA, MEDIA Y RANGO?

     Una vez que estudies estos conceptos y definiciones, te vas a dar cuenta que el mas fácil es la moda que en este caso es el 2.

El RANGO es también fácil de obtener, solo restas 6 – 1 = 5

Para obtener la mediana, si ordenas los números en orden tenemos

1, 2, 2, 2, 4, 5, 6

     Ten presente, si tuviéramos solo 6 datos, digamos que tenemos 2, 2, 2, 4, 5, 6  en este caso seleccionamos los dos números que quedan en medio y los dividimos en dos, en este caso la mediana es 3.

    Por último el promedio o media, en este caso sumas todos los datos (1 +2 + 2 + 2 +4 + 5 + 6) ÷ 7 = 3.1

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

     Los siguientes ejercicios van a variar en cada caso y vas a iniciar colectando los datos o inventando la información para después graficarla.

1. Elabora 10 ejercicios al azar de cualquier tema que quieras practicar durante 7 días, registra tu desempeño como se muestra en la primera grafica. (a la izquierda puedes poner el número de pregunta y en la parte superior los días). Una vez que tengas los datos, grafícalos usando el formato de las “x”.

2. Registra el cambio de temperatura durante cinco días, usando la temperatura máxima como parámetro.  En este caso los valores de la recta puedes ser más grande, dependiendo de los grados que cambie la temperatura de un día a otro.

Calculadora TI-30XS

Calculadora TI-30XS

Para el nuevo examen del GED se va a usar una calculadora diferente a la que veniamos usando, la nueva es TI-30XS Multiview -Texas Instruments

Dependiendo del estado o del centro donde vayan a hacer su examen, la calculadora se las pueden proporcionar. Se recomiendo confirmar antes de presentarse al examen ya que en algunos casos los estudiantes deben llevar su propia caluladora. Se puede encontrar en Amazon por 13 dólares apróximadamente. 

Al mometo del examen también se va a tener acceso a la calculadora virtual por medio de un botón localizado en la parte superior derecha. Aunque esto último es muy inconveniente y quita tiempo por lo que se recomienda tener su propia calculadora y llevarla al momento de presentar su examen.    

Para tener acceso a la calculadora tienen que dar un click con el cursor del ratón a la ventana localizada en la parte superior izquierda de la pantalla, va a verse así. Instrucciones generales en PDF en español.

CALCULADORA

FRACCIONES

RADICALES

EJERCICIOS DE PRACTICA

ORDEN DE OPERACIONES

EJERCICIOS

RESPUESTAS

1. 19

2. 40

3. 4

4. 2/15

5. 9

En las siguientes imagenes se muestran algunas de las funciones de la calculadora.

Pasos para resolver problemas verbales

Pasos para resolver problemas verbales

Una característica especial de los exámenes de matemáticas son los problemas verbales, para poder resolverlos es importante organizar los datos e información que se nos proporcionan.

 La información puede ser presentada en forma de palabras, diagramas, tablas, graficas o dibujos. Para resolver el problema no solo se requiere conocimiento en operaciones matemáticas, algebra o geometría, sino también de destrezas y habilidades que le permitan encontrar la respuesta correcta. Para esto puedes seguir los siguientes pasos:

  1. Entender lo que la pregunta pide: Lee con detenimiento toda la información, parece simple pero si no se está familiarizado con términos o palabras relacionadas con las matemáticas difícilmente se puede entender la pregunta. Por ejemplo si el problema incluye palabras como “media, radio, variable, razón o pendiente”, y no se tienen conocimientos previos, lo más probable es que no quede claro lo que se pregunta.
  2. Identificar y organizar la información para resolver el problema, incluso eliminar datos que no sean necesarios. Una vez que se lo que me están preguntando, es importante organizar bien la información, pregúntate, ¿qué datos necesitas para resolverlos?,  ¿Hay información que no necesitas o que hace falta? Muchos de los datos también pueden estar incluidos no solo en el problema, sino también en graficas, tablas o dibujos, por lo que es importante poner atención a toda la información que se nos presenta. Revisa también si hay pistas o datos que no estén escritos en el problema pero que vayan implícitos, palabras como “menos que, más que, el doble, etc.” pueden incluir ese tipo de información.
  3. Identificar qué tipo de operación matemática es necesaria para resolver el problema, algunos problemas requieren varias operaciones o pasos. Antes de determinar qué operación vas a usar, revisa si hay pistas o datos que no estén escritos en el problema pero que vayan implícitos, palabras como “menos que, más que, el doble, etc.” Una vez considerados todos los datos, realiza las operaciones necesarias. Si no logras identificar qué tipo de operación necesitas, lee nuevamente la pregunta, revisa si conoces el tema, toma apuntes para determinar que te hace falta estudiar.
  4. Realizar las operaciones y ver si la respuesta es lógica y responde a la pregunta. Una vez hecha la operación, revisa si estas respondiendo a la pregunta.

EJEMPLO I

Armando está viajando de San Francisco, CA a Chicago, IL cuya distancia total es de 1860 millas, si durante las primeras 3 horas recorrió 310 millas, ¿qué fracción de la distancia le queda aún por recorrer?

PASO I

Se pide indicar en forma de FRACCIÓN la distancia que no se ha recorrido.

PASO II 

Datos: millas (310 y 1860), horas (3), lugares (San Francisco y Chicago). ¿Cuál información esta de mas o no necesitamos? Para resolver este problema solo necesitamos las millas.

PASO III 

Operación: división. Para saber cuánto representa 310 de 1860 millas dividimos 1860 ÷ 310 = 6. Quiere decir que la distancia total está dividida en 6 segmentos y 310 representa un solo segmento o 1/6.

PASO IV 

Quiere decir que la distancia total está dividida en 6 segmentos y 310 representa un solo segmento o 1/6.Si se ha recorrido 1/6 de distancia lo que le falta por recorrer son 5/6 de distancia. ¿Tiene sentido la respuesta? Sí, porque me están pidiendo que represente una fracción, no me están pidiendo las millas que le faltan por recorrer, de ser así, solo se hace una resta.

EJEMPLO II 

Si el presupuesto de egresos por capítulos de gasto del Ayuntamiento Melchor Ocampo en el año 2012 es de  $6, 500,000.00  

 

¿Con cuáles de las siguientes expresiones se puede obtener cuanto gasto el ayuntamiento Melchor Ocampo en los servicios generales? Pista: el presupuesto de egresos esta expresado en notación científica.

 

  1. (65×106) ÷ 8.26
  2. (6.5×106 x 8.26) ÷ 100 
  3. (6.5×106 x 100) ÷ 8.26 
  4. 6.5×106 x .0826 
  5. (65×106 x 8.26) ÷ 100

Explicación: Los conocimientos previos para resolver este problema son: notación científica, orden de operaciones, porcentaje con regla de tres y con decimal. En este caso no se está pidiendo una cantidad, sino el identificar el enunciado de operaciones que se pueden hacer para resolver el problema.

PASO I 

Las palabras claves para entender la pregunta son “cuáles y servicios generales”. Nos están pidiendo identificar más de una expresión para obtener lo que se gasto en los servicios generales.

PASO II 

Los datos que necesitamos son la cantidad total expresada en notación científica 6, 5000, 000 = 6.5×106, el porcentaje gastado en servicios generales fue de 8.26%, el resto de la información no se necesita. (OJO, si se convertir la notación científica, automáticamente eliminamos la opción “a y e” ya que están expresadas incorrectamente).

PASO III 

El tipo de operación que necesitamos es división y multiplicación. En la regla de tres se debe multiplicar la cantidad total por el porcentaje que queremos obtener dividido entre 100. La otra operación seria multiplicar la cantidad total por el porcentaje que queremos obtener pero convertido a decimal (8.26% = .0826).

PASO IV 

Las respuestas que cumple con estos requisitos son la “b” y “d”.

Media, mediana, moda

Media, mediana, moda

Dentro de la estadística se incluye el estudio y análisis de datos que pueden ser la información presentada en una base de datos y de los cuales podemos obtener la media (promedio), mediana, moda y rango.

El promedio o media, conocida así en Estados Unidos, es la suma de todos los valores numéricos dividido entre el numero de valores. Por ejemplo, si en un salón de clases hay cinco estudiantes con las siguientes edades (10, 18, 15, 16, 11), se suman las edades y se dividen entre el total de los estudiantes. (10 + 18 +15 + 16 + 11) ÷ 5 = 14.

La mediana se obtiene de un conjunto de datos que deben ser ordenados de menor a mayor y el que se localiza en medio de la lista es la mediana. Por ejemplo si tenemos 4, 12 y 24, el 12 es la media. Otro caso se puede presentar si tenemos un número par de datos, ejemplo 4, 12, 24 y 35; se debe obtener el promedio de los valores en el centro, en este caso  (12 + 24) ÷ 2 = 18.

La moda es una base de datos o números es el valor más frecuente; sin un valor no se repite, no hay moda. Ejemplo, si en una tienda se venden:

5 pizzas de $8

9 pizzas de $5 y

4 de $6    La moda del número de pizzas vendidas sería, el 5 porque se repite 9.

El rango se obtiene con una resta entre los valores mayores y menores.

Problemas verbales y orden de operaciones

Problemas verbales y orden de operaciones

Las habilidades matemáticas no solo implica la solución de ejercicios y operaciones,  una de las habilidades que se evalúan en diversos examenes es  la comprensión de problemas verbales así como sus diferentes aplicaciones.

Los siguientes ejercicios de práctica evalúan, no la posibilidad de encontrar una respuesta, sino de presentar un enunciado aritmético que exprese la solución. Para entender este tipo de ejercicios es importante tener conocimientos previos de el orden de operaciones,  fórmulas y como despejarlas. Evalúa los siguientes  videos y resuelve los ejercicios incluidos al final.

  1. Cristóbal firmó un contrato de arrendamiento del cual dio un deposito de $200, ¿cuál expresión indica cuanto tiene que pagar Cristóbal en total, si su contrato es de 8 meses y la renta mensual es de $569?
  1. 569 + 200 ÷ 8
  2. (8 x 569 + 200) ÷8
  3. 569 – 200 x 8
  4. 569 x 8 + 200
  5. 569 – 200 ÷ 8
  1. Una compañía de capacitación cobra $45 dólares por cada persona que recibe el entrenamiento, durante este mes hay una promoción que descuenta $120 si se registran más de 250 empleados. ¿Cuál expresión muestra cuanto paga una fábrica de vasos que da capacitación a 200 de sus empleados?
  1. 45 x 200 – 120
  2. (120 +250) ÷ 45
  3. 200 x 45
  4. 250 x 45
  5. 200 x 45 + 120
  1. Delia recibe el 35%  por cada propina recibida, si en la jornada de un día  su propina fue de $10, $8, $15, $5 y $13, ¿cuál expresión indica cuanto recibió de propina en ese día laboral?
  1. (10+8+15+5+13) ÷ 35
  2. 10 +8+15+5+13 x 35
  3. 35+10+8+15+5+13
  4. (10+8+15+5+13) x .35
  5. 35 x (10+8-15+5+13)
  1. Un rectángulo mide 12 pies de largo y  3 pies, si un cuadrado tiene la misma área, ¿cuál expresión indica cómo obtener la medida de un lado del cuadrado?
  1. 12×3÷4
  2. 12×3+4×12
  1. El área de un triángulo es de 20 pulgadas cuadradas, si la base del triángulo es de 8 pulgadas, ¿cuál expresión muestra cómo obtener la altura?
  1. 8÷(20×2)
  2. 20×8÷2
  3. (20×2) x8
  4. .5 x20 ÷8
  5. 20÷(.5×8)
  1. Una escuela cobra $120 por crédito, si un estudiante se inscribe a 3 clases de 2 créditos y una de 4 créditos, ¿cuál expresión indica cuanto pagara en total si además le cobran $30 de inscripción y recibió un apoyo económico de $150?
  1. 120 x 4 + 30 + 150
  2. 6 x 120 + 30 + 150
  3. (10 x 120 – 30 – 150)
  4. 150 – 30 + (6 x 120)
  5. 120 x 10 + 30 – 150
  1. El volumen de un sólido rectángular es de 480 pies cúbicos, si de largo mide 12 pies y de ancho 8 pies, ¿cuál expresión  indica el valor de la altura?
  1. 12 x 8 x 480
  2. 12 x 8 ÷ 480
  3. 480 ÷ (12 x 8)
  4. 480 ÷ 12 x 8
  5. 480 ÷ 8 ÷12

RESPUESTAS

1. d, 2. c, 3. d, 4.d, 5. e, 6. e, 7. e-c

Problemas de interés simple

Problemas de interés simple

El interés es la cuota a cobrar cuando se recibe o da un préstamo, esta puede provenir de empresas privadas, bancos o personas. 

Una persona que ahorra dinero también se recibe pago por el interés ganado. El cobro de intereses puede ser complejo según el tipo de interés que se esté usando, ya que hay diversos factores que intervienen en cada cláusula de un contrato. En el examen del GED se va a evaluar el interés simple, que se consigue aplicando la siguiente fórmula:

I = PTt    donde  

I   = interés

P   = principal (cantidad de dinero prestado o invertido)

T  = tasa de interés (representado en porcentaje)

t  = tiempo  (del préstamo en un periodo de un año) 

En una formula, cuando  las letras o variables se escriben juntas y no están divididas por ningún símbolo (+, -, ÷) indica que están multiplicándose entre sí; en este caso, la P está multiplicando a la  T, o el valor que estas letras tienen. 

Para hacer mas simple el procedimiento en el interés simple hay que aprender a convertir el porsentaje a decimal y el tiempo a fracciones – decimal.

PRIMERO:

Para convertir el porcentaje a decimal solo mueve el punto decimal dos unidades a la izquierda. Por ejemplo para un 25% recorres a partir del 5 un punto dos unidades a la izquierda y te queda .25 (es como dividir 25 entre 100, solo estas evitando ese paso). Otros ejemplos: (pon atención en el 5%, todos los que son de una unidad, se les aumenta un cero)

43% = .43

5%   = .05

130% = 1.3

SEGUNDO:

Aprende a convertir el tiempo o dividir el año en fracciones, así tenemos que:

3 meses equivales a ¼ de año y en decimal .25

6 meses equivale a ½ de año y en decimal .5

9 meses equivale a ¾ de año y en decimal .75

Ejemplo: Miriam pidió un préstamo  de $1500 a 9 meses a una tasa de interés del 8%. ¿Cuánto pagara Miriam en intereses por el préstamo?

PASO I 

Hay que convertir el porcentaje a decimal.   8%  = .08

PASO II 

El tiempo debe expresarse en años. En este caso 9 meses equivale a 3/4 año, eso es lo mismo a .75

PASO III 

Multiplique las tres variables  principal x tasa x tiempo   1500 x .75 x .08 = $90

Otra forma de resolver este problema es:

PASO I 

Obtener el 8% de $1500      ($1500 x 12) ÷ 100 = $120   o simplemente multiplica .08x$1500= $120

PASO II 

Dividirlo entre 12 (porque son 12 meses)   $120 ÷12=$10

PASO III

Multiplicar el resultado por 9  ($10 x 9) = $90

Para que se facilite la multiplicación directa, es IMPORTANTE entender las equivalencias del año en fracciones, a continuación estan las mas comunes:

¼ de año (.25) = 3 meses = 90 días

½   de año (.5) = 6 meses = 180 días

¾  de año (.75) = 9 meses  = 260 días

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

Calcular el interés a pagar de las siguientes cantidades.

  1. Un préstamo de $800 al 15% en 2 años.
  2. Un préstamo de $2250 al 5% en 6 meses.
  3. Un préstamo de $6500 al 8% en 3 meses.
  4. Un préstamo de $1150 al 12% en un año.
  5. Un préstamo de $600 al 9% en 3 años
  6. Marcos pago $125 de intereses de un préstamo al 22% por 9 meses, ¿a cuánto ascendió el préstamo que recibió Marcos?
  7. Armando estea solicitando un préstamo de $2,500 y le ofrecen dos opciones; en la primera le ofrecen una tasa de interés del 12% a pagar en un año; la segunda cotización ofrece una tasa deinterés del 8% a pagar en un año nueve meses. ¿cuál préstamo le convien más?
  8. Si Alicia pago $90 dólares a una tasa de interés del 15% por seis meses, ¿a cuánto asciende el préstamo que recibió Alicia?
  9. Juan tramito un préstamo al 8% de interés por 15 meses, si el préstamo fue de $3,000, ¿cuál fue el pago total de la deuda?
  10. ¿Cuál es el interés pagado de un préstamo de $4,250 con el 5% de interés a 2 años tres meses?
  11. Eduardo quiere saber por cuánto tiempo tiene que pagar un préstamo de $1,200 del que le van a cobrar $144 dólares de interés el cual representa el 8%
  12. Si Marcos pago $80 dólares de interés por un préstamo de $500 por dos años, ¿cuál fue la tasa de interés?
  13. Obtén el interés a pagar de un préstamo de $1,550 al 6% de interés a 180 días?
  14. Obtén la tasa de interés si se pagan $20 dolares de interés por un préstamo de $400 a 90 días
  15. Escribe la expresión que indique el tiempo a pagar de un préstamo de $4,000 si se pagaron $60 dólares de interés con una tasa del 6%

RESPUESTAS

  1. $240
  2. $56.25
  3. $130
  4. $138
  5. 162
  6. $757.5
  7. Primera
  8. $1,200
  9. $3,300
  10. $478.12
  11. 1 año 6 meses
  12. 8%
  13. $46.5
  14. 20%
  15. t = 60 ÷ (4000 x .06)
Sistema de Medidas

Sistema de Medidas

El sistema de medidas de Estados Unidos no coincide con los usados en otros países, por esa razón es importante familiarizarse con el usado en este país. En el examen del GED se incluyen preguntas en las que es necesario convertir medidas de unidades menores a mayores, por lo general se va a hacer uso de la multiplicación y división.

Las unidades de longitud nos ayudan a determinar cuanto mide una superficie recta o plana, entre las mas comunes se encuentran: pulgadas (in), pies (pie), yarda (yd) y millas (mi).

Las unidades de volumen nos indica que capacidad tiene un objeto o que cantidad puede incorporarse por ejemplo en un baso de agua, esta representa el volumen. Este tipo de medida se representa por: onzas (oz), tazas (c), pintas (pt), cuartos (qt) o galones (gal). Las pintas es una unidad de medida usada con mas frecuencia en Inglaterra.

Para medir el peso, se utilizan las libras (lb), onzas (oz) y toneladas.

Ejemplo I  Convertir  12 yardas a pies

PASO 1 Encontrar la equivalencia de yardas a pies, en este caso 1 yarda = 3 pies

PASO 2 Multiplicar  las yardas por los pies 12 x 3 =36 pies

Ejemplo II  convertir 250 libras a onzas

PASO 1 Encontrar la equivalencia de libras a onzas, tenemos que 1 libra = 16 oz

PASO 2 Para convertir 250 libras a onzas hay que multiplicar por 16 = 4000

Si  por el contrario, fueran 250 onzas  para convertirlas a libras hay que dividir entre               16 = 15 5/8 oz

Ejemplo III Convertir  5 pies a pulgadas

PASO 1 Encontrar la equivalencia de pies a pulgadas, en este caso 1 pie = 12 in

PASO 2 Multiplicar 5 pies por 12 pulgadas = 60 in

EJERCICIOS DE PRACTICA

  1. Convierte 4 ¾ de libras en onzas
  2. ¿Cuántas tazas hay en 3 ½ galones?
  3. Convierte 180 onzas a libras
  4. Convierte 96 onzas liquidas a tazas
  5. Convierte 12 tazas a medias pintas.
  6. ¿A cuánto equivalen 3 ¾ horas a minutos?
  7. ¿Qué es lo que tiene más capacidad en volumen, 2 galones o 15 pintas?
  8. ¿Qué es menor 4 ¼ horas o 250 minutos?
  9. Convierte 4 ¼ de yardas en pies y pulgadas
  10. Marcos 18 pintas de pintura y solo necesita un galón, ¿cuántas pintas le sobran?

RESPUESTAS

  1. 76 onzas
  2. 56 tazas
  3. 11 ¼ libras
  4. 12 tazas
  5. 12 medias pintas
  6. 225 minutos
  7. 2 galones
  8. 250 minutos
  9. 12 p ¾ in
  10. 1 ¼ galones
Proporciones

Proporciones

Una proporción es una igualdad entre dos razones y se aplica para la solución de diversos problemas como costos, mezclas, tasas, razones y escalas. Para solucionar los problemas de proporciones hay que buscar la relación entre dos cantidades. Ejemplo:

El carro de Adela gasta 2 galones de gasolina por cada 38 millas. ¿Qué distancias podrá recorrer si su tanque solo tiene 15 galones?

PASO 1  Hay que acomodar las productos vectoriales

Para obtener el 285, aplicamos la regla de tres 

En una proporción es importante escribir los términos en orden, quiere decir que si en la parte superior se ponen las millas en la parte inferior de ambas proporciones deben ir los galones.

EJERCICIOS DE PRACTICA

RESPUESTAS

1. 42

2. 2160

3. 108

4. 168

Notación Científica

Notación Científica

 La notación científica es una forma de expresión numérica basada en potencias de base diez, este método de escritura corto es utilizado para representar números o decimales muy largos.

Es también común encontrar la notación científica en las calculadoras o computadoras, en la ciencia lo podemos ver al expresar nano medidas, los anos luz, etc. La forma de indicar los múltiplos de diez puede ser con las potencias; por ejemplo:

Por otra parte, para designar notación científica en decimales como .1, .01, .001, se recurre a potencias negativas de 10. Ejemplo:

Para escribir una notación científica sigua los siguientes pasos:

1.     Escribe un número de entre el 1 y 10.

2.     Escribe el signo de multiplicación (x).

3.     Representa el 10 con la potencia que indique el número de dígitos que hay entre el punto decimal y el último número que usaste para representar la notación científica.

4.     La potencia de 10 va a ser positiva si son números enteros y negativa para los decimales.

Ejemplo I

Expresar 3,562,000,000 en notación científica

PASO I 

Se debe representar el número de entre 1 y 10, se mueve el punto decimal entre el 3 y el 5 para tener

 

PASO II 

Para saber que potencia utilizar, se cuenta el número de lugares decimales que se han movido desde el punto decimal. En los números enteros el punto debe moverse hacia la izquierda.

Se escribe el 9 porque son el número de dígitos que se movió a la izquierda.

Ejemplo II

Expresar .00000945 en notación científica

PASO I 

Se debe convertir el número  a decimal no mayor de 10. Aquí se pondría el punto entre el 9 y el 4  para obtener 9.45

PASO II 

Hay que contar el número de dígitos que van desde el punto decimal hasta el 9.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

Exprese las siguientes cantidades en notación científica

Los siguientes números están expresados en notación científica, escribe el valor real.

RESPUESTAS

Calculadora fx260 solar-CASIO

Calculadora fx260 solar-CASIO

El examen de matemáticas se compone de 50 preguntas, en las primeras 25 se tiene permitido usar la calculadora por lo que es importante estar familiarizado con las funciones básicas que esta requiere.

Para el nuevo examen del GED se usa la calculadora TI-30XS Multiview, si en otro examen usan la calculadora (fx260 solar-CASIO) a continuación se explican las funciones básicas de esta última y algunos ejercicios de práctica que incluyen las respuestas.

En el nuevo examen del GED que entra en vigencia en Enero del 2012 se va a usar otra calculadora que va a estar integrada al programa de la computadora por lo que tampoco va a ser necesario que ustedes lleven una. Tengan presente que el nuevo examen ya se esta aplicando en 22 estados donde los estudiantes pueden elegir entre hacer la versión actual o la nueva, y por ultimo, el examen no se hace por medio del internet, hay que acudir en persona a uno de los centros autorizados.  

PORCENTAJE

EXPONENTE

 FRACCIONES

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

 

ORDEN DE OPERACIONES

Razones

Razones

Las razones nos sirven para comparar dos cantidades, estas se pueden expresar en forma de fracción, con dos puntos (:) o con la frase “es a”. 

La razón se debe escribir en base al orden en que se comparan. Ejemplo: Si para cocinar un pastel son necesarias, además de los otros ingredientes, dos tazas de harina por cada taza de azúcar. La razón debe expresarse 

2 a 1; 2:1 o  2/1

Siendo el dos las tazas de harina y el uno la taza de azúcar.

Ahora si la cantidad anterior es para un pastel, ¿cuántas tazas se necesitan y cuál sería la razón si vamos a hacer 8 pasteles?

 16/8

Aunque la respuesta es correcta, las razones, al igual que las fracciones, se simplifican por lo tanto la respuesta correcta seria 2 a 1; 2:1 o 2/1

Es importante considerar que aunque el 8 queda en el lugar del numerador (arriba) formando una fracción impropia, en la razones no se convierte a número mixto, simplemente se deja en el mismo orden en que se hace la comparación.

Ejemplos: 

En la clase asisten 38 estudiantes de los cuales 20 son mujeres, ¿Cuál es la razón de mujeres a hombres?

R= 10 a 9, 10:9  o 10/9

En total son 20 mujeres y 18 hombres  

IMPORTANTE: Las razones siempre se simplifican, pero no se convierten a numeros mixtos.

EJERCICIOS DE PRACTICA

En una fábrica hay 45 empleados de los cuales 30 son hombres.

1. ¿Cuál es la razón de hombres a mujeres?

2. ¿Cuál es la razón de mujeres a hombres?

Un examen de 100 preguntas, 25 son de opcion multiple, 40 de respuesta abierta y el resto en el formato de verdadero o falso.

3. Encuentra la razon de preguntas «falso – verdadero» a las de opcion multiple.

4. Si Andrea, en la seccion de respuestas abiertas, obtuvo el 50% incorrectas y el resto de las preguntas del examen fueron correctas, ¿Cuál es la razon de preguntas incorrectas a correctas?

Un equipo de futbol lleva 8 partidos ganados y 16 perdidos.

5. ¿Cuál es la razón de partidos perdidos a ganados?

6. ¿Cuál es la razón de partidos a partidos perdidos?

7. ¿Cuál es la razón de partidos ganados al total de partidos?

8. 14 niños a 8 adultos

9. 15 estudiantes a 5 butacas

10. 36 estudiantes a 4 maestros

RESPUESTAS

  1. 2 a 1
  2. 1 a 2
  3. 7:5
  4. ¼
  5. 2:1
  6. 3 a 2
  7. 1:3
  8. 7 a 4
  9. 3 a 1
  10. 9 a 1