Ecuaciones simultáneas – método de sustitución

Ecuaciones simultáneas – método de sustitución

Si tenemos dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas podemos buscar en punto de intersección de ambas aplicando tres métodos: de igualdad, de sustitución y de reducción (suma o resta).

Antes de continuar con el tema, revisa los temas previos 

Plano cartesiano

Pendiente

Métodos para obtener la pendiente

Graficar una ecuación

Ecuación de una recta

En esta ocasión vamos a revisar el método de sustitución para lo cual vamos a seguir los siguientes pasos.

1) 2x + y = 7
2) x + 3y = 11

PASO I
Elegir una de las ecuaciones y despejar una de las variables, en este caso vamos a despejar la “y” de la ecuación 1.
2x + y = 7  Despejando tenemos    y = 7 – 2x

PASO II
El valor de “y” (7 – 2x)    se sustituye en la ecuación 2 y tenemos:
x + 3(7 – 2x) = 11

PASO III
Resolvemos para encontrar el valor de “x”
x + 21 – 6x = 11
–5x = 11 – 21
x = – 10 ÷ – 5
x = 2

PASO IV
Sustituimos el valor de “x” en cualquiera de las ecuaciones
2 + 3y = 11
3y = 11 – 2
3y = 9
y = 9 ÷ 3
y = 3

El punto donde se cruzan ambas rectas es (2, 3)

Para comprobar se pueden asignar diferentes valores a la “x” o a la “y” en ambas ecuaciones

Representando las funciones en el Plano Cartesiano las rectas quedan de esta manera:

EJERCICIOS DE PRACTICA

  1. a) 3x + 2y = 8             b) 5x – y   = 9
  2.  a) 8x + 5y = 34          b) 4x – 2y = 8
  3.  a) 2x – 6y = – 26       b) 15x + 3y = 93
  4.  a) 9x – 15y = –39      b) 15x – 4y = –23
  5.  a) 2x + 5y = 30          b) 6x + 4y = 46
  6.  a) 3y + 5x = 4            b) 6y – 10x = –32
  7.  a) 14y – 75x = – 38   b) –2y + 9x = 2
  8.  a) 24x – 3y = –45      b) –12x + 5y =19
  9.  a) 11y – 4x = 56        b)  –15y + 2x = – 66
  10.  a) 18x – 6y = 6          b)  9x +3y = –21
  11.  a)  6x – 2y = 26         b) 3x + 18y = –63
RESPUESTAS
1. x = 2, y =1
2. x = 3, y = 2
3. x = 5, y = 6
4. x = -1, y = 2
5. x = 5, y = 4
6. x = 2, y = -2
7. x = 2,  y = 8
8. x = -2, y = -1
9.  x = -3, y = 4
10. x = -1, y = -4
11. x = 3, y = -4

 

Sistema de dos ecuaciones

Sistema de dos ecuaciones

Cuando nos presentan una ecuación lineal de la forma y = mx + b, sabemos que podemos obtener los valores de las variables (x, y) y representar la función (recta) en el plano cartesiano, en el siguiente tema vamos a trabajar con dos ecuaciones juntas y lo primero es que vamos a buscar el punto donde se cruzan estas rectas aplicando el método de eliminación por sustituían.

Si el tema se te dificulta, considera revisar los temas previos:

Ahora iniciemos con un ejemplo sencillo

Si tenemos:

x + y = 6

x – y = 4 

En estas dos ecuaciones los valores de “x” y “y” van a ser los mismo pero el resultado va a ser diferente, en la primera debemos buscar dos números que sumados nos den 6 (primera) y esos mismos numero restados nos dé 4 (segunda). El único par que cumple esta función son el 5 y 1.

5 + 1 = 6   

5 – 1 = 4

Este ejemplo es sencillo, pero si tenemos números más grandes que incluyan multiplicación se puede complicar un poco más así que veamos el método para resolverlas paso a paso.

EJEMPLO I 

 x + y = 9

10x + 5y = 60

En este ejemplo, hay que buscar un número (x) que sumado  a otro número (y) nos de 9, esos mismos valores de “x” y “y” deben resolver la segunda ecuación donde se multiplica diez por el primer número (x) y se suma la multiplicación de cinco por el otro número (y) donde nos da como resultado 60.

PASO I

Hay que escoger un coeficiente (número) para igualarlos, si escogemos las “y” ambas ecuaciones deben tener 5y y si escogemos las “x” ambas deben tener 10x. Para este ejemplo vamos a igualar las “y” para tener en ambas ecuaciones 5x. Una debe ser negativa y la otra positiva.

PASO II

Ya que se elegieron cual coeficiente (número) que se van a igualar, se busca el mcm, que en este caso es el 5. Posteriormente se multiplica cada uno de los términos de la primera ecuación por -5. (El cinco debe ser negativo porque  queremos que en la primera ecuación nos de -5y. 

– 5 ( x) = – 5x

– 5 (y) = – 5y

– 5 (9) = – 45

Y la ecuación quedaría así: – 5x = 5y = – 45

PASO III

Una vez que se multiplica la ecuación, se acomoda en orden para sumar o restar ambas ecuaciones

 -5x  –  5y = – 45

10x + 5y = 60

  5x     /    = 15 

        x = 3

PASO IV

Ya restada la ecuación, solo queda despejar y obtener el valor de “y” en cualquiera de las dos ecuaciones.

10x + 5y = 60 Sustituimos el valor que obtuvimos de «x» en la ecuación.

10(3) +5y = 60  Se multiplica 10 por 3 y se despeja del otro lado de la ecuación.

30 + 5y = 60   

5y = 60 – 30

y = 30/5  

y = 6 

Por tanto el punto de intercepción de ambas ecuaciones es (3, 6) 

PASO V

Representa los valores de “x” y “y” en el plano cartesiano que  indican donde se cruzan ambas rectas.  (3, 6)

PASO VI

Obtener dos valores más de cada función y graficar para representar las rectas. Esto se hace asignando valores a la “x”, tu respuesta puede variar dependiendo que valores asignes, pero la recta debe tener la misma dirección. Si no sabes cómo graficar una ecuación, revisa este enlace.

PASO VII

Graficar ambas funciones

IMPORTANTE: Si se presenta el caso en el que los coeficientes (números) que queremos igualar tienen el mismo signo  y no se puede restan, simplemente hay que cambiarle los signos a toda la ecuación. 

Ejemplo II

2x + y = 7

 x + 4y = 14

Siguiendo los pasos anteriores, igualamos la segunda ecuación para tener 2x multiplicando toda la ecuación por dos.

2 (x) = 2x

2 (4y) = 8y

2 (14) 28

Restando

2x + y = 7

2x + 8y = 28 (OJO, como puedes ver el 2x es positivo, hay que cambiarlo a negativo por tanto los signos  de los términos restantes también cambian). Una vez cambiados, hay que restar.

   2x + y =   7

– 2x – 8y = – 28

    /   -7y = – 21

Despejas “y”

 y = – 21 / – 7

 y = 3

Una vez encontrado el valor de “y”, se siguen los  pasos del IV al VII hasta que  se grafiques ambas ecuaciones. 

EJERCICIOS DE PRACTICA

  1. a) 3x + 2y = 8             b) 5x – y   = 9
  2.  a) 8x + 5y = 34          b) 4x – 2y = 8
  3.  a) 2x – 6y = – 26       b) 15x + 3y = 93
  4.  a) 9x – 15y = –39      b) 15x – 4y = –23
  5.  a) 2x + 5y = 30          b) 6x + 4y = 46
  6.  a) 3y + 5x = 4            b) 6y – 10x = –32
  7.  a) 14y – 75x = – 38   b) –2y + 9x = 2
  8.  a) 24x – 3y = –45      b) –12x + 5y =19
  9.  a) 11y – 4x = 56        b)  –15y + 2x = – 66
  10.  a) 18x – 6y = 6          b)  27x – 24y = –117
  11.  a)  6x – 2y = 26         b) 3x + 18y = –63
RESPUESTAS
1. x = 2, y =1
2. x = 3, y = 2
3. x = 5, y = 6
4. x = -1, y = 2
5. x = 5, y = 4
6. x = 2, y = -2
7. x = 2,  y = 8
8. x = -2, y = -1
9.  x = -3, y = 4
10. x = -1, y = -4
11. x = 3, y = -4