Una vez que te has familiarizado con la división de términos se te va a facilitar las diferentes variables de división que se presentan en algebra. Primero vamos a recordar lo siguiente:
Un monomio se compone de un término sin importar el número de incógnitas o letras que tenga (-4x3yz4).
Un binomio se compone de dos términos y un trinomio de tres, estos también se conocen como polinomios que son los que ya tienen dos o más términos, por ejemplo: binomio (5m-3n2 – 8mn) , trinomio (-3xy + xy – 2x2y).
Cuando tenemos más de tres términos es más común que los llamen polinomio (7mn4 -3m2 +mn2 +2mn).
Ahora veamos como dividir un polinomio (que puede tener dos o más términos) con un monomio, quiere decir que en la parte del numerador vamos a tener varios términos y en la parte del denominador tendremos solo uno.
EJEMPLO I
PASO I
Dividir, siguiendo los pasos de la división, el primer término que está en café.
PASO II
Dividir el segundo término (azúl) con el denominador.
PASO III
Dividir el tercer término (verde) con el denominador.
PASO IV
Representar tu respuesta juntando cada una de las anteriores
EJEMPLO II
PASO I
Dividir, siguiendo los pasos de la división, el primer término que está en café.
PASO II
Dividir el segundo término (azúl) con el denominador.
PASO III
Dividir el tercer término (verde) con el denominador.
PASO IV
Representar la respuesta
EJEMPLO III
PASO I
Dividir, siguiendo los pasos de la división, el primer término que está en café. Si se te dificulta visita “Fracciones”.
Al dividir 3n ÷ 6m = ½mn
Al dividir enteros solo escribe el número uno en lugar del denominador y se multiplica cruzado.
PASO II
Dividir el segundo término (azúl) con el denominador.
Recuerda que si no hay coeficiente o número este va a ser 1 y al dividir 1entre 6 nos da un sexto.
PASO III
Dividir el tercer término (verde) con el denominador
PASO IV
Representar la respuesta
PASO V
Simplificar términos semejantes, este paso no siempre va a ser necesario, solo cuando hay términos semejantes que son aquellos que tienen la misma incógnita o letra y el mismo exponente. En el ejemplo anterior todos son términos semejantes y se simplifican aplicando la ley para suma y resta. Aquí se puede repasar la suma y resta de fracciones y recuerda que para algunos exámenes puedes usar la calculadora.
Cuando nos presentan una ecuación lineal de la forma y = mx + b, sabemos que podemos obtener los valores de las variables (x, y) y representar la función (recta) en el plano cartesiano, en el siguiente tema vamos a trabajar con dos ecuaciones juntas y lo primero es que vamos a buscar el punto donde se cruzan estas rectas aplicando el método de eliminación por sustituían.
Si el tema se te dificulta, considera revisar los temas previos:
En estas dos ecuaciones los valores de “x” y “y” van a ser los mismo pero el resultado va a ser diferente, en la primera debemos buscar dos números que sumados nos den 6 (primera) y esos mismos numero restados nos dé 4 (segunda). El único par que cumple esta función son el 5 y 1.
5 + 1 = 6
5 – 1 = 4
Este ejemplo es sencillo, pero si tenemos números más grandes que incluyan multiplicación se puede complicar un poco más así que veamos el método para resolverlas paso a paso.
EJEMPLO I
x + y = 9
10x + 5y = 60
En este ejemplo, hay que buscar un número (x) que sumado a otro número (y) nos de 9, esos mismos valores de “x” y “y” deben resolver la segunda ecuación donde se multiplica diez por el primer número (x) y se suma la multiplicación de cinco por el otro número (y) donde nos da como resultado 60.
PASO I
Hay que escoger un coeficiente (número) para igualarlos, si escogemos las “y” ambas ecuaciones deben tener 5y y si escogemos las “x” ambas deben tener 10x. Para este ejemplo vamos a igualar las “y” para tener en ambas ecuaciones 5x. Una debe ser negativa y la otra positiva.
PASO II
Ya que se elegieron cual coeficiente (número) que se van a igualar, se busca el mcm, que en este caso es el 5. Posteriormente se multiplica cada uno de los términos de la primera ecuación por -5. (El cinco debe ser negativo porque queremos que en la primera ecuación nos de -5y.
– 5 ( x) = – 5x
– 5 (y) = – 5y
– 5 (9) = – 45
Y la ecuación quedaría así: – 5x = 5y = – 45
PASO III
Una vez que se multiplica la ecuación, se acomoda en orden para sumar o restar ambas ecuaciones
-5x – 5y = – 45
10x + 5y = 60
5x / = 15
x = 3
PASO IV
Ya restada la ecuación, solo queda despejar y obtener el valor de “y” en cualquiera de las dos ecuaciones.
10x + 5y = 60 Sustituimos el valor que obtuvimos de «x» en la ecuación.
10(3) +5y = 60 Se multiplica 10 por 3 y se despeja del otro lado de la ecuación.
30 + 5y = 60
5y = 60 – 30
y = 30/5
y = 6
Por tanto el punto de intercepción de ambas ecuaciones es (3, 6)
PASO V
Representa los valores de “x” y “y” en el plano cartesiano que indican donde se cruzan ambas rectas. (3, 6)
PASO VI
Obtener dos valores más de cada función y graficar para representar las rectas. Esto se hace asignando valores a la “x”, tu respuesta puede variar dependiendo que valores asignes, pero la recta debe tener la misma dirección. Si no sabes cómo graficar una ecuación, revisa este enlace.
PASO VII
Graficar ambas funciones
IMPORTANTE: Si se presenta el caso en el que los coeficientes (números) que queremos igualar tienen el mismo signo y no se puede restan, simplemente hay que cambiarle los signos a toda la ecuación.
Ejemplo II
2x + y = 7
x + 4y = 14
Siguiendo los pasos anteriores, igualamos la segunda ecuación para tener 2x multiplicando toda la ecuación por dos.
2 (x) = 2x
2 (4y) = 8y
2 (14) 28
Restando
2x + y = 7
2x + 8y = 28(OJO, como puedes ver el 2x es positivo, hay que cambiarlo a negativo por tanto los signos de los términos restantes también cambian). Una vez cambiados, hay que restar.
2x + y = 7
– 2x – 8y = – 28
/ -7y = – 21
Despejas “y”
y = – 21 / – 7
y = 3
Una vez encontrado el valor de “y”, se siguen los pasos del IV al VII hasta que se grafiques ambas ecuaciones.
La esfera no es otra cosa que una figura en forma de pelota, y en esta el único valor que necesitamos es el radio y el valor de pi, el resto de los valores están dados en la fórmula.
Siguiendo la fórmula tenemos que:
SA = área de superficie
π = pi (3.1416)
r = radio
SA = 4πr2
Ejemplo I
La siguiente esfera tiene un radio de 3.
PASO I
Sustituir los valores de la fórmula.
SA = 4πr2
SA = 4 x 3.14.16 x 32
PASO II
Elevar al cuadrado y multiplicar.
SA = 4 x 3.1416 x 9
SA = 113.09cm2
PASO III
También se recomienda practicar usando la calculadora solo se introducen todos los valores usando los signos correspondientes.
4 x 3.14.16 x 32
Ejemplo II
Obtén el área de la superficie de una esfera con un diámetro de 5cm.
PASO I
Determinar el valor del radio, recuerda que el diámetro es lo que la esfera de un extremo al otro. Por lo tanto, el radio es la mitad del diámetro.
r = 2.5
PASO II
Sustituir los valores de la fórmula
SA = 4π r2
SA = 4 x 3.1416 x 2.52
PASO III
Elevar al cuadrado y multiplicar
SA = 4 x 3.14.16 x 6.25
SA = 78.54cm2
PASO IV
También se puede usar la calculadora, solo introduce todos los valores usando los signos correspondientes
4 x 3.1416 x 2.52
Como puedes ver el área de superficie de la esfera es fácil de obtener ya que se usa una fórmula sencilla, pero también hay que considerar que se pueden plantear diferentes preguntas como el siguiente caso.
Ejemplo III
Para esta figura analiza: ¿cuántas figuras se encuentran en la imagen?, si quieres obtener el área de superficie de toda la figura, ¿qué partes incluirías?, ¿cuáles excluirías?, ¿qué parte de las formulas usarías? Revisemos la siguiente información.
PASO I
Escribir las fórmulas de cada figura y analiza que parte no vas a usar.
SA = 4πr2 SA = 2πrh +2πr2
La fórmula verde indica el área de la esfera; la morada, del cilindro. Si se quiere obtener solo el área de superficie se debe omitir la parte interna (circulo crema) que representa un circulo de la base de la esfera y el de la parte superior del cilindro
En la primera fórmula solo se necesita la mitad de la esfera (color azul) por tanto solo hay que dividir todo entre dos o quitar el 4 y poner un dos, nos quedaría así: SA = 2πr2
En la segunda fórmula no necesitamos el circulo de la parte superior y como la primera parte representa toda la parte gris, el circulo que queda en la parte inferior de cilindro sería el único que necesitamos. Por tanto solo se necesita el área de un circulo la fórmula nos quedaría así:
SA = 2πrh +πr2
(ojo, quitamos el número dos de la segunda parte porque ese indica dos círculos y como solo queremos uno solo lo quitamos)
PASO II
Escribe la expresión completa una vez que ya las modificaste
SA = 2πr2 + 2πrh +πr2
La parte roja indica la fórmula de la esfera; la parte verde, el cilindro.
PASO III
Sustituye los valores
SA = (2 x 3.14 x 42) + (2 x 3.14 x 4 x 12) + (3.14 x 42)
PASO IV
Resuelve, multiplica los números dentro de los paréntesis
SA = 150.72 + 301.44 + 50.24
Suma todas las cantidades
SA = 502.4in2
PASO V
Resuelve esa expresión usando la calculadora, solo introduce los datos como se presentan y debes obtener la misma respuesta.
(2 x 3.14 x 42) + (2 x 3.14 x 4 x 12) + (3.14 x 42)
EJERCICIOS DE PRACTICA
1. Obtén el área de superficie de un círculo con un diámetro de 18 cm.
2. Obtén el área de superficie de un círculo con un radio de 4 ¼ cm.
3. Cuál es el área de superficie de una bodega circular en forma de esfera que tiene un diámetro de 25 metros.
4. Una esfera tiene un volumen de 3052.08 cm cúbicos, ¿cuál es el área de superficie? Pista: hay que despejar el radio con la fórmula del volumen y después obtener el área de superficie.
5. Marta decora esferas navideñas con tela, si quiere hacer una de dos colores, ¿cuánta tela ocupa para cada color si el radio de la esfera es de 2.5 cm?
6. Una peletería necesita cubrir un helado en forma de cono y media esfera para su distribución en tiendas locales, cual es el área de la superficie superior del helado si la circunferencia del helado es de 9.42 pulgadas. PISTA: hay que despejar el valor del radio usando la fórmula de la circunferencia, con el radio obtener el área de superficie de la media esfera.
El prisma rectángular, a diferencia del prisma recto, tiene como bases dos rectángulos, por tanto se debe multiplicar lo largo “l” por lo ancho “w” para obtener el área de la parte superior e inferior.
En las partes laterales también se forman cuatro rectángulos y dos de esos son más largos que los otros dos. Veamos eso en la formula
SA = 2lw + 2lh + 2wh
La primera parte 2lw es para obtener el área de las bases (en color naranja incluida en el recuadro amarillo) multiplicando largo por ancho; esto se multiplica por dos ya que son dos bases, la de arriba y la de abajo.
La segunda parte de la formula 2lhes para obtener el área de los rectángulos más grandes (parte morada) y representa lo largo por la altura.
Por último, la tercera parte de la fórmula 2wh es para obtener los rectángulos de las partes laterales (representadas en verde) y consiste en multiplicar el ancho por la altura.
Siguiendo la formula tenemos que la:
SA = área de superficie
l = largo
w = ancho
h = altura
Ejemplo I
PASO I
Sustituir los valores en la fórmula.
SA = 2lw + 2lh + 2wh
SA = (2 x 8 x 5) + (2 x 8 x 11) + (2 x 5 x 11)
PASO II
Multiplicar los paréntesis.
SA = 80 + 176 + 110
PASO III
Sumar los tres valores
SA = 366 cm2
PASO IV
También se recomienda practicar usando la calculadora. Solo hay que introducir todos los valores usando los paréntesis y los signos correspondientes (2 x 8 x 5) + (2 x 8 x 11) + (2 x 5 x 11) y te va a dar automáticamente la respuesta.
Ejemplo II
Usemos el mismo ejemplo del prisma recto pero con diferente medida. Pensemos que la siguiente figura es una jaula de un hamster y la parte gris es la puerta de la jaula, si esta sobre el suelo, solo se te pide taparla por encima. Como le harías para obtener el área de are de la superficie?, que parte es la que no vas a obtener? Y si quieres dejar sin forrar la puerta (parte gris) que paso extra tendrías que hacer? ¿Cómo expensarías la fórmula para representar toda la operación?
PASOS I
Determinar que parte de la fórmula se va a usar y cuál se tiene que modificar.
Como no se va a forrar la parte inferior, solo se debe obtener el área del rectángulo superior, los dos laterales y los dos restante (enfrente y trasero). Por último, se tiene que restar el área de la puerta (parte gris)
SA = 2lw + 2lh + 2wh (ORIGINAL)
SA = lw + 2lh + 2wh – wl (MODIFICADA)
PASO II
Analizar ¿cómo se modificó la fórmula, qué se quitó y qué se agregó de la fórmula original?
PASO III
Sustituir valores siguiendo la fórmula modificada.
SA = lw+2lh+2wh – wl
SA = (12×7)+(2x12x8) + (2x7x8) – (6×5)
PASO IV
Multiplicar los valores dentro de los paréntesis.
SA = 84 + 192 + 112 – 30
PASO V
Sumar los valores y resta el último valor.
SA = 358 cm2
PASO VI
Practicar el uso de la calculadora introduciendo todos los valores en un paso. Solo incluye los paréntesis y signos de multiplicación, suma y resta para obtener la respuesta.
Por último, hay que tener presente que la forma en que se plantean los problemas requieren un análisis extra y determinar si tienes que usar toda la fórmula, una parte o modificarla como fue el casa del ejemplo II.
