La pendiente indica la inclinacion de una recta y puede ser positiva o negativa.
La manera más sencilla de obtener la pendiente es usando la razón entre el cambio vertical y horizontal. Si formamos un triángulo rectángulo teniendo la distancia de los puntos como hipotenusa, se pueden contar el cambio vertical y horizontal como se indica en la imagen siguiente.
Pasos para encontrar la pendiente:
Seleccionar dos puntos de la recta, para obtener la distancia vertical. Elije cualquier punto y cuenta el número de cuadros ya sea hacia arriba o hacia abajo hasta alcanzar el nivel del segundo punto. En la imagen anterior contamos del punto “G” hacia arriba 4 unidades.
Después de contar las 4 unidades, se debe buscar el cambio horizontal contando las unidades hacia la izquierda o derecha, en el caso del ejemplo se desplaza a la derecha una unidad.
Se plantea la razón dividiendo el cambio vertical entre el cambio horizontal, que seria 4 entre 1.
La pendiente en este caso es 4 positivo. Puede ser negativo como se muestra en el siguiente ejemplo.
A partir del punto “P se cuenta hacia arriba cinco unidades en el cambio vertical, y cuatro unidades hacia la izquierda en el cambio horizontal. Para obtener la pendiente se divide 5 entre -4 y el resultado es -1.25 o 5/4. (Aquí se hace uso de la multiplicacion de signos, por eso el resultado es negativo)
Otro método es aplicar la fórmula. Los conocimientos previos para entender y resolver la fórmula son los siguientes:
Identificar las coodenadas o puntos en el plano cartesiano es el primer paso para poder encontrar la distancia entre dos puntos.
Por ejemplo si me presentan las siguientes coordenadas H (2, -4) y U (-3, 2); al localizar dichas coordenadas se puede encontrar la distancia que hay entre ellas.
La fórmula para encontrar la distancia es la siguiente:
OTRA FORMA MÁS SIMPLE DE OBTENER LA DISTANCIA ES USANDO EL TEOREMA DE PITAGORAS.
Cuando dos puntos se encuentra en posicion horizontal o vertical, solo se cuentan las unidades o cuadros que los separan. Ejemplo:
En el siguiente video se explican los procedimientos para encontrar la distancia. Les recomiendo, si se les hace difícil, que inicien aplicando el Teorema de Pitagoras, una vez que lo dominen, pueden intentar aplicar la fórmula.
EJERCICIOS DE PRACTICA
Encontrar la distancia entre los puntos PQ, OS, NR, OM, NP, RM, NO, RP, MP, OQ, RO, RS, QN, PO.
Se puede elaborar aplicando el Teorema de Pitagoras o la fórmula para obtener la distancia.
El “Plano cartesiano” o “Plano de coordenadas” se componen por el eje de la “x” llamada abscisa (linea horizontal) y el eje de la “y” ordenadas (linea vertical) los cuales forman cuatro cuadrantes.
El primer cuadrante siempre va a ser positivo en las “x” y “y”(+, +).
El segundo va a ser negativo en las “x” y positivo en las “y”(- , +).
El tercer cuadrante va a ser negativo en ambas (- , -).
El cuarto es positivo en las “x” y negativo en “y”(+ , -).
Una coordenada se representa con dos números dentro de un paréntesis (2, 3) donde el primer número siempre indica el valor de la «x» y el segundo de las «y».
Al ubicar una coordenada es importante poner atención a los signos.
Las «x» positivas van hacia la derecha, las negativas hacia la izquierda.
Las «y» positivas van hacia arriba, las negativas hacia abajo.
Los números y signo de una coordenada (3, -2) indican cuantas unidades nos movemos para marcar la coordenada siempre partiendo del centro, donde se cruzan ambas lineas. Por ejemplo: si queremos localizar la coordenada m (3, – 2)
El 3 indica las «x» y como es positivo, nos movemos tres unidades hacia la derecha a partir del centro.
El -2 indica las «y» a partir del lugar donde quedo la «x», nos dirigimos hacia abajo dos unidades y la coordenada la indicariamos de la siguiente manera:
Para aprender a localizar los puntos en el plano de coordenadas revisa el siguiente video.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Indica las coordenadas de los siguientes puntos
Localiza los siguientes puntos en el Plano Cartesiano.
M (-2, 4); N (0, -1); O (3, -1); P (2, 4); Q (0, 0); R (-4, 3) S (-1, -4)
RESPUESTAS
A = (-3,4); B = (3,3); C = (1, -3); D = (-1,-1); E = (1,4); F = (-3,-4); G = (2,-1)
Una de las habilidades básicas a desarrollar es obtener porcentajes, hay diferentes métodos, como la regla de tres y convertir porcentaje a decimal.
En los siguientes videos se explican dichos métodos así como tips sencillos para realizar dicha operación.
El porcentaje, representa una parte del total que siempre es el 100%, aun cuando puede haber porcentajes que pueden ser mayor al 100% por ejemplo si una persona duplica su ganancia sería el 200%.
Otro ejemplo: Si Antonio compró un carro en malas condiciones por $1000 dolares, lo repara y después lo vende a $1800 tuvo una utilidad de $800 dolares que representa el 80%. Pero si lo hubiera vendido a $2500 su utilidad sería de $1500 y representaria un 150%.
Después de los videos vas a encontrar algunos ejercicios de práctica.
EJERCICIOS
Obtén los siguientes porcentajes:
13% de $78
8% de $125
23% de $360
5% de $213
37% de $1240
45% de $100
19% de $387
20% de $245
10% de $1050
6% de $320
PROBLEMAS VERBALES -Mas del 100%
11. Juan compró un carro en $1000 dólares, después de algunas remodelaciones, lo vendió a $3,200. ¿Qué porcentaje representa el precio de venta? y ¿qué porcentaje representa la ganancia?
12. Luisa abrió una cuenta de ahorros con $800 dólares. Durante un año deposito $250 por mes. ¿Qué porcentaje representa sus ahorros durante el año en relación a su cuenta inicial?
13. En el año fiscal del 2005, una compañía obtuvo una utilidad de 24,000. Si esta utilidad representa el 150% en relación al año anterior. ¿Cuál fue la utilidad del año anterior?
14. Eduardo gasta $250 dólares por mes en gasolina, y $100 dólares en luz. ¿Qué porcentaje representa su gasto en gasolina en relación a los gasto de electricidad que tiene al mes?
Es importante tener presente que en el examen del GED las preguntas se presentan en forma de ejercicios verbales, graficas, o base de datos. Aun cuando el formato del examen no se evalúa el procedimiento para resolver los problemas, ya que un 96% de ellos son de opción múltiple, es necesario saber las operaciones con fracciones para resolver operaciones básicas como formulas y otro tipo de ejercicios que se les pueden presentar.
A continuación se revisa la multiplicación y división de fracciones, al final se presentan ejercicios de practica y problemas verbales.
Antes de aprender los pasos basicos de la multiplicación y división, es importante saber simplificar las fracciones, ya que es necesario para resolver los ejercicios.
En el siguiente video se explican cuatro ejemplo para resolver la división con fracciones.
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
Tengan presente que en el examen del GED no les evalúan el procedimiento, solo la respuesta, y si es en la sección donde pueden usar la calculadora, este video les muestra como resolver operaciones de fracciones con la calculadora.
EJERCICIOS DE PRACTICA
15. Juan necesita 8 pedazos de madera de 3 ¼ pies de largo. ¿Cuánta madera en total necesita?
16. El marcador de gasolina muestra que el tanque esta 1/3 lleno. Si el tanque tiene una capacidad de 24 galones, ¿Con cuántos galones más se llena el tanque?
17. Maricela tiene 14 1/8 de tela, si utiliza ¾ para hacer unas cortinas, ¿cuánta tela le sobra?
18. Una carnicería hizo un pedido e 15 ¾ libras de carne, si solo le surtieron 1/3 parte del pedido, ¿Cuántas libras de carne recibieron?
19. Durante la semana, Luisa camino 1 ¾ millas, 2 ½ millas, y 3 ¼ millas. ¿Cuántas millas camino en la semana?
20. Marcos compró 25 metros cuadrado de alfombra, si la recamara de su hija tiene una superficie de 23 1/3 metros cuadrados, ¿Cuánta alfombra se desperdiciara?
Una aplicación de algebra en geometría lo encontramos en los perímetros. Se entiende por perímetro a todo lo que rodea a una figura plana. Si una persona quiere bardear o cercar un terrero, necesita saber cuando mide alrededor y a eso es a lo que llamamos perímetro. Aplicando el algebra, no haríamos otra cosa que sumar términos semejantes.
Al sumar términos semejantes estos deben tener la misma variable o incongnita (letra), y el mismo exponente.
El volumen es el espacio que ocupa un cuerpo en tres dimensiones, un ejemplo lo pueden observar en un tinaco. Toda el agua representa el volumen que no es otra cosa que el espacio que ocupa el líquido.
Existen fórmulas ya establecidas para obtenerlo el volumen, algunas de ellas se explican en el siguiente video.
En la multiplicación de términos se hace uso de las operaciones básicas. Sin embargo, se tienen que tener presente la multiplicación, suma y resta de signos para simplificar si es necesario.
Para entender con más claridad la multiplicación de términos considera los siguientes pasos:
PRIMERO: Multiplicar los signos
SEGUNDO: multiplicar las coeficiente o números.
TERCERO: Multiplicar las incognitas (letras) sumando sus exponentes. Si una incognita no tiene exponente, su exponente es uno. Al momento de multiplicar un término algebraico, SUS EXPONENTES SE SUMAN.
CUARTO: Se simplifica si es necesario. Este paso se tiene que realizar si después de la multiplicación nos quedan términos semejantes, hay que sumar o restar según corresponda. Ejemplo:
– 3x² – 2x(- 4x)
-3x² + 8x²
5x²
EJERCICIOS DE PRACTICA
RESPUESTAS
Las incognitas (letras) se acomodan en orden alfabético, si lo respondieron en el orden que lo multiplicaron también es correcto.
Otra aplicación del Álgebra continua en los ángulos dentro de un triángulo, después de todo el trabajo de matemáticos y otros genios que nos antecedieron, sabemos que la medida de los ángulos internos de cualquier triángulo va a ser siempre de 180°, sin importar el tipo de triangulo que sea.
1. x + 4x + 4x = 180 (suman los términos semejantes)
9x = 180 (se pasa el 9 al otro lado del signo igual, si esta multiplicando se pasa dividiendo)
x = 180/9 (se divide 180 entre 9)
x = 20 (para obtener el valor de cada ángulo, se multiplica 4 por el valor de “x” = 20, por tanto 4(20) = 80 grados.
En el ejemplo 2 hay un ángulo recto que siempre mide 90°, quien este familiarizado con las ecuaciones va a encontrar mas fácil plantearla así 3x + 2x – 15 = 90. Tomando en cuenta solo las medidas del angulo «a» y «c».
5x + 75 = 180 (el 75 esta sumando se pasa del otro lado del signo igual restando)
5x = 180 – 75 (el 5 esta multiplicando, pasa al otro lado del signo igual dividiendo)
x = 105/5 (se divide 105 entre 5)
x = 21
El ángulo “a” se obtiene multiplicando 3 por el valor de “x” 3(21) = 63
El valor del ángulo “c” se obtiene multiplicando 2 por el valor de “x” y restando 15; 2(21)-15 = 27
El ángulo “b” es recto y siempre mide 90 grados.
Revisa el siguiente video y posteriormente resuelve los siguientes ejercicios, las respuestas las encuentras al final. Preguntas, dudas o comentarios los puedes compartir al final del articulo.
Los NÚMEROS MIXTOS son aquellos que tienen un número entero y una fracción, si tenemos 4 pesos con 50 centavos lo podemos representar 4 ½ aquí cuatro representa nuestros enteros y ½ es la mitad de un peso.
Mas ejemplos en el siguiente video.
EJERCICIOS DE PRACTICA
Convertir los números mixtos a fracciones impropias.
En las FRACCIONES IMPROPIAS el numerados (número arriba de la fracción) es más grande que el denominador (colocado abajo). Este tipo de fracciones siempre se pueden convertir a números mixtos, revisen el video para aprender el procedimiento.
Una unidad o un entero puede dividirse en muchas partes, estas partes son las que conocemos como FRACCIONES, que no son otra cosa que la representación de esas partes.
Por ejemplo, si se tienen 100 pesos, y son repartidos entre cuatro personas, a cada persona le tocarían $25 pesos que en fracción sería ¼.
Al momento de comprar algún producto que se vende por kilos y pedimos “medio kilo de tortillas” no es otra cosa que ½ y ahí ya estamos usando las fracciones sin siquiera notarlo.
Las fracciones se pueden clasificar en FRACCIONES PROPIAS, FRACCIONES IMPROPIAS Y NÚMEROS MIXTOS. En el siguiente video se explican cada una de ellas.
Aplicar las fórmulas como se nos presentan puede ser un paso sencillo si queremos obtener áreas, perímetros o volúmenes. Otra aplicación de las fórmulas es cuando tenemos el área, perímetro o volumen y tenemos que obtener otra información como puede ser la base, la altura, etc. Esto es a lo que llamamos, despeje de fórmulas.
Por lo general se debe encontrar aplicando la operación contraria a la que se indica en la formula. Si es mutiplicación, se divide, si se esta sumando, se resta. Veamos un ejemplo con la fórmula del rectángulo A= bh (dos letras juntas nos indica multiplicación).
Si nos dan el área = 48 y el valor de la base es 8. Sustituimos valores siguiendo la fórmula 48 = 8h. Como el 8 esta multiplicando a la «h», hay que pasarlo a la izquierda dividiendo al 48. Es así que tendríamos b= 48/8 y el valor de la altura es 6.
DESPEJAR FORMULA DE CUADRADO Y RECTÁNGULO
Despejar la formula de un triángulo
CIRCULO, cómo obtener el radio y diametro.
CILINDRO
El siguiente video explica como encontrar un valor deconocido (altura o radio) si contamos con el volumen.
Uno de los temas importantes en geometría es entender los conceptos de ÁREA, además de poder aplicar las fórmulas para encontrar estos valores.
Se entiende por área todo espacio que ocupa una figura plana, estas figuras pueden ser regulares como el cuadrado, rectángulo, círculo; o incluso puede obtenerse el área de figuras combinadas como al juntar la mitad de un círculo con un triángulo, cuadrado o rectángulo.
En el siguiente video se explican las formulas para obtener el área.
