Aprender las equivalencias entre yardas, pies y pulgadas es una parte fundamental para los contenidos de geometría del examen de MATEMÁTICAS.
Para los que estas acostumbrados a usar el sistema métrico puede ayudar asociar una YARDA con un METRO, aunque no representan el mismo tamaño, su equivalencia es casi igual. (Un metro equivale a 1.09 yardas)
YARDAS
Iniciando con la yarda, esta se compone de tres pies.
De esta manera se pueden convertir pies a pulgadas. Si queremos convertir yardas a pies, multiplicamos y para convertir pies a pulgadas dividimos.
Veamos un ejemplo: Si tenemos 5 yardas y queremos representarlas en pies multiplicamos por tres. 5 x 3 = 15 por tanto 5 yardas equivalen a 15 pies.
También podemos convertir los pies a yardas, Si se tienen 21 pies para representarlos en yardas, se divide entre tres. 21 ÷3 = 7 por tanto 21 pies equivalen a 7 yardas.
PIES
Con respecto al pie, este equivale a 12 pulgadas.
Para convertir pies a pulgadas se multiplican por 12
Para convertir pulgadas a pies, se divide entre 12
Ejemplo I
Obtener la equivalencia de 8 pies en pulgadas.
PASO I
Multiplicar 8 x 12 = 96
Por tanto 8 pies equivalen a 96 pulgadas
Ejemplo II
Obtener la equivalencia de 120 pulgadas a pies
PASO I
Dividir 120 entre 12 = 10
Por tanto 120 pulgadas equivalen a 10 pies.
Hasta ahí es sencillo, pero qué pasa si tenemos fracciones o parte de una de un pie.
EQUIVALENCIA EN FRACCIONES ENTRE PIES Y PULGADAS
TERCIOS
Primero podemos representar el pie en tercios, lo dividimos en tres partes, es lo mismo si dividimos 12 entre 3 = 4, (ver ilustración).
Quiere decir que cada segmento equivale a 4 pulgadas, así tenemos que:
CUARTOS
También se puede dividir el pie en cuatro segmentos lo que equivale a 12 entre 4 = 3. Quiere decir que cada cuarto de pie representa 3 pulgadas
Una de las habilidades que se evalúa en el examen de matemáticas es el pensamiento crítico.
Al estudiante le pueden presentar desde problemas verbales con textos extensos hasta ejercicios aparentemente sencillos de geometría.
Entre ese tipo de ejercicio puede estar obtener el área, que es un tema sencillo, pero al combinar uno o mas figuras puede tener un grado de dificultad mas elaborado. A
A continuación, se presentan tres videos donde se explica el uso de formulas y la manera de resolverlos. Al final de cada video hay ejercicios de practica.
Una parte importante de los temas de geometría es el área de superficie (SA), que no es otra cosa que forrar figuras tridimensionales como el cilindro, la esfera o en palabras mas sencillas, una caja.
Para saber qué cantidad de material se necesita para forrarlas, cada figura geométrica tiene su fórmula. Ahora, lo recomendable antes de intentar resolver cualquier fórmula, es aprender lo que representa cada variable (letra) y constante (número).
En los siguientes videos se explican cada una de dichas formulas así como la parte que representan en la figura. Es importante que te familiarices con estos conceptos para poder después resolver ejercicios con datos reales y posteriormente problemas verbales relacionados con este tema.
PRISMA RECTO
SA = ph + 2B
p = perímetro
h = altura
B = área de superficie
PRISMA RECTÁNGULAR
SA = 2lw + 2lh + 2wh
l = largo
w = ancho
h = altura
PIRÁMIDE
SA = ½ps + B
p = perímetro
s = altura de incinación
B = área de la base
ESFERA
SA = 4πr2
π= Pi (3.14)
r = radio
CONO
SA = πrs + πr2
π= Pi (3.14)
r = radio
s = altura de inclinación
EJERCICIOS
Para los siguientes ejercicios no es necesario asignar valores a las formulas, solo debes escribir la parte de la fórmula que se te pide.
Escribe la parte de la fórmula con la que puedes obtener la parte circular del cilindro.
¿Con cuál fórmula podrías obtener el área de superficie de un prisma recto quitando la parte superior?
¿Cuál expresión indica la mitad del área de superficie de una esfera?
a) SA = 4πr
b) SA = 2πr2
c) SA = ½πr2
¿Qué parte de la fórmula del prisma recto indica las bases.
¿Qué parte de la fórmula de un cono debes usar si no quieres cubrir la parte inferior, sin incluir el circulo?
Imagina que tienes una jaula para tu mascota y quieres forrar la parte de encima (sin cubrir la parte que toca el suelo). ¿Cómo podrías representar la fórmula?
La pirámide está compuesta por cuatro triángulos y la base puede ser cuadrada o rectángular. Si la base es cuadrada, los cuatro triángulos van a ser correspondientes quiere decir que van a tener las mismas medidas. Ahora, si la base es rectangular, la parte superior va a estar compuesta por dos pares de triángulos, cada par con las mismas medidas.
Por lo tanto, para obtener el área de superficie, hay que obtener el área de cuatro triángulos y un cuadrilátero.
Analicemos la fórmula.
SA = ½ ps + B
En la primera parte ½ ps se multiplica un medio por el perímetro por la altura de inclinación. También se puede sustituir ½ por .5 y en la siguiente imagen se indica de donde se obtienen los valores de “p” y “s”.
En la imagen, la parte verde representa el valor del perímetro “p” y la línea roja es la altura de inclinación representada por la “s” en la fórmula.
Para obtener el valor de “p”, si la base es cuadrada se multiplica cuatro por el lado (5).
Si la base es rectangular, se sigue la siguiente formula: p = 2L + 2w
Sustituyendo tenemos:
SA = ½ x 20 x 8
Para la segunda parte de la fórmula que es la “B” se debe obtener el área de la base. Si la base es cuadrada, se eleva el valor del lado al cuadrado
A = L2, sustituyendo, A = 52 (cinco por cinco).
Con todos los valores la fórmula nos queda de la siguiente manera:
SA = ½ x 20 x 8 + 25
Paso I
Multiplica ½ por 20 por 8
SA = 80 + 25
Paso II
Suma ambos valores
SA = 105 cm2
Ejemplo II
Ahora revisemos un ejemplo con la base rectangular.
Una vez que obtienen el valor de “p” (perímetro) y “B” (área de la base), el siguiente paso es sustituir los valores en la formula
SA = ½ ps + B
SA = ½ (28) (12) + 45
Multiplica los paréntesis
SA = 168 + 45
Suma ambos valores
SA = 213cm2
EJERCICIOS:
Pista: Para los ejercicios 3 y 4 se da el valor de B que representa el área de la base. Para obtener «p» se debe despejar la formula del área para obtener el largo. En este enlace se explica como despejar una formula. (B=LW, solo divide el valor de B entre el de W). En la número ocho, la base es cuadrada, para obtener el valor del lado, solo hay que obtener la raíz cuadrada de 36.
Obtener el perímetro es uno de los temas mas sencillos en geometría ya que solo consiste en sumar los lados externos de la figura. El cuadrado, rectángulo y triángulo son las figuras geométricas mas sencillas. Los polígonos se clasifican según la posición de sus ángulos y la cantidad de lados en una figura plana. Entre los mas sencillos se encuentran los regulares e irregulares; en los primeros, todos sus lados tienen la misma longitud al igual que sus ángulos internos. Por su parte los polígonos irregulares nos indica simplemente que nos son regulares, ósea que no tienen lados y ángulos iguales.
Para obtener el perímetro de los polígonos irregulares simplemente hay que sumar todos sus lados. El grado de dificultad se incrementa cuando no nos presentan todas las medidas y hay que obtenerlas con los datos que se nos presentan.
Para obtener el perímetro de las siguiente figuras, hay que buscar el valor de los lados que no están escritos (lineas azules) y al final sumar todos los valores.
1.
2.
3.
4.
PARA OBTENER LA LONGITUD DEL LADO INCLINAD DE LAS SIGUIENTES FIGURAS, USA EL TEOREMA DE PITAGORAS.
Una “escala” aplicada a geometría o cualquier representación que incluya distancias y dimensiones nos permite presentar proporciones aplicables a un mapa, plano o incluso cantidades.
Los sistemas de medidas que se empleen casí siempre van a pertenecer a la misma familia, quiere decir que si en el dibujo de un mapa se usan centímetros, en la distancia real van a equivaler a metros o kilómetros. Por el contrario, si se usa el sistema ingles se pueden usar pulgadas, pies, yardas o millas.
A continuación tenemos dos ejemplos de esos sistemas de medida. Pensemos que las figuras representan dos mapas, en el chico el largo mide 1 cm; en el grande es de 2 kilómetros. Quiere decir que por cada centímetro que haya en la figura chica, van a recorrer dos kilómetros en la figura grande.
Una escala siempre puede variar, dependiendo que “factor de escala” se use, no es otra cosa que la equivalencia que se esta usando. Para obtenerlo es muy sencillo, simplemente se identifican los valores o medidas que están en la misma posición de ambas figuras (pueden ser mapas, planos, figuras geométricas, etc.).
Una vez identificadas dichas medidas, se divide el valor de la mas grande entre la mas chica. Usando el ejemplo anterior dividiríamos 2 entre 1 y la tendríamos que el factor de escala que se uso es 2.
No necesariamente va a ser así de sencillo. Veamos otro ejemplo:
En este ejemplo el ancho de la figura pequeña es 3 pies y el ancho de la figura grande es 8 millas. Esto nos indica que por cada 3 pies que se recorren en la figura chica, va equivaler a 8 millas en la figura grande. Para obtener el factor de escala hay que dividir 8 entre 3 y la respuesta es 2 enteros con 1/4 o en decimales 2.25.
Encontrar el factor de escala es de mucha utilidad ya que una vez que se tiene, se pueden encontrar otras medidas que quizás se desconocen solo hay que seguir las siguientes reglas. (Recuerda, los valores deben estar en la misma posición en ambas figuras).
Para obtener una medida de la figura grande y se tiene el valor de la figura chica se multiplica dicho valor por el factor de escala.
Para obtener una medida de la figura chica y se tiene el valor de la figura grande se divide dicho valor entre el factor de escala.
Por tanto para encontrar la equivalencia en millas de la figura grande solo multiplicamos 4 pies por el factor de escala y la respuesta debe ser 9 millas.
Preguntas de practica:
Responde la pregunta 1, 2 y 3 con la información presentada en la imagen.
1. Identifica el factor de escala de la siguiente figura.
2. ¿Cuál es el valor de m?
3. ¿Cuál es el valor de n?
4. La distancia real entre dos ciudades es de 45 kilometros, si un estudiante quiere dibujar el mapa a escala, ¿qué factor de escala estaría usando si la distancia en el mapa del dibujo es de 5cm?
La esfera no es otra cosa que una figura en forma de pelota, y en esta el único valor que necesitamos es el radio y el valor de pi, el resto de los valores están dados en la fórmula.
Siguiendo la fórmula tenemos que:
SA = área de superficie
π = pi (3.1416)
r = radio
SA = 4πr2
Ejemplo I
La siguiente esfera tiene un radio de 3.
PASO I
Sustituir los valores de la fórmula.
SA = 4πr2
SA = 4 x 3.14.16 x 32
PASO II
Elevar al cuadrado y multiplicar.
SA = 4 x 3.1416 x 9
SA = 113.09cm2
PASO III
También se recomienda practicar usando la calculadora solo se introducen todos los valores usando los signos correspondientes.
4 x 3.14.16 x 32
Ejemplo II
Obtén el área de la superficie de una esfera con un diámetro de 5cm.
PASO I
Determinar el valor del radio, recuerda que el diámetro es lo que la esfera de un extremo al otro. Por lo tanto, el radio es la mitad del diámetro.
r = 2.5
PASO II
Sustituir los valores de la fórmula
SA = 4π r2
SA = 4 x 3.1416 x 2.52
PASO III
Elevar al cuadrado y multiplicar
SA = 4 x 3.14.16 x 6.25
SA = 78.54cm2
PASO IV
También se puede usar la calculadora, solo introduce todos los valores usando los signos correspondientes
4 x 3.1416 x 2.52
Como puedes ver el área de superficie de la esfera es fácil de obtener ya que se usa una fórmula sencilla, pero también hay que considerar que se pueden plantear diferentes preguntas como el siguiente caso.
Ejemplo III
Para esta figura analiza: ¿cuántas figuras se encuentran en la imagen?, si quieres obtener el área de superficie de toda la figura, ¿qué partes incluirías?, ¿cuáles excluirías?, ¿qué parte de las formulas usarías? Revisemos la siguiente información.
PASO I
Escribir las fórmulas de cada figura y analiza que parte no vas a usar.
SA = 4πr2 SA = 2πrh +2πr2
La fórmula verde indica el área de la esfera; la morada, del cilindro. Si se quiere obtener solo el área de superficie se debe omitir la parte interna (circulo crema) que representa un circulo de la base de la esfera y el de la parte superior del cilindro
En la primera fórmula solo se necesita la mitad de la esfera (color azul) por tanto solo hay que dividir todo entre dos o quitar el 4 y poner un dos, nos quedaría así: SA = 2πr2
En la segunda fórmula no necesitamos el circulo de la parte superior y como la primera parte representa toda la parte gris, el circulo que queda en la parte inferior de cilindro sería el único que necesitamos. Por tanto solo se necesita el área de un circulo la fórmula nos quedaría así:
SA = 2πrh +πr2
(ojo, quitamos el número dos de la segunda parte porque ese indica dos círculos y como solo queremos uno solo lo quitamos)
PASO II
Escribe la expresión completa una vez que ya las modificaste
SA = 2πr2 + 2πrh +πr2
La parte roja indica la fórmula de la esfera; la parte verde, el cilindro.
PASO III
Sustituye los valores
SA = (2 x 3.14 x 42) + (2 x 3.14 x 4 x 12) + (3.14 x 42)
PASO IV
Resuelve, multiplica los números dentro de los paréntesis
SA = 150.72 + 301.44 + 50.24
Suma todas las cantidades
SA = 502.4in2
PASO V
Resuelve esa expresión usando la calculadora, solo introduce los datos como se presentan y debes obtener la misma respuesta.
(2 x 3.14 x 42) + (2 x 3.14 x 4 x 12) + (3.14 x 42)
EJERCICIOS DE PRACTICA
1. Obtén el área de superficie de un círculo con un diámetro de 18 cm.
2. Obtén el área de superficie de un círculo con un radio de 4 ¼ cm.
3. Cuál es el área de superficie de una bodega circular en forma de esfera que tiene un diámetro de 25 metros.
4. Una esfera tiene un volumen de 3052.08 cm cúbicos, ¿cuál es el área de superficie? Pista: hay que despejar el radio con la fórmula del volumen y después obtener el área de superficie.
5. Marta decora esferas navideñas con tela, si quiere hacer una de dos colores, ¿cuánta tela ocupa para cada color si el radio de la esfera es de 2.5 cm?
6. Una peletería necesita cubrir un helado en forma de cono y media esfera para su distribución en tiendas locales, cual es el área de la superficie superior del helado si la circunferencia del helado es de 9.42 pulgadas. PISTA: hay que despejar el valor del radio usando la fórmula de la circunferencia, con el radio obtener el área de superficie de la media esfera.
El prisma rectángular, a diferencia del prisma recto, tiene como bases dos rectángulos, por tanto se debe multiplicar lo largo “l” por lo ancho “w” para obtener el área de la parte superior e inferior.
En las partes laterales también se forman cuatro rectángulos y dos de esos son más largos que los otros dos. Veamos eso en la formula
SA = 2lw + 2lh + 2wh
La primera parte 2lw es para obtener el área de las bases (en color naranja incluida en el recuadro amarillo) multiplicando largo por ancho; esto se multiplica por dos ya que son dos bases, la de arriba y la de abajo.
La segunda parte de la formula 2lhes para obtener el área de los rectángulos más grandes (parte morada) y representa lo largo por la altura.
Por último, la tercera parte de la fórmula 2wh es para obtener los rectángulos de las partes laterales (representadas en verde) y consiste en multiplicar el ancho por la altura.
Siguiendo la formula tenemos que la:
SA = área de superficie
l = largo
w = ancho
h = altura
Ejemplo I
PASO I
Sustituir los valores en la fórmula.
SA = 2lw + 2lh + 2wh
SA = (2 x 8 x 5) + (2 x 8 x 11) + (2 x 5 x 11)
PASO II
Multiplicar los paréntesis.
SA = 80 + 176 + 110
PASO III
Sumar los tres valores
SA = 366 cm2
PASO IV
También se recomienda practicar usando la calculadora. Solo hay que introducir todos los valores usando los paréntesis y los signos correspondientes (2 x 8 x 5) + (2 x 8 x 11) + (2 x 5 x 11) y te va a dar automáticamente la respuesta.
Ejemplo II
Usemos el mismo ejemplo del prisma recto pero con diferente medida. Pensemos que la siguiente figura es una jaula de un hamster y la parte gris es la puerta de la jaula, si esta sobre el suelo, solo se te pide taparla por encima. Como le harías para obtener el área de are de la superficie?, que parte es la que no vas a obtener? Y si quieres dejar sin forrar la puerta (parte gris) que paso extra tendrías que hacer? ¿Cómo expensarías la fórmula para representar toda la operación?
PASOS I
Determinar que parte de la fórmula se va a usar y cuál se tiene que modificar.
Como no se va a forrar la parte inferior, solo se debe obtener el área del rectángulo superior, los dos laterales y los dos restante (enfrente y trasero). Por último, se tiene que restar el área de la puerta (parte gris)
SA = 2lw + 2lh + 2wh (ORIGINAL)
SA = lw + 2lh + 2wh – wl (MODIFICADA)
PASO II
Analizar ¿cómo se modificó la fórmula, qué se quitó y qué se agregó de la fórmula original?
PASO III
Sustituir valores siguiendo la fórmula modificada.
SA = lw+2lh+2wh – wl
SA = (12×7)+(2x12x8) + (2x7x8) – (6×5)
PASO IV
Multiplicar los valores dentro de los paréntesis.
SA = 84 + 192 + 112 – 30
PASO V
Sumar los valores y resta el último valor.
SA = 358 cm2
PASO VI
Practicar el uso de la calculadora introduciendo todos los valores en un paso. Solo incluye los paréntesis y signos de multiplicación, suma y resta para obtener la respuesta.
Por último, hay que tener presente que la forma en que se plantean los problemas requieren un análisis extra y determinar si tienes que usar toda la fórmula, una parte o modificarla como fue el casa del ejemplo II.
De las figuras geométricas esta es una de las más sencillas para obtener el área de superficie ya que cuatro de sus lados son iguales y las dos restantes son cuadrados perfectos. Si observas la figura, la parte naranja (rodeada de amarillo) es un cuadrado y en la parte inferior hay uno similar. Los lados restantes, que se encuentran a los costados están en forma de rectángulo y en total son cuatro.
Siguiendo la fórmula:
SA = área de superficie
p = perímetro
h = altura
B = área de la base
En la figura, el perímetro del cuadrado está indicado por la parte amarilla y para obtenerlo solo multiplicamos 4 por la medida de uno de sus lados.
La B indica el área del cuadrado y para obtenerla solo elevas la medida de uno de los lados amarillos al cuadrado.
EJEMPLO I
PASO I
Identificar y obtener el perímetro del cuadrado (naranja) y el área.
La línea azul indica el perímetro y la formula es p = 4s donde la “s” indica el lado. Aplicando la fórmula tenemos p = 4(3) y la respuesta es 12.
El color naranja “B” indica el área del cuadrado, (A= s2) resolviendo A = 32 y la respuesta es 9.
PASO II
Sustituir los valores usando la fórmula y los valores que de perímetro = 12 y área de la base = 9.
SA = ph + 2B
SA = (12×6)+(2×9)
PASO III Multiplicar los valores dentro del paréntesis
SA = 72 + 18
PASO IV Sumar ambos valores
SA = 90 cm2
Ejemplo II
Pensemos que la siguiente figura. Es una jaula de un hamster y la parte gris es la puerta de la jaula, si esta sobre el suelo, solo se pide taparla por encima.
¿Cómo harías para obtener el área de la superficie?, ¿qué parte es la que no vas a obtener?, y si quieres dejar sin forrar la puerta (parte gris) ¿qué paso extra tendrías que hacer? y ¿Cómo expensarías la fórmula para representar toda la operación?
PASOS I
Determinar qué parte de la fórmula se va a usar y cuál tendrías hay modificar. La parte naranja representa dos cuadrados, se usa el 2B de la fórmula.
No podemos usar la primera parte de la fórmula porque no se quiere a obtener la parte inferior de la jaula. Pero si se necesita incluir el área de las tres caras restantes; una de ellas tiene la puerta para eso tenemos que obtener el área de uno de los rectángulos y multiplicarlo por tres. 3lw.
Por último tenemos que restar el área que representa la puerta y para obtenerla se aplica la fórmula del área del rectángulo a = lw
Juntando toda la información:
SA = 3lw + 2B – lw
PASO II
Obtener el valor de B que está representado por la parte naranja.
A = 62
A = 36 cm2
PASO III
Sustituir los valores de la fórmula.
SA = (3x8x6) + (2×36) – (5×2)
PASO IV
Multiplicar los valores dentro de los paréntesis.
SA = 144 + 72 – 10
PASO V
Sumar y restar los valores correspondientes.
SA = 206 cm2
PASO VI
Practica el uso de la calculadora introduciendo los valores como se presentan para obtener la repuesta en un solo paso
(3x8x6) + (2×36) – (5×2)
Por último, hay que tener presente que la fórmula es de las más sencillas para el área de superficies. Sin embargo, la forma en que se plantean los problemas requieren un análisis extra y determinar si se tiene que usar toda la fórmula, una parte o modificarla como fue el casa del ejemplo II.
Obtener el área o perímetro es de las habilidades más fáciles y básicas en geometría. Sin embargo, al momento de combinar varias figuras planas se forma figuras compuestas, que pueden incluir: cuadrados, círculos, triángulos, rectángulos, trapecio, etc.
Para obtener el área o perímetro de ese tipo de figuras se debe analizar la figura y seguir estos pasos:
PASO I
Hay que identificar que figuras forman el total.
PASO II
Analizar si hay partes de las figuras que no vas a necesitar, por ejemplo los lados que unen dos o más figuras.
PASO III
Obtener por separado las áreas y perímetros de cada figura
PASO IV
Sumar lo obtenido en cada figura.
De todo esto la parte más difícil es identificar que partes de la figura no se deben incluir, analizamos el siguiente caso:
EJEMPLO I
Obtener el área y perímetro de la siguiente figura
PERíMETRO
PASO I
La imagen está compuesta por un cuadrado y un trapecio.
PASO II
Para obtener el perímetro de esa figura no necesitamos la parte que une ambas figuras (indicada con la línea roja)
PASO III
Hay que sumar todos los lados que rodean la figura y tenemos
P = 10 + 2 + 6 + 6 + 6 + 2
P = 32in
También la puedes representar así:
P = 10 + 2(2) + 3 (6)
P = 32in
(El 10 es la parte superior, el 2 indica los lados del trapecio y el 6, los lados del cuadrado y como solo se necesitan tres lados se multiplica por ese número)
ÁREA
PASO I
Tenemos un cuadrado y un trapecio
PASO II
Para obtener el área del cuadrado solo necesitamos el valor de uno de sus lados. Para el trapecio es necesaria la altura (3in), la base1 (10in), la base2 (6 in) porque mide lo mismo que los lados de un cuadrado. Por último, el valor que no necesitamos es el 2in ya que la fórmula no lo indica.
PASO III
Las fórmulas son:
Sustituyendo valores se tiene:
CUADRADO
TRAPECIO
PASO IV
Sumando ambas áreas
A = 36 + 24
A = 60in2
EJEMPLO II
PERíMETRO
PASO I
La figura está compuesta por un círculo y dos cuadrados
PASO II
Para el perímetro solo necesitamos medir toda la orilla que cubre la figura, (no consideramos las líneas rojas). Hay dos esquinas de los cuadrados y del circulo. Dos partes circulares representan una cuarta parte del circulo cada una, por tanto, al juntar ambas tenemos la mitad de un circulo.
PASO III
Cuadrado: en total son cuatro lados, dos por cada cuadrado, para obtenerlo multiplicamos 4 por 3
Circulo: aquí aplicamos la fórmula de la circunferencia y la dividimos entre dos o también podemos multiplicar el valor de pi por el radio y nos da el mismo resultado.
PASO IV
Se suman ambos perímetros
ÁREA
PASO I
Hay que obtener el área de dos cuadrados y de la mitad del círculo.
PASO II
Solo se obtiene el área de la mitad del círculo porque al juntar las dos partes del círculo nos representa la mitad de un círculo.
PASO III
Aplicar las fórmulas del área para esas figuras. En el cuadrado se obtiene el área de uno y se multiplica por dos ya que hay dos cuadrados. En el circulo hay que dividir entre dos el área total.
Cuadrados
Circulo
PASO IV
Se suman ambas áreas
EJERCICIOS DE PRACTICA
Obten el área y perímetro de las siguientes figuras
1.
2. El largo del rectángulo es 2 ¾ veces más largo que el ancho y el radio del circulo es 8 in
Para obtener el área de la superficie (SA) de un cilindro, imagina un barquillo para helado (o nieve). La altura de inclinación es la distancia que hay de la punta del cono a cualquier extremo del circulo.
La fórmula es SA = πrs + πr2 de esa fórmula ya debes estar familiarizado con, πr2, con la que obtenemos el área de un circulo. La segunda parte de la fórmula, πrs, nos da el área de la superficie del resto de la formula. Como puedes ver para esta fórmula no necesitas la “altura” que nos sirve para obtener el volumen, solo necesitas la “altura de inclinación indicada por la “s”, el pi y el radio.
r = radio
π = pi (3.14)
s = altura de inclinación
Una vez que has identificado los datos que necesitas hay que seguir la formula sustituyendo los valores que te den.
EJEMPLO I
SA = πrs + πr2
SA = (3.14) (2) (8) + (3.14) (22)
SA = 50.24 + 12.56
SA = 62.8 in2
La respuesta se expresa en área cuadrada por eso va el dos después de la sigla de pulgadas, para familiarizarte con eso, estas son las más comunes: in = pulgadas, ft = pies yd = yarda, cm = centímetros, m = metros.
Una variación puede ser obtener solo la superficie de lo que abarca el cono sin la parte que cubre el circulo. Por ejemplo si se quiere cubrir un barquillos, sin que se incluya la parte superior donde va la nieve, solo hay que aplicar la primera parte de la fórmula es SA = πrs
EJEMPLO II
Obtener el área de superficie de la siguiente figura sin que se incluya la parte naranja.
SA = πrs
SA = (3.14) (3) (12.5)
SA = 117.75 cm2
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
1. Obtén el SA de un cono con una altura de inclinación de 15 ¼ ft y un radio de 5 ft.
2. Obtén el SA de un cono con un diámetro de 5ft y una s de 8ft, sin que se incluya la parte circular.
3. ¿Cuál es el área de la superficie cuadrada de un cono con un radio de 4 m y una altura de inclinación de 12 ¾ m?
4. Una bodega circular tiene el techo en forma de cono, si quieren cambiar el techo, ¿qué superficie va a cubrir el nuevo techo si la bodega circular tiene un diámetro de 120 yd y la altura de inclinación del techo es de 50yd? Si tienes dificultad revisa las partes del círculo.
5. Obtén el área de superficie de un cono con un diámetro de 12 in y una altura de inclinación de 18 ¾.
El área en figuras planas como un terreno, una alfombra son fórmulas más sencillas y con los que la mayoría puede estar más familiarizado. Por su parte, el área de superficie se obtiene de figuras tridimensionales, por ejemplo un cilindro, un cubo, prisma, cono o esfera.
Para obtener el área de la superficie (SA) de un cilindro, imagina un tambo. Si quisieras forrarlo todo alrededor, tendrías que obtener el área de la superficie, que incluye el área de dos círculos y la parte circular (alrededor). Para obtener ese tipo de áreas se usa la siguiente fórmula:
SA = 2πrh + 2πr2
Ejemplo I
SA = 2πrh + 2πr2
SA = área de superficie
π = pi
r = radio
h = altura
Si observas la fórmula y sabes cómo obtener el área de un circulo, podrás notar que la parte final de la fórmula, 2πr2, representa el área de los dos círculos, por lo tanto 2πrh nos da la parte de alrededor (verde).
Ejemplo II
Siguiendo la fórmula, hay que sustituir valores
SA = 2πrh + 2πr2
SA = 2(3.14) (4) (7) + 2(3.14) (42)
SA = 175.84 + 100.48
SA = 276.32 in2
Puede haber preguntas en las que se pida solo el área circular (sin considerar los círculos inferior y superior). De ser ese caso, solo hay que aplicar la primera parte de la fórmula SA = 2πrh, también se puede obtener multiplicando la circunferencia por la altura. Veamos un ejemplo:
SA = 2πrh
SA = 2 (3.14) (4) (h)
SA = 175.84
Aplicando el otro método, SA = Ch
C = circunferencia
h = altura
SA = 25.12 (7)
SA = 175.84
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
1. Obtén el SA de un cilindro con 2 ½ cm de radio y 14 ¼ cm de altura
2. Un cilindro con un diámetro de 6 in y una altura de 8 in
3. Obtén la parte circular de un cilindro con 6 ft de radio y 18 de altura
4. Un cilindro con un radio de ½ in y 5 in de altura
5. Obtén la parte circular de un cilindro con 6 ¼ cm de radio y 22 de altura
Al momento de contestar el examen de matemáticas se hace uso de diferentes símbolos que no se encuentran en el teclado. Para poder representarlos al momento del examen se va a tener acceso a un un botón para insertarlos en las posibles respuestas escritas.
La siguiente lista muestra cada símbolo y lo que representan.
Entre los mas comunes se encuentras los de las operaciones básicas (suma +, resta -, multiplicación x y división ÷).
El nuevo examen del GED va a incluir algunas formulas diferentes a las que la mayoría estaba acostumbrado con la versión anterior. Algunas novedades incluyen formulas para obtener el área de superficies tridimensionales, ecuaciones cuadráticas, entre otras que se muestran a continuación.
Para imprimir la hoja de formulas como se las presentan en el examen del GED denle click al siguiente enlance.Para el examen del HiSET y TASC les van a dar un formulario diferente, formulario HiSET,formulario TASC tengan presente que no se incluyen las formulas del área y perimetro de figuras planas. También se puede imprimir la versión en inglés. La nomeclatura o abreviaciones que se usan en estas formulas estan en ingles que no hace ningúna diferencia solo el hecho de tener una letra diferente.
Los triángulos semejantes tienen la misma forma, diferente tamaño y medidas proporcionales. Un tipo de triángulos semejantes es el triángulo rectángulo y se forma cuando tenemos presente un ángulo de 90 grados (ángulo recto).
Estos triángulos los podemos encontrar en diversas circunstancias de la vida cotidiana como en la sombra de un poste, un edificio, una barda, etc. En este caso tenemos la sombra de un árbol y una persona.
Los ángulos “a” y “s” formarían el ángulo recto y mide 90°. También tenemos los lados correspondientes y son los que se encuentran en la misma posición. Por ejemplo, la altura del árbol y de la persona son lados correspondientes; al igual que las líneas rojas ab y sk. Por último, los lados “cb” y “ek” también son correspondientes.
Asignando valores tendríamos
Para obtener la altura del árbol son necesarios las tres medidas restantes (altura de la persona y su sombra y la sombra de del árbol).
Primer método:
Identificar los lados correspondientes, “ab” y “sk” después dividir la medida del lado más largo (sombra del árbol) con la del lado más chico (sombra de la persona) y multiplicarlo por la altura de la persona.
Ahí tendríamos (32 ÷ 4) x 6 = 48.
Segundo método:
Puede ser un poco más compleja para algunos y consiste en ordenar los datos por regla de tres identificando los lados correspondientes y quedaría de la siguiente manera:
Tercer método:
Aplicando una proporción, es el más sencillo pero no siempre se puede aplicar. Simplemente buscar un número que se múltiplo o divisor. Por ejemplo el 4 por 8 = 32 por tanto 6 x 8 = 48.
Encontrar medidas en triángulos semejantes no solo se aplica a los triángulos rectángulos, veamos otro ejemplo:
Acomodando la información en forma de proporción tenemos:
