Perímetro de polígonos irregulares

Perímetro de polígonos irregulares

Obtener el perímetro es uno de los temas mas sencillos en geometría ya que solo consiste en sumar los lados externos de la figura. El cuadrado, rectángulo y triángulo son las figuras geométricas mas sencillas. Los polígonos se clasifican según la posición de sus ángulos y la cantidad de lados en una figura plana. Entre los mas sencillos se encuentran los regulares e irregulares; en los primeros, todos sus lados tienen la misma longitud al igual que sus ángulos internos. Por su parte los polígonos irregulares nos indica simplemente que nos son regulares, ósea que no tienen lados y ángulos iguales.

Para obtener el perímetro de los polígonos irregulares simplemente hay que sumar todos sus lados. El grado de dificultad se incrementa cuando no nos presentan todas las medidas y hay que obtenerlas con los datos que se nos presentan.

Para obtener el perímetro de las siguiente figuras, hay que buscar el valor de los lados que no están escritos (lineas azules) y al final sumar todos los valores.

1. 

2. 

3. 

 

4. 

PARA OBTENER LA LONGITUD DEL LADO INCLINAD DE LAS SIGUIENTES FIGURAS, USA EL TEOREMA DE PITAGORAS.

5. 

 

6. 

7. 

RESPUESTAS:

1. 38in

2. 44in

3. 38in

4. 42in

5. 40.6in

6. 48.6in

7. 40.6in

Factor de escala

Factor de escala

Una “escala” aplicada a geometría o cualquier representación que incluya distancias y dimensiones nos permite presentar proporciones aplicables a un mapa, plano o incluso cantidades.

Los sistemas de medidas que se empleen casí siempre van a pertenecer a la misma familia, quiere decir  que si en el dibujo de un mapa se usan centímetros, en la distancia real van a equivaler a metros o kilómetros. Por el contrario, si se usa el sistema ingles se pueden usar pulgadas, pies, yardas o millas. 

A continuación tenemos dos ejemplos de esos sistemas de medida. Pensemos que las figuras representan dos mapas, en el chico el largo mide 1 cm; en el grande es de 2 kilómetros. Quiere decir que por cada centímetro que haya en la figura chica, van a recorrer dos kilómetros en la figura grande. 

Una escala siempre puede variar, dependiendo que “factor de escala” se use, no es otra cosa que la equivalencia que se esta usando. Para obtenerlo es muy sencillo, simplemente se identifican los valores o medidas que están en la misma posición de ambas figuras (pueden ser mapas, planos, figuras geométricas, etc.).

Una vez identificadas dichas medidas, se divide el valor de la mas grande entre la mas chica. Usando el ejemplo anterior dividiríamos 2 entre 1 y la tendríamos que el factor de escala que se uso es 2. 

No necesariamente va a ser así de sencillo. Veamos otro ejemplo:

En este ejemplo el ancho de la figura pequeña es 3 pies y el ancho de la figura grande es 8 millas. Esto nos indica que por cada 3 pies que se recorren en la figura chica, va equivaler a 8 millas en la figura grande. Para obtener el factor de escala hay que dividir 8 entre 3 y la respuesta es 2 enteros con 1/4 o en decimales 2.25.

Encontrar  el factor de escala es de mucha utilidad ya que una vez que se tiene, se pueden encontrar otras medidas que quizás se desconocen solo hay que seguir las siguientes reglas. (Recuerda, los valores deben estar en la misma posición en ambas figuras).

  • Para obtener una medida de la figura grande y se tiene el valor de la figura chica se multiplica dicho valor por el factor de escala.
  • Para obtener una medida de la figura chica y se tiene el valor de la figura grande se divide dicho valor entre el factor de escala.

Por tanto para encontrar la equivalencia en millas de la figura grande solo multiplicamos 4 pies por el factor de escala y la respuesta debe ser 9 millas.

 

Preguntas de practica:

Responde la pregunta 1, 2 y 3 con la información presentada en la imagen.

1. Identifica el factor de escala de la siguiente figura.

2. ¿Cuál es el valor de m?

3. ¿Cuál es el valor de n?

4. La distancia real entre dos ciudades es de  45 kilometros, si un estudiante quiere dibujar el mapa a escala, ¿qué factor de escala estaría usando si la distancia en el mapa del dibujo es de 5cm?

Respuestas:

1. 3

2. m = 4.5 yardas

3. n = 3 pulgadas

4. 9

Área de superficie – ESFERA

Área de superficie – ESFERA

La esfera no es otra cosa que una figura en forma de pelota, y en esta el único valor que necesitamos es el radio y el valor de pi, el resto de los valores están dados en la fórmula.

Siguiendo la fórmula tenemos que:

SA  = área de superficie

π = pi (3.1416)

r = radio 

SA = 4πr2

Ejemplo I

La siguiente esfera tiene un radio de 3.

PASO I  

Sustituir los valores de la fórmula.

SA = 4πr2

SA = 4 x 3.14.16 x 32

PASO II

Elevar al cuadrado y multiplicar.

SA = 4 x 3.1416 x 9

SA = 113.09cm2

PASO III

También se recomienda practicar usando la calculadora solo se introducen todos los valores usando los signos correspondientes.

4 x 3.14.16 x 32  

Ejemplo II

Obtén el área de la superficie de una esfera con un diámetro de 5cm.

PASO I  

Determinar el valor del radio, recuerda que el diámetro es lo que la esfera de un extremo al otro. Por lo tanto, el radio es la mitad del diámetro.

r = 2.5

PASO II

Sustituir los valores de la fórmula

SA = 4π r2

SA = 4 x 3.1416 x 2.52

PASO III

Elevar al cuadrado y multiplicar

SA = 4 x 3.14.16 x 6.25

SA = 78.54cm2

PASO IV

También se puede usar la calculadora, solo introduce todos los valores usando los signos correspondientes

4 x 3.1416 x 2.52  

Como puedes ver el área de superficie de la esfera es fácil de obtener ya que se usa una fórmula sencilla, pero también  hay que considerar que se pueden plantear diferentes preguntas como el siguiente caso.

Ejemplo III

Para esta figura analiza: ¿cuántas figuras se encuentran en la imagen?,  si quieres obtener el área de superficie de toda la figura, ¿qué partes incluirías?, ¿cuáles excluirías?, ¿qué parte de las formulas usarías? Revisemos la siguiente información.

PASO I  

Escribir las fórmulas de cada figura y analiza que parte no vas a usar.

SA = 4πr2             SA = 2πrh +2πr2

La fórmula verde indica el área de la esfera; la morada, del cilindro. Si se quiere obtener solo el área de superficie se debe omitir la parte interna (circulo crema) que representa un circulo de la base de la esfera y el de la parte superior del cilindro

En la primera fórmula solo se necesita la mitad de la esfera (color azul) por tanto solo hay que dividir todo entre dos o quitar el 4 y poner un dos, nos quedaría así: SA = 2πr2    

En la segunda  fórmula  no necesitamos el circulo de la parte superior y como la primera parte representa toda la parte gris, el circulo que queda en la parte inferior de cilindro sería el único que necesitamos. Por tanto solo  se necesita el área de un circulo la fórmula nos quedaría así:

SA = 2πrh +πr2

(ojo, quitamos el número dos de la segunda parte porque ese indica dos círculos y como solo queremos uno solo lo quitamos)

PASO II

Escribe la expresión completa una vez que ya las modificaste

SA = 2πr2 + 2πrh +πr2 

La parte roja indica la fórmula de la esfera; la parte verde, el cilindro.

PASO III

Sustituye los valores

SA =  (2 x 3.14 x 42) + (2 x 3.14 x 4 x 12) + (3.14 x 42)

PASO IV 

Resuelve, multiplica los números dentro de los paréntesis

SA = 150.72 + 301.44 + 50.24

Suma todas las cantidades

SA = 502.4in2

PASO V

Resuelve esa expresión usando la calculadora, solo introduce los datos como se presentan y debes obtener la misma respuesta. 

(2 x 3.14 x 42) + (2 x 3.14 x 4 x 12) + (3.14 x 42)

EJERCICIOS DE PRACTICA

1. Obtén el área de superficie de un círculo con un diámetro de 18 cm.

2. Obtén el área de superficie de un círculo con un radio de 4 ¼ cm.

3. Cuál es el área de superficie de una bodega circular en forma de esfera que tiene un diámetro de 25 metros.

4. Una esfera tiene un volumen de  3052.08 cm cúbicos, ¿cuál es el área de superficie? Pista: hay que despejar el radio con la fórmula del volumen y después obtener el área de superficie.

5. Marta decora esferas navideñas con tela, si quiere hacer una de dos colores, ¿cuánta  tela ocupa para cada color si el radio de la esfera es de 2.5 cm?   

6. Una peletería necesita cubrir un helado en forma de cono y media esfera para su distribución en tiendas locales, cual es el área de la superficie superior del helado si la circunferencia del helado es de 9.42 pulgadas. PISTA: hay que despejar el valor del radio usando la fórmula de la circunferencia, con el radio obtener el área de superficie de la media esfera.

RESPUESTAS

1. 1017.36 cm²

2. 226.865 cm²

3. 981.25 m²

4. 1017.36 cm²

5. 39.25 cm²

6.  14.13 in²

Área de superficie – PRISMA RECTÁNGULAR

Área de superficie – PRISMA RECTÁNGULAR

El prisma rectángular, a diferencia del prisma recto, tiene como bases dos rectángulos, por tanto se debe multiplicar lo largo “l” por lo ancho “w” para obtener el área de la parte superior e inferior. 

En las partes laterales también se forman cuatro rectángulos y dos de esos son más largos que los otros dos.  Veamos eso en la formula 

SA = 2lw + 2lh + 2wh

La primera parte 2lw es para obtener el área de las bases (en color naranja incluida en el recuadro amarillo) multiplicando largo por ancho; esto se multiplica por dos ya que son dos bases, la de arriba y la de abajo.

La segunda parte de la formula 2lh es para obtener el área de los rectángulos más grandes (parte morada)  y representa lo largo por la altura.

Por último, la tercera parte de la fórmula 2wh  es para obtener los rectángulos de las partes laterales (representadas en verde) y consiste en multiplicar el ancho por la altura. 

 

 

Siguiendo la formula tenemos que la:

SA  = área de superficie

l = largo

w = ancho

h = altura

Ejemplo I

PASO I  

Sustituir los valores en la fórmula.

SA = 2lw + 2lh + 2wh 

SA = (2 x 8 x 5) + (2 x 8 x 11) + (2 x 5 x 11)

PASO II

Multiplicar los paréntesis.

SA = 80 + 176 + 110

PASO III

Sumar los tres valores

SA = 366 cm2

PASO IV 

También se recomienda practicar usando la calculadora. Solo hay que introducir todos los valores usando los paréntesis y los signos correspondientes (2 x 8 x 5) + (2 x 8 x 11) + (2 x 5 x 11) y te va a dar automáticamente la respuesta.

Ejemplo II

Usemos el mismo ejemplo del prisma recto pero con diferente medida. Pensemos que la siguiente figura es una jaula de un hamster y la parte gris es la puerta de la jaula, si esta sobre el suelo, solo se te pide taparla por encima. Como le harías para obtener el área de are de la superficie?, que parte es la que no vas a obtener? Y si quieres dejar sin forrar la puerta (parte gris) que paso extra tendrías que hacer? ¿Cómo expensarías la fórmula para representar toda la operación? 

PASOS I   

Determinar que parte de la fórmula se va a usar y cuál  se tiene que modificar.

Como no se va a forrar la parte inferior, solo se debe obtener el área del rectángulo superior, los dos laterales y los dos restante (enfrente y trasero). Por último, se tiene que restar el área de la puerta (parte gris)

SA = 2lw + 2lh + 2wh (ORIGINAL)

SA = lw + 2lh + 2wh – wl  (MODIFICADA)

PASO II 

Analizar ¿cómo se modificó la fórmula, qué se quitó y qué se agregó de la fórmula original?

PASO III  

Sustituir valores siguiendo la fórmula modificada.

SA = lw+2lh+2wh – wl

SA = (12×7)+(2x12x8) + (2x7x8) – (6×5)

PASO IV  

Multiplicar los valores dentro de los paréntesis.

SA = 84 + 192 + 112 – 30

PASO V 

Sumar los valores y resta el último valor.

SA = 358 cm2

PASO VI

Practicar el uso de la calculadora introduciendo todos los valores en un paso. Solo incluye los paréntesis y signos de multiplicación, suma y resta para obtener la respuesta.

Por último, hay que tener presente que la forma en que se plantean los problemas requieren un análisis extra y determinar si tienes que usar toda la fórmula, una parte o modificarla como fue el casa del ejemplo II.

Área de superficie – PRISMA RECTO

Área de superficie – PRISMA RECTO

De las figuras geométricas esta es una de las más sencillas para obtener el área de superficie ya que cuatro de sus lados son iguales y las dos restantes son cuadrados perfectos. Si observas la figura, la parte naranja (rodeada de amarillo) es un cuadrado y en la parte inferior hay uno similar. Los lados restantes, que se encuentran a los costados están en forma de rectángulo y en total son cuatro.

Siguiendo la fórmula:

SA  = área de superficie

p = perímetro

h = altura

B = área de la base

En la figura, el perímetro  del cuadrado está indicado por la parte amarilla y para obtenerlo solo multiplicamos 4 por la medida de uno de sus lados. 

La B indica el área del cuadrado y para obtenerla solo elevas la medida de uno de los lados amarillos al cuadrado. 

EJEMPLO I

PASO I

Identificar  y obtener el perímetro del cuadrado (naranja) y el área.

La línea azul indica el perímetro y la formula es p = 4s donde la “s” indica el lado. Aplicando la fórmula tenemos  p = 4(3) y la respuesta es 12.

El color naranja “B” indica el área del cuadrado, (A= s2) resolviendo A = 32 y la respuesta es 9.

PASO II

Sustituir los valores usando la fórmula y los valores que de perímetro = 12 y área de la base = 9.

SA = ph + 2B

SA = (12×6)+(2×9)

PASO III Multiplicar los valores dentro del paréntesis

SA = 72 + 18

PASO IV Sumar ambos valores

SA = 90 cm2

Ejemplo II

Pensemos que la siguiente figura. Es una jaula de un hamster y la parte gris es la puerta de la jaula, si esta sobre el suelo, solo se pide taparla por encima.

¿Cómo harías para obtener el área de la superficie?, ¿qué parte es la que no vas a obtener?, y si quieres dejar sin forrar la puerta (parte gris) ¿qué paso extra tendrías que hacer? y  ¿Cómo expensarías la fórmula para representar toda la operación? 

PASOS I  

Determinar qué parte de la fórmula se va a usar y cuál tendrías hay modificar. La parte naranja representa dos cuadrados,  se usa el 2B de la fórmula. 

No podemos usar la primera parte de la fórmula porque no se quiere a obtener la parte inferior de la jaula. Pero si se necesita incluir el área de las tres caras restantes; una de ellas tiene la puerta para eso tenemos que obtener el área de uno de los rectángulos y multiplicarlo por tres.  3lw.

Por último tenemos que restar el área que representa la puerta y para obtenerla se aplica la fórmula del área del rectángulo a  = lw

Juntando toda la información:

SA =  3lw + 2B – lw

PASO II

Obtener el valor de B que está representado por la parte naranja.

A = 62

A = 36 cm2

PASO III

Sustituir los valores de la fórmula.

SA = (3x8x6) + (2×36) – (5×2)

PASO IV

Multiplicar los valores dentro de los paréntesis.

SA = 144 + 72 – 10

PASO V

Sumar y restar los valores correspondientes.

SA =  206 cm2

PASO VI

Practica el uso de la calculadora introduciendo los valores como se presentan para obtener la repuesta en un solo paso

(3x8x6) + (2×36) – (5×2)

Por último, hay que tener presente que la fórmula es de las más sencillas para el área de superficies. Sin embargo, la forma en que se plantean los problemas requieren un análisis extra y determinar si se tiene que usar toda la fórmula, una parte o modificarla como fue el casa del ejemplo II.

Área y perímetro de figuras compuestas

Área y perímetro de figuras compuestas

Obtener el área o perímetro es de las habilidades más fáciles y básicas en geometría. Sin embargo, al momento de combinar varias figuras planas se forma figuras compuestas, que pueden incluir: cuadrados, círculos, triángulos, rectángulos, trapecio, etc.

Para obtener el área o perímetro de ese tipo de figuras se debe analizar la figura y seguir estos pasos:

PASO I 

Hay que identificar que figuras forman el total.

PASO II

Analizar si hay partes de las figuras que no vas a necesitar, por ejemplo los lados que unen dos o más figuras.

PASO III

Obtener por separado las áreas y perímetros de cada figura

PASO IV

Sumar lo obtenido en cada figura.

De todo esto la parte más difícil es identificar que partes de la figura no se deben incluir, analizamos el siguiente caso:

EJEMPLO I

Obtener el área y perímetro de la siguiente figura

                                 

PERíMETRO

PASO I

La imagen está compuesta por un cuadrado y un trapecio.

PASO II 

Para obtener el perímetro de esa figura no necesitamos la parte que une ambas figuras (indicada con la línea roja)

PASO III

Hay que sumar todos los lados que rodean la figura y tenemos

P = 10 + 2 + 6 + 6 + 6 + 2

P = 32in

También la puedes representar así:

P = 10 + 2(2) + 3 (6)  

P = 32in

(El 10 es la parte superior, el 2 indica los lados del trapecio y el 6, los lados del cuadrado y como solo se necesitan tres lados se multiplica por ese número)

ÁREA

PASO I

Tenemos un cuadrado y un trapecio

PASO II

Para obtener el área del cuadrado solo necesitamos el valor de uno de sus lados. Para el trapecio es necesaria la altura (3in), la base1 (10in), la base2 (6 in) porque mide lo mismo que los lados de un cuadrado. Por último, el valor que no necesitamos es  el 2in ya que la fórmula no lo indica.

PASO III

Las fórmulas son:

Sustituyendo valores se tiene:

CUADRADO

TRAPECIO

PASO IV 

Sumando ambas áreas

A = 36 + 24

A = 60in2

EJEMPLO II

PERíMETRO

PASO I 

La figura está compuesta por un círculo y dos cuadrados

PASO II

Para el perímetro solo necesitamos medir toda la orilla que cubre la figura, (no consideramos las líneas rojas). Hay dos esquinas de los cuadrados y del circulo. Dos partes circulares representan una cuarta parte del circulo cada una, por tanto, al juntar ambas tenemos la mitad de un circulo.

PASO III

Cuadrado: en total son cuatro lados, dos por cada cuadrado, para obtenerlo multiplicamos 4 por 3 

Circulo: aquí aplicamos la fórmula de la circunferencia y la dividimos entre dos o también podemos multiplicar el valor de pi por el radio y nos da el mismo resultado.

PASO IV

Se suman ambos perímetros

ÁREA

PASO I 

Hay que obtener el área de dos cuadrados y de la mitad del círculo.

PASO II

Solo se obtiene el área de la mitad del círculo porque al juntar las dos partes del círculo nos representa la mitad de un círculo.

PASO III

Aplicar las fórmulas del área para esas figuras. En el cuadrado se obtiene el área de uno y se multiplica por dos ya que hay dos cuadrados.  En el circulo hay que dividir entre dos el área total.

Cuadrados

Circulo

PASO IV

Se suman ambas áreas

EJERCICIOS DE PRACTICA

Obten el área y perímetro de las siguientes figuras

1. 

 

2.  El largo del rectángulo es 2 ¾ veces más largo que el ancho y el radio del circulo es 8 in

3. 

4. 

5.  

RESPUESTAS:

1. P = 26.84 in   A = 53.68 in2

2. P = 129.12 in A = 804.48 in2

3. P = 47 in        A = 72 in2

4. P = 52.28 in   A = 133.12 in2

5. P = 42.28 in   A = 70.28 in2

Área de superficies – cono

Área de superficies – cono

Para obtener el área de la superficie (SA) de un cilindro, imagina  un barquillo para helado (o nieve). La altura de inclinación es la distancia que hay de la punta del cono a cualquier extremo del circulo. 

La fórmula es SA = πrs + πr2 de esa fórmula ya debes estar familiarizado con, πr2,  con la que obtenemos el área de un circulo. La segunda parte de la fórmula, πrs,  nos da el área de la superficie del resto de la formula. Como puedes ver para esta fórmula no necesitas la “altura” que nos sirve para obtener el volumen, solo necesitas la “altura de inclinación indicada por la “s”, el pi y el radio. 

r = radio

π = pi (3.14)

s = altura de inclinación 

Una vez que has identificado los datos que necesitas hay que seguir la formula sustituyendo los valores que te den. 

EJEMPLO I

SA = πrs + πr2

SA = (3.14) (2) (8) + (3.14) (22)

SA = 50.24 + 12.56

SA = 62.8 in2

La respuesta se expresa en área cuadrada por eso va el dos después de la sigla de pulgadas, para familiarizarte con eso, estas son las más comunes: in = pulgadas, ft = pies yd = yarda, cm = centímetros, m = metros.

Una variación puede ser obtener solo la superficie de lo que abarca el cono sin la parte que cubre el circulo.  Por ejemplo si se quiere cubrir un barquillos,  sin que se incluya la parte superior donde va la nieve, solo hay que aplicar la primera parte de la fórmula es  SA = πrs 

EJEMPLO II

Obtener el área de superficie de la siguiente figura sin que se incluya la parte naranja.

SA = πrs

SA = (3.14) (3) (12.5)

SA = 117.75 cm2

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

1. Obtén el SA de un cono con una altura de inclinación de  15 ¼ ft y un radio de 5 ft. 

2. Obtén el SA de un cono con un diámetro de 5ft  y una s de 8ft, sin que se incluya la parte circular.   

3. ¿Cuál es el área de la superficie cuadrada de un cono con un radio de 4 m y una altura de inclinación de 12 ¾ m?  

4. Una bodega circular tiene el techo en forma de cono, si quieren  cambiar el techo, ¿qué superficie va a cubrir el nuevo techo si la bodega circular tiene un diámetro de 120 yd y la altura de inclinación del techo es de 50yd? Si tienes dificultad revisa las partes del círculo.  

5. Obtén el área de superficie de un cono con un diámetro de 12 in y una altura de inclinación de 18 ¾.   

Respuestas

1. 317.9

2. 62.8

3. 210.3

4. 9,420

5. 466.29

Área de superficie – Cilindro

Área de superficie – Cilindro

El área en figuras  planas como un terreno, una alfombra son fórmulas más sencillas y con los que la mayoría puede estar más familiarizado. Por su parte, el área de superficie se obtiene de figuras tridimensionales, por ejemplo un cilindro, un cubo, prisma, cono o esfera. 

Para obtener el área de la superficie (SA) de un cilindro, imagina  un tambo. Si quisieras forrarlo todo alrededor, tendrías que obtener el área de la superficie, que incluye el área de dos círculos y la parte circular (alrededor). Para obtener ese tipo de áreas se usa la siguiente fórmula: 

SA = 2πrh + 2πr2  

Ejemplo I

                                               

SA = 2πrh + 2πr2

SA = área de superficie

π = pi

r = radio

h = altura

Si observas la fórmula y sabes cómo obtener el área de un circulo, podrás notar que la parte final de la fórmula,  2πr2, representa el área de los dos círculos, por lo tanto   2πrh nos da la parte de alrededor (verde).

Ejemplo II

                                                            

Siguiendo la fórmula, hay que sustituir valores

SA = 2πrh + 2πr2

SA = 2(3.14) (4) (7) + 2(3.14) (42)

SA = 175.84 + 100.48

SA = 276.32 in2

Puede haber preguntas en las que se pida solo el área circular (sin considerar los círculos inferior y superior). De ser ese caso, solo hay que aplicar la primera parte de la fórmula SA = 2πrh, también se puede obtener multiplicando la circunferencia por la altura. Veamos un ejemplo:

                                                      

SA = 2πrh 

SA = 2 (3.14) (4) (h)

SA = 175.84

Aplicando el otro método, SA = Ch

C = circunferencia

h = altura

SA = 25.12 (7)

SA = 175.84

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

1. Obtén el SA de un cilindro con 2 ½ cm de radio y 14 ¼ cm de altura

2. Un cilindro con un diámetro de 6 in y una altura de 8 in

3. Obtén la parte circular de un cilindro con 6 ft de radio y 18 de altura

4. Un cilindro con un radio de ½ in y 5 in de altura

5. Obtén la parte circular de un cilindro con 6 ¼ cm de radio y 22 de altura

Respuestas   

1. 223.725 + 39.25 = 263 cm2

2. 150.72 + 56.52 = 207 in2

3. 678 ft2

4. 17 in2

5. 864 cm2

Símbolos – examen de matemáticas

Símbolos – examen de matemáticas

Al momento de contestar el examen de matemáticas se hace uso de diferentes símbolos que no se encuentran en el teclado. Para poder representarlos al momento del examen se va a tener acceso a un un botón para insertarlos en las posibles respuestas escritas. 

La siguiente lista muestra cada símbolo y lo que representan. 

Entre los mas comunes se encuentras los de las operaciones básicas (suma +, resta -, multiplicación x y división ÷). 

 

Formulas del nuevo examen

Formulas del nuevo examen

El nuevo examen del GED va a incluir algunas formulas diferentes a las que la mayoría estaba acostumbrado con la versión anterior. Algunas novedades incluyen formulas para obtener el área de superficies tridimensionales, ecuaciones cuadráticas, entre otras que se muestran a continuación. 

Para imprimir la hoja de formulas como se las presentan en el examen del GED denle click al siguiente enlance. Para el examen del HiSET y TASC les van a dar un formulario diferente, formulario HiSET, formulario TASC tengan presente que no se incluyen las formulas del área y perimetro de figuras planas. También se puede imprimir la versión en inglés.  La nomeclatura o abreviaciones que se usan en estas formulas estan en ingles que no hace ningúna diferencia solo el hecho de tener una letra diferente.

 ÁREA (A) y PERÍMETRO (p)

   CUADRADO

  

      RECTÁNGULO

     PARALELOGRAMO

      TRIÁNGULO

         TRAPEZOIDE

      CIRCULO

ÁREA DE SUPERFICIE (SA) y VOLUMEN (V)

 PRISMA RECTO

PRISMA RECTÁNGULAR

   CILINDRO

    PIRÁMIDE

      CONO

      ESFERA  

ÁLGEBRA

Pendiente de una recta

Forma de intersección pendiente de la ecuación de la recta

Forma de punto-pendiente de la ecuación de la recta

Forma estándar de una ecucación cuadrática 

Formula cuadrática

Teorema de Pitágoras

Interés simple

Costo total 

Fórmula de la distancia

Otros temas a estudiar relacionados con las formulas:

Triángulos semejantes

Triángulos semejantes

Los triángulos semejantes tienen la misma forma, diferente tamaño y medidas proporcionales. Un tipo de triángulos semejantes  es el triángulo rectángulo y se forma cuando tenemos presente un ángulo de 90 grados (ángulo recto).

Estos triángulos los podemos encontrar en diversas circunstancias de la vida cotidiana como en la sombra de un poste, un edificio, una barda, etc. En este caso tenemos la sombra de un árbol y una persona.

Los ángulos “a” y “s” formarían el ángulo recto y  mide 90°. También tenemos los lados correspondientes y son los que se encuentran en la misma posición. Por ejemplo, la altura del árbol y de la persona son lados correspondientes; al igual que las líneas rojas ab y sk. Por último, los lados “cb” y “ek” también son correspondientes. 

Asignando valores tendríamos

Para obtener la altura del árbol son necesarios las tres medidas restantes (altura de la persona y su sombra y la sombra de del árbol).

Primer método: 

Identificar los lados correspondientes, “ab” y “sk” después dividir la medida del lado más largo (sombra del árbol) con la del lado más chico (sombra de la persona) y multiplicarlo por la altura de la persona. 

Ahí tendríamos (32 ÷ 4) x 6 = 48.

Segundo método:

Puede ser un poco más compleja para algunos y consiste en ordenar los datos por regla de tres identificando los lados correspondientes y quedaría de la siguiente manera:

Tercer método:
Aplicando una proporción, es el más sencillo pero no siempre se puede aplicar. Simplemente buscar un número que se múltiplo o divisor. Por ejemplo el 4 por 8 = 32 por tanto 6 x 8 = 48.
Encontrar medidas en triángulos semejantes no solo se aplica a los triángulos rectángulos, veamos otro ejemplo: 
Acomodando la información en forma de proporción tenemos:
https://youtu.be/Pgb3H4Su1EY
EJERCICIOS DE PRACTICA
Encuentra el valor de la «x»
1. 
2. 
3.  
4.  
5. 

RESPUESTAS

1.  5,     2. 70,   3. 25,   4. 88,    5. 10

Tipos de triángulos

Tipos de triángulos

Los triángulos son figuras geométricas formadas por tres lados y tres ángulos que pueden variar y en base a eso se clasifican. Una información importante con respecto a los ángulos internos de cualquier triángulo es que estos ángulos siempre van a sumar 180°. 

Los siguientes triángulos reciben su nombre en base a la medida de sus lados.

TRIÁNGULO EQUILÁTERO: Tiene tres lados y tres ángulos congruentes. Cada ángulo mide 60°.

TRIÁNGULO ISÓSCELES Tiene dos lados y ángulos congruentes. La altura de un triángulo isósceles divide a la base en dos segmentos iguales. 

TRIÁNGULO ESCALENO: No tiene ningún lado o ángulo congruente.

Los siguientes triángulos reciben su nombre en base a la medida de sus ángulos internos.

TRIÁNULO RECTÁNGULO: Tiene un ángulo recto (90°) y dos agudos (-90°).

TRIÁNGULO OCUTÁNGULO: Sus tres ángulos interiores son agudos (miden menos de 90°).

TRIÁNGULO OBTUSANGULO: Tiene un ángulo obtuso (mayor de 90°) y dos ángulos agudos (menor de 90°)

EJERCICIOS DE PRACTICA

  1. Identifica un triángulo isósceles
  2. ¿Cuáles serian triángulos obtusos?
  3. Identifica un triángulo equilátero
  4. Nombra un triángulo acutángulo
  5. Nombra un triángulo escaleno

  1. Identifica los triángulos rectángulos
  2. ¿Cuál triangulo forma un triangulo rectángulo en el ángulo r?
  3. ¿Cuántos triángulos rectángulos se encuentran en la figura?
  4. ¿Cuál es la medida del ángulo “p”?
  5. ¿Cuál es la medida del ángulo “nrp”?
  6. ¿Cuánto mide el ángulo “rmo”?

RESPUESTAS

  1. 2
  2. dec / bed
  3. bec
  4. bac
  5. dec, bed o bac
  6. pmo, rnm, pnr, mro
  7. mro
  8. 4
  9. 40 grados
  10. 50 grados
  11. 40 grados
Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras tiene relación directa a un triángulo rectángulo al formar siempre un ángulo de 90º.  La fórmula para obtener un cateto o hipotenusa establece que la suma de los cuadrados de los catetos (dos lados menores que forman un ángulo recto) es igual a el cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo).

 

Las razones pitagóricas que se pueden resolver aplicando la fórmula anterior son las siguientes:

Ejemplo I 

Para saber el valor de la hipotenusa se debe obtener la suma de los cuadrados de los catetos y finalmente sacar la raíz cuadrada. 

Ejemplo 2: Para obtener el valor de un cateto cuando tenemos dos valores (hipotenusa y un cateto)

En el siguiene video se explica la forma mas sencilla de obtener la raíz cuadrada.

En el siguiente video se explica un problema verbal en el que se aplica el Teorema de Pitágoras.

Otra forma en la que se puede aplicar el Teorema de Pitágoras es para encontrar la distancia entre dos puntos que se encuentran en un plano cartesiano. 

Ejercicios de práctica: Redondea la respuesta a la unidad más cercana.

  1. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 7 cm y 12 cm, ¿Cuál es el valor de la hipotenusa?
  2. Si la hipotenusa de un triangulo rectángulo es 40 pies y uno de sus catetos es de 35 pies, ¿cuál es la medida del otro cateto? 
  3. Un poste mide 25 pies  de altura y tiene un cable de contención de 28. ¿Cuál es la distancia que va del extremo del cable al pie del paste?
  4. Una escalera que mide 25 pies de largo esta inclinada en una barda y la distancia de la escalera al pie de una barda es de 15 pies. ¿Cuál es la altura de la barda si va del pie de la barda al extremo alto de la escalera? 

RESPUESTAS

1. 14

2. 19

3. 13

4. 20

Triángulos congruentes

Triángulos congruentes

Para que un triángulo sea congruente debe tener la misma medidas y forma. Van a contar también con ángulos, vértices y lados correspondientes que quiere decir que se encuentran en la misma posición. 

Los ángulos correspondientes se encuentran en la misma posición con respecto al otro triángulo y son los siguientes:a”  y  “n; “b” y o; c y “m”. Las dos lineas rojas indican que tanto el lado «ab» y «no» son congruentes osea que miden lo mismo, por tanto las lineas azules indican que esos lados también son congruentes.

Los siguientes son triángulos rectángulos y hay que tener presente que estos siempre forman un ángulo recto que va a medir 90 grados. 

 

 

Los ángulos S y L forman una perpendicular y nos indica que su ángulo mide 90°. Si el ángulo “T” mide 58°, podemos obtener la medida de los otros ángulos. “T” es correspondiente a “K” por tanto también mide  58°.

IMPORTANTE: La suma de todos los ángulos internos de un triángulo siempre es de 180°. A 180 le restamos 58 y 90 del ángulo recto y tenemos.

180 – (58+90) = 32 que sería la medida de los ángulos H y R.

Contesta las preguntas en base a la siguiente figura:

RESPUESTAS:

1. nm y ab; bc y cn; ac y cm

2. n

3. a

4. a y m miden 45 grados.

Lineas y ángulos

Lineas y ángulos

La información teórica relacionada con los ángulos se encuentra en el siguiente enlace:

 Clasificación de ángulos

Las preguntas 1 a la  5 se refieren a la siguiente figura.

1. ¿Cuántos pares de ángulos congruentes se contiene la figura anterior?

2. ¿Cuál se las siguientes afirmaciones no es verdadera?

a) El ángulo  “1” es correspondiente al ángulo “a”

b) el ángulo “4” es opuesto al vértice del ángulo “1”

c) Al ángulo “b” es suplementario a “1”

d) El ángulo “c” es complementario a “a”

e) El ángulo “3” es opuesto a “2”

3. Si el ángulo “1” mide 108°. ¿Qué afirmación es verdadera?

a) El ángulo “4” y “3” miden 108°.

b) El ángulo 3 y “c” miden 72°.

c) Los ángulos 2 mide 75°.

d) El ángulo “4” es correspondiente a “1”

e) Los ángulos “c” y “b” son correspondientes.

4. El ángulo “2” es:

a) suplementario al “3”

b) alterno interno al ángulo “a”

c) correspondiente a “b”

d) alterno externo al ángulo “c”

e) alterno externo al ángulo “1”

5. Si el ángulo “d” mide 108°. ¿Cuál afirmación es verdadera?

a) Los ángulos c, b, 3, y 1 miden 72°

b) 1, 4, a y d miden 72°

c) c, b, 3, 2 miden 72°

d) a, d, 1 y 2 miden 108°

e) d y b miden 108° 

Las preguntas 5 a la 10 se refieren a la siguiente figura.

 

6. Si el ángulo “d” mide 108°. ¿Cuál afirmación es verdadera?

a) Los ángulos c, b, 3, y 1 miden 72°

b) 1, 4, a y d miden 72°

c) c, b, 3, 2 miden 72°

d) a, d, 1 y 2 miden 108°

e) d y b suman 180°

7. ¿Cuántos pares de ángulos opuestos a su vértice hay en la figura anterior?

8. Si el ángulo (c = 60°) y (1= 85°). ¿Cuál es la medida del ángulo “m”?

9. ¿Cuáles son los pares de ángulos congruentes dentro de los triangulos?

10. De acuerdo con la información anterior, ¿qué otros ángulos miden 60°?

RESPUESTAS

  1. 1. 4
  2. 2. D
  3. 3. B
  4. 4. D y c
  5. 5. C
  6. 6. E
  7. 7. 6
  8. 8. 35
  9. 9. m y n, r y b, 1 y 4
  10. b, r y p