La potencia es una operación en la que un número se multiplica cierta cantidad de veces. El exponente es el número que nos indica la cantidad de veces que un número base se va a multiplicar, si tenemos 53 se multiplica el 5 tres veces: 5 x 5 x 5 = 125.
El número uno elevado a cualquier potencia siempre es igual a 1 14 = 1
Cualquier número elevado a la potencia 1 da como resultado el mismo número, 61 = 6
Cualquier número elevado a la potencia 0 da como resultado uno, 30 = 1
Al aplicar los exponentes en algebra hay que estar familiarizados con la multiplicación de signos y seguir las reglas para cada operación.
SUMA O RESTA
Al sumar o restar dos o más términos semejantes, sus exponentes no cambian, solo se suman o restan las bases.
a4 + 2a4 + 4a4 + 7a4 = 14a4
-b3 +5b3 -3b3 + 7b3 = 8b3
PRODUCTO (Multiplicación)
Cuando se multiplican dos términos, se suman los exponentes
x4 ·x3 = x4+3 = x7
COCIENTE (división)
Al dividir dos términos, se restan los exponentes.
POTENCIA DE UN EXPONENTE
Al aplicar la potencia a un término, se multiplican su exponente
(m3)5 = m3·5 = m15
Al aplicar la potencia del de un cociente, se escribe el mismo exponente tanto en el nominador como el denominador
(g f)5 = g5f 5
Para obtener la potencia de otra potencia, se multiplican sus exponentes.
(s3 t )2 = s6 t 2
Las operaciones que se realizan son:
s3 • 2 = 6
La t no tiene nungún exponente, solose pone el que esta fuera del paréntesis.
(3m3)2 = 9m6
Las operaciones que se realizan son:
32= 3 x 3 = 9
m3 • 2 = m6
POTENCIAS CON BASES NEGATIVAS
Al elevar una potencia con una base negativa, se multiplican primero signos, conservando la base el mismo signo en ambos números base.
El plano cartesiano no solo consiste en ubicar coordenadas, buscar distancias o pendiente, también hay una parte importante en la que el Álgebra juega un papel fundamental. Saber resolver ecuaciones y tener el concepto de los que es una variable o incógnita (representada por letras) es importante, sobre todo en este tema en el que vamos a presentar una fórmula que está compuesta por puras variables de las cuales solo vamos a identificar lo que representa cada una para poder buscar la ecuación de una recta en el plano cartesiano.
La fórmula que nos vamos a aplicar es la siguiente:
Como puedes ver tenemos cuatro letras diferentes y si ya conoces el plano cartesiano recordaras que incluye las coordenadas de “x” y “y”. Así que en la fórmula ya conoces y sabes lo que significan esas dos letras. La letra “m”representa la pendientede la recta y la letra “d” representa el intercepto en “y”.
Si aún no sabes obtener la pendiente de una recta te recomiendo que revises este enlace y trata de aprender ambos métodos. PENDIENTE.
El intercepto indica el punto donde se cruza la recta con la coordenada de “y” y debe ser solo en la coordenada de “y” la cual dependiendo donde se cruce puede ser negativo o positivo.
Veamos el siguiente ejemplo:
PASOS PARA ENCONTRAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA
Obtén la pendiente de la recta que quieres resolver
Identifica donde cruza en la coordenada de “y”, solo cuentas los cuadros a partir del cero al lugar donde cruza y ese es el intercepto. Recuerda que este puede ser negativo si va hacia abajo o positivo si va hacia arriba.
Sustituye los valores de “m” y “d” en la fórmula
Simplifica signos si es necesario
Buscar la pendiente de la recta “mn”
PASO I
Para busca la pendiente de la recta mn
PRIMERO: cuenta las unidades (cuadros) en la coordenada de “y” a partir del punto “m” hacia arriba (línea roja).
SEGUNDO: después de subir 4 cuadros hacia arriba en la coordenada de “y”, cuenta las unidades (cuadros) hacia la izquierda dirigiéndote al punto “n” (línea verde). IMPORTANTE: cada que te diriges a la izquierda o hacia abajo el valor del número va a ser negativo.
TERCERO: Representa tu resultado en forma de fracción, poniendo arriba lo obtenido en “y” y abajo el número obtenido en “x”
CUARTO: Simplifica la fracción, primero multiplica los signos + por – = – , después divide el cuatro y el seis entre 2 y la pendiente de esa recta es:
Si aún no te queda claro cómo obtener la pendiente, revisa este tema: PENDIENTE DE UNA RECTA
PASO II
Ubica el intercepto en “y” ósea, donde cruza la recta «mn» (línea azul) y la coordenada de “y” (línea negra obscura). El intercepto es 1.
PASO III
Sustituye los valores en la fórmula de las variables m = pendiente y d = intercepto con los valores que obtuviste anteriormente.
Ahora revisa el siguiente video para reafirmar lo aprendido y posteriormente puedes hacer los ejercicios de práctica.
El siguiente video explica otra forma de aplicar la ecuación lineal, como representar funciones usando una base de datos.
Las preguntas relacionadas con el plano cartesiano o plano de coordenadas no solo incluyen encontrar distancias, pendientes o ecuaciones de una recta, también se puede evaluar la percepción y habilidad para identificar alguna coordenada usando preguntas verbales o figuras geométricas.
Estas preguntas, aunque son sencillas, requieren ciertos conocimientos previos, dale click a este link para saber cuales, PLANO CARTESIANO o puedes revisar el video que se presenta al final del artículo.
Ejercicios de práctica
1. ¿Cuál es el punto medio de la siguiente figura? Expresa sus coordedenadas.
2. ¿Cuáles serían las coordenadas del punto medio si el exagonal se mueve dos unidades a la derecha?
3. Si el punto «a» gira 90° en el sentido del reloj y el punto «b» se mantiene en el mismo lugar, ¿cuáles son las nuevas coordenadas del punto «a»?
4. Nombra las coordenadas del punto «b» y «c», si el triangulo (como se presenta en la imagen) se mueve tres unidades a la izquierda y dos hacia arriba.
El figura de abajo hace referencia a la pregunta 5 y 6
5. Si las coordenadas de las rectas «p» y «d» tienen la coordenada (2, -3) en comun, y «p» es 2 1/3 veces mas larga que «d». Indica la coordenada que queda al final de la recta «p.»
6. Si ambas rectas son del mismo tamaño, ¿cuál sería la coordenada en el extremo izquierdo del la recta «p»?
La figura de abajo hace referencia a las preguntas 7 y 8
7. Si las coordenadas de m (0, 0) y el triangulo rectángulo asentado sobre el eje de las «x» ¿cuál es la coordenada del punto «n»? Pista: hay que estar familiarizado con el Teorema de Pitágoras.
8. Si el punto «n» gira noventa grados en el sentido de las manecillas del reloj y el punto «m» se mantiene en su lugar, ¿cuáles son las nuevas coordenadas del punto «n»?
Las preguntas 9 y 10 hacen referencia a la figura de abajo
9. En el eje de las «x«, ¿qué coordenadas indican los extremos del diámetro?
10.Si el circulo se moviera tres unidades a la izquierda, ¿cuál sería su punto medio?
En Álgebra es importante distinguir entre un término, una expresión y una ecuación. Para resolver una ecuación es necesario sabersimplificar términos y multiplicar expresiones. Antes de continuar es importante que entiendas los temas anteriores, dale click a las letras azules si quieres repasar esos temas.
Una característica de la ecuación es que siempre tiene el signo de igualdad (=). Quiere decir que la cantidad expresada en la parte izquierda del signo igual es la misma que se encuentra en la parte derecha. Un ejemplo sencillo lo tenemos en la siguiente ecuación.
3x + 5 = 50
En la parte izquierda hay que buscar un número que multiplicado por tres y sumado a cinco nos de 50. En ecuaciones cortas se puede incluso hacer la operación mental que en este caso el valor de «x» es 15 porque 3 por 15 = 45 mas 5 nos da 50.
Veamos los pasos para resolver ecuaciones donde se requieren mas pasos.
x – 2x – 12 + 10 = 22 – 4x
PASO I
Simplificar si es necesario, esto es sumar, restar, multiplicar o dividir los términos en ambos lados de la ecuación. En la parte izquierda se suman los términos semajentes x – 2x nos da – x y -12 + 10 nos da – 2. A la derecha del signo igual no hay términos semejantes por tanto se queda igual.
-x – 2 = 22 – 4x
PASO II
Hay que ordenar la ecuación, quiere decir poner los números (coeficientes) del lado derecho de la ecuación y las letras (incógnitas) del lado izquierdo. IMPORTANTE, al hacer estos cambios, los números y letras cambian de signo.
-x + 4x = 22 + 2
El -2 se pasa a la derecha sumando porque estaba restando o negativo.
El – 4x pasa a la izquierda sumado porque estaba negativo del lado derecho.
PASO III
Simplificar si es necesario. -x + 4x = 22 + 2
– x + 4x se resta y nos da 3x.
22 + 2 se suman = 24
Tenemos así 3x = 24.
PASO IV
Despejar el último número (coeficiente). En este caso es el 3 y como esta multiplicando, lo despejamos dividiendo al 24
Una de las áreas importantes en Álgebra son los problemas verbales para lo cual es importante estar familiarizado con el “lenguaje algebraico”.
Para plantear las oraciones en algebra vamos a recurrir a las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíz cuadrada. También se hace uso de las incógnitas (letras) donde las más comunes son x, y, y z. Revisa las siguientes tablas para que te familiarices con el lenguaje algebraico y como representar cada una de las operaciones.
Para poder identificar que representa una expresión verbal sigue los siguientes pasos:
Primero, hay que asignar una incognita (letra) a la cantidad desconocida.
Si hay otras cantidades desconocidas, hay que asignarles otra incognita (letra).
Utiliza las tablas anteriores para identificar qué operación matemática indica cada frase.
Por último, escribe la expresión con las operaciones que se indican.
Ejercicios de práctica
El producto de 5 y un número, divididos entre dos.
Un número elevado al cubo.
Doce menos que el doble de un número
Siete más que un número elevado al cuadrado
Cinco restado de un número
Cuatro veces un número dividido entre 3
Tres veces un número más la suma de la mitad de otro número
El cuadrado de un número más el cubo de ese mismo número
El producto de nueve y un número sumado a 15
Seis más el cuadrado de un número dividido entre el mismo número.
Una ecuación puede tener una o más variables, en específico las ecuaciones que usamos en una grafica tienen dos variables, esto se debe por las coordenadas que hay en el plano cartesiano “x” y “y”. En la siguiente ecuación y = 4x -3 tenemos las dos variables (letras) para resolverla, es necesario asignar un valor a cualquiera de las dos variables.
Las ecuaciones que forman una linea recta en la grafica recibe el nombre de ecuación lineal y para poder marcarla en el plano cartesiano es necesario conocer por lo menos dos puntos. Para eso hay que seguir los siguientes pasos:
(Al final un video y ejercicios)
PASO I
Para identificar el primer punto, hay que asignar un valor a la “x” y asi obtendremos un valor especifico para la “y”, generalmente se usa el cero “0” o números sucesivos. Una vez sustituido el valor de la “x” hay que despejar la “y”
y = 4x – 3
y = 4(0) – 3
y = – 3
Si el valor que le asignamos a la «x» fue 0 y el valor de “y” es -3, las coordenadas del punto A (0, -3). El primer número siempre representa las “x”.
PASO II
Hay que identificar el otro punto para la grafica se pueden asignar otro valor x= 1, se sustituye el valor de «x» en la ecuacion y = 4x – 3
y =4(1) – 3
y= 4 – 3
y = 1
Las coordenadas del punto H (1, 1) y se pueden ubicar en la recta
PASO III
Por último, graficamos la línea en el plano cartesiano usando las coordenadas del punto A y H. Para confirmar que la respuesta es correcta, se pueden asignar otros valores a la “x” y las coordenadas que se obtengan tendrán un orden sucesivo en la recta.
Se asigna otro valor a la “x” en este caso vamos a usar el 2.
y = 4(2) – 3
y = 8-3
y = 5
Las coordenadas del punto B (2, 5)
Como puedes ver ya usamos los valores 0, 1 y 2, ahora veamos que coordenadas nos da si sustituimos la x por los valores 3 y en otra ecuación por -1
y = 4(3) -3
y = 12 -3
y = 9
Las coordenadas del punto C (3,9)
La siguiente si x = -1
y = 4 (-1) – 3
y = – 4 – 3
y = -7
Las coordenadas del punto E (-1, -7)
También pueden resolver las ecuaciones lineales usando la calculadora TI-30XS Multiview.
EJERCICIOS DE PRACTICA
Grafica las siguientes ecuaciones. (La respuesta puede variar de acuerdo al valor que se le de a la “x”)
Una expresión algebraica está formada por términos que incluyen letras, número unidos por los signos de operación que pueden ser: suma, resta, multiplicación, división y potencia.
Un término está compuesto por el signo, el coeficiente, la incógnita y el exponente como se muestra en la imagen.
Por otra parte, una expresión es la combinación de varios términos y se clasifican en:
MONOMIO: formado por un solo término.
BINOMIOS: se forma por dos términos.
TRINOMIO: se forma por tres términos.
POLINOMIO: se formado por más de un términos.
Una expresión también puede representarte verbalmente para lo cual es importante entender los enunciados y sus representaciones en términos algebraicos.
Otra parte importante de las expresiones algebraicas es su simplificación para lo cual es necesario saber “sumar, restar y multiplicar términos semejantes”, si necesitas mas repaso sobre estos temas revisa los siguientes enlaces:
La pendiente indica la inclinacion de una recta y puede ser positiva o negativa.
La manera más sencilla de obtener la pendiente es usando la razón entre el cambio vertical y horizontal. Si formamos un triángulo rectángulo teniendo la distancia de los puntos como hipotenusa, se pueden contar el cambio vertical y horizontal como se indica en la imagen siguiente.
Pasos para encontrar la pendiente:
Seleccionar dos puntos de la recta, para obtener la distancia vertical. Elije cualquier punto y cuenta el número de cuadros ya sea hacia arriba o hacia abajo hasta alcanzar el nivel del segundo punto. En la imagen anterior contamos del punto “G” hacia arriba 4 unidades.
Después de contar las 4 unidades, se debe buscar el cambio horizontal contando las unidades hacia la izquierda o derecha, en el caso del ejemplo se desplaza a la derecha una unidad.
Se plantea la razón dividiendo el cambio vertical entre el cambio horizontal, que seria 4 entre 1.
La pendiente en este caso es 4 positivo. Puede ser negativo como se muestra en el siguiente ejemplo.
A partir del punto “P se cuenta hacia arriba cinco unidades en el cambio vertical, y cuatro unidades hacia la izquierda en el cambio horizontal. Para obtener la pendiente se divide 5 entre -4 y el resultado es -1.25 o 5/4. (Aquí se hace uso de la multiplicacion de signos, por eso el resultado es negativo)
Otro método es aplicar la fórmula. Los conocimientos previos para entender y resolver la fórmula son los siguientes:
Identificar las coodenadas o puntos en el plano cartesiano es el primer paso para poder encontrar la distancia entre dos puntos.
Por ejemplo si me presentan las siguientes coordenadas H (2, -4) y U (-3, 2); al localizar dichas coordenadas se puede encontrar la distancia que hay entre ellas.
La fórmula para encontrar la distancia es la siguiente:
OTRA FORMA MÁS SIMPLE DE OBTENER LA DISTANCIA ES USANDO EL TEOREMA DE PITAGORAS.
Cuando dos puntos se encuentra en posicion horizontal o vertical, solo se cuentan las unidades o cuadros que los separan. Ejemplo:
En el siguiente video se explican los procedimientos para encontrar la distancia. Les recomiendo, si se les hace difícil, que inicien aplicando el Teorema de Pitagoras, una vez que lo dominen, pueden intentar aplicar la fórmula.
EJERCICIOS DE PRACTICA
Encontrar la distancia entre los puntos PQ, OS, NR, OM, NP, RM, NO, RP, MP, OQ, RO, RS, QN, PO.
Se puede elaborar aplicando el Teorema de Pitagoras o la fórmula para obtener la distancia.
El “Plano cartesiano” o “Plano de coordenadas” se componen por el eje de la “x” llamada abscisa (linea horizontal) y el eje de la “y” ordenadas (linea vertical) los cuales forman cuatro cuadrantes.
El primer cuadrante siempre va a ser positivo en las “x” y “y”(+, +).
El segundo va a ser negativo en las “x” y positivo en las “y”(- , +).
El tercer cuadrante va a ser negativo en ambas (- , -).
El cuarto es positivo en las “x” y negativo en “y”(+ , -).
Una coordenada se representa con dos números dentro de un paréntesis (2, 3) donde el primer número siempre indica el valor de la «x» y el segundo de las «y».
Al ubicar una coordenada es importante poner atención a los signos.
Las «x» positivas van hacia la derecha, las negativas hacia la izquierda.
Las «y» positivas van hacia arriba, las negativas hacia abajo.
Los números y signo de una coordenada (3, -2) indican cuantas unidades nos movemos para marcar la coordenada siempre partiendo del centro, donde se cruzan ambas lineas. Por ejemplo: si queremos localizar la coordenada m (3, – 2)
El 3 indica las «x» y como es positivo, nos movemos tres unidades hacia la derecha a partir del centro.
El -2 indica las «y» a partir del lugar donde quedo la «x», nos dirigimos hacia abajo dos unidades y la coordenada la indicariamos de la siguiente manera:
Para aprender a localizar los puntos en el plano de coordenadas revisa el siguiente video.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Indica las coordenadas de los siguientes puntos
Localiza los siguientes puntos en el Plano Cartesiano.
M (-2, 4); N (0, -1); O (3, -1); P (2, 4); Q (0, 0); R (-4, 3) S (-1, -4)
RESPUESTAS
A = (-3,4); B = (3,3); C = (1, -3); D = (-1,-1); E = (1,4); F = (-3,-4); G = (2,-1)
En la multiplicación de términos se hace uso de las operaciones básicas. Sin embargo, se tienen que tener presente la multiplicación, suma y resta de signos para simplificar si es necesario.
Para entender con más claridad la multiplicación de términos considera los siguientes pasos:
PRIMERO: Multiplicar los signos
SEGUNDO: multiplicar las coeficiente o números.
TERCERO: Multiplicar las incognitas (letras) sumando sus exponentes. Si una incognita no tiene exponente, su exponente es uno. Al momento de multiplicar un término algebraico, SUS EXPONENTES SE SUMAN.
CUARTO: Se simplifica si es necesario. Este paso se tiene que realizar si después de la multiplicación nos quedan términos semejantes, hay que sumar o restar según corresponda. Ejemplo:
– 3x² – 2x(- 4x)
-3x² + 8x²
5x²
EJERCICIOS DE PRACTICA
RESPUESTAS
Las incognitas (letras) se acomodan en orden alfabético, si lo respondieron en el orden que lo multiplicaron también es correcto.
Otra aplicación del Álgebra continua en los ángulos dentro de un triángulo, después de todo el trabajo de matemáticos y otros genios que nos antecedieron, sabemos que la medida de los ángulos internos de cualquier triángulo va a ser siempre de 180°, sin importar el tipo de triangulo que sea.
1. x + 4x + 4x = 180 (suman los términos semejantes)
9x = 180 (se pasa el 9 al otro lado del signo igual, si esta multiplicando se pasa dividiendo)
x = 180/9 (se divide 180 entre 9)
x = 20 (para obtener el valor de cada ángulo, se multiplica 4 por el valor de “x” = 20, por tanto 4(20) = 80 grados.
En el ejemplo 2 hay un ángulo recto que siempre mide 90°, quien este familiarizado con las ecuaciones va a encontrar mas fácil plantearla así 3x + 2x – 15 = 90. Tomando en cuenta solo las medidas del angulo «a» y «c».
5x + 75 = 180 (el 75 esta sumando se pasa del otro lado del signo igual restando)
5x = 180 – 75 (el 5 esta multiplicando, pasa al otro lado del signo igual dividiendo)
x = 105/5 (se divide 105 entre 5)
x = 21
El ángulo “a” se obtiene multiplicando 3 por el valor de “x” 3(21) = 63
El valor del ángulo “c” se obtiene multiplicando 2 por el valor de “x” y restando 15; 2(21)-15 = 27
El ángulo “b” es recto y siempre mide 90 grados.
Revisa el siguiente video y posteriormente resuelve los siguientes ejercicios, las respuestas las encuentras al final. Preguntas, dudas o comentarios los puedes compartir al final del articulo.
El Álgebra tiene aplicación y muchas áreas de la vida cotidiana, una de ellas la encontramos en geometría donde podemos usar las ecuaciones para encontrar valores desconocidos en como la medida de un ángulo.
Si observan alrededor de su hogar, todo está lleno de ángulos, las esquinas de las paredes, la mesa, muebles, etc. Los ángulos más comunes son el “ángulo recto” que siempre mide 90˚ y el “ángulo llano” cuya medida es de 180˚.
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS: Son todos aquellos que suman 180˚ y por tanto forman un ángulo llano.
Aplicando una ecuación tendríamos:
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: Son aquellos cuya suma es siempre de 90˚. Por tanto forman un ángulo recto.
Aplicando una ecuación:
Para la explicación de estos ejercicios, revisa el siguiente video:
Dentro de Álgebra, se pueden presentar problemas verbales para plantear y resolver ecuaciones. Estos problemas pueden ser de uno o más pasos. Veamos operaciones sencillas y como se representan en forma de enunciado.
MULTIPLICACIÓN:
En Álgebra, la MULTIPLICACIÓN no se indica con la “x”, sino con un punto 2 • m, con paréntesis 2(m) o sin signo, siempre y cuando sea una letra y un número 2y o támbien pueden ser dos letras (incognitas) juntas mn.
En problemas verbales, indica multiplicación lo siguiente:
Cuatro multiplicado por un número da 36
4 · x = 36 támbien se puede representar así 4x = 36
Un número multiplicado por 8 nos da 24
x · 8 = 24
El doble de un número
2x (indica que el dos está multiplicando a la x)
El triple de un número
3z (Indica que el tres está multiplicando a la z)
DIVISIÓN
Se indica con el signo de división o con la raya de fracción /
Una vez que has aprendido las leyes de signos de suma-resta y multiplicación-división, puedes incorporar el concepto de «término» que en algebra va a incluir cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la incognita y el exponente.
Signo: este puede ser positivo o negativo
Coeficiente o constante: que está representada por los números.
Incognita: se representa por las últimas letras del abecedario.
Exponente: que es un número pequeño ubicado en la parte superior de los números regulares.
Un término semejante es aquel que tiene la misma incognita (letra), pero no necesariamente el mismo coeficiente (número). Por ejemplo:
3x + 4x Son términos semejantes.
3x + 4yNO son términos semejantes porque son dos incognitas diferentes.
Si dos o mas términos están compuestos por varias incognitas (letras) y estas son iguales, entonces son términos semejantes. Ejemplo:
5xy – 4xy son semejantes porque tienen las mismas letras.
5xy – 4yzNO son semejantes porque no tienen la misma letra
Además de la variable, un término semejante debe también tener el mismo exponente. Esto quiere decir que si un término tiene la misma incognita (letra) pero diferente exponente, no es semejante. Ejemplo:
3x² 2x³ (estos dos términos no son semejantes, tienen la misma incognita pero diferente exponente)
5yz² 4yz 3yz² (solo 5yz² 3yz² son semejantes porque tienen las mismas variables -letras- y el mismo exponente)
Ahora puede revisar el video para aprender como simplificar términos semejantes haciendo uso de la signos para la SUMA Y RESTA
Recuerda:
Números con signos iguales se suman
Números con signos diferentes se restan y se deja el signo del mayor
