Obtener el área o perímetro es de las habilidades más fáciles y básicas en geometría. Sin embargo, al momento de combinar varias figuras planas se forma figuras compuestas, que pueden incluir: cuadrados, círculos, triángulos, rectángulos, trapecio, etc.
Para obtener el área o perímetro de ese tipo de figuras se debe analizar la figura y seguir estos pasos:
PASO I
Hay que identificar que figuras forman el total.
PASO II
Analizar si hay partes de las figuras que no vas a necesitar, por ejemplo los lados que unen dos o más figuras.
PASO III
Obtener por separado las áreas y perímetros de cada figura
PASO IV
Sumar lo obtenido en cada figura.
De todo esto la parte más difícil es identificar que partes de la figura no se deben incluir, analizamos el siguiente caso:
EJEMPLO I
Obtener el área y perímetro de la siguiente figura
PERíMETRO
PASO I
La imagen está compuesta por un cuadrado y un trapecio.
PASO II
Para obtener el perímetro de esa figura no necesitamos la parte que une ambas figuras (indicada con la línea roja)
PASO III
Hay que sumar todos los lados que rodean la figura y tenemos
P = 10 + 2 + 6 + 6 + 6 + 2
P = 32in
También la puedes representar así:
P = 10 + 2(2) + 3 (6)
P = 32in
(El 10 es la parte superior, el 2 indica los lados del trapecio y el 6, los lados del cuadrado y como solo se necesitan tres lados se multiplica por ese número)
ÁREA
PASO I
Tenemos un cuadrado y un trapecio
PASO II
Para obtener el área del cuadrado solo necesitamos el valor de uno de sus lados. Para el trapecio es necesaria la altura (3in), la base1 (10in), la base2 (6 in) porque mide lo mismo que los lados de un cuadrado. Por último, el valor que no necesitamos es el 2in ya que la fórmula no lo indica.
PASO III
Las fórmulas son:
Sustituyendo valores se tiene:
CUADRADO
TRAPECIO
PASO IV
Sumando ambas áreas
A = 36 + 24
A = 60in2
EJEMPLO II
PERíMETRO
PASO I
La figura está compuesta por un círculo y dos cuadrados
PASO II
Para el perímetro solo necesitamos medir toda la orilla que cubre la figura, (no consideramos las líneas rojas). Hay dos esquinas de los cuadrados y del circulo. Dos partes circulares representan una cuarta parte del circulo cada una, por tanto, al juntar ambas tenemos la mitad de un circulo.
PASO III
Cuadrado: en total son cuatro lados, dos por cada cuadrado, para obtenerlo multiplicamos 4 por 3
Circulo: aquí aplicamos la fórmula de la circunferencia y la dividimos entre dos o también podemos multiplicar el valor de pi por el radio y nos da el mismo resultado.
PASO IV
Se suman ambos perímetros
ÁREA
PASO I
Hay que obtener el área de dos cuadrados y de la mitad del círculo.
PASO II
Solo se obtiene el área de la mitad del círculo porque al juntar las dos partes del círculo nos representa la mitad de un círculo.
PASO III
Aplicar las fórmulas del área para esas figuras. En el cuadrado se obtiene el área de uno y se multiplica por dos ya que hay dos cuadrados. En el circulo hay que dividir entre dos el área total.
Cuadrados
Circulo
PASO IV
Se suman ambas áreas
EJERCICIOS DE PRACTICA
Obten el área y perímetro de las siguientes figuras
1.
2. El largo del rectángulo es 2 ¾ veces más largo que el ancho y el radio del circulo es 8 in
Al dividir en algebra se siguen los mismos pasos que en la multiplicación pero de manera invertida, ósea, haciendo lo contrario. Los pasos para la división son lo siguientes:
Dividir el signo aplicando la misma regla de la multiplicación
Dividir los coeficientes o números
Dividir la incógnita o letra, al hacerlo se restan los exponentes (número pequeños de la derecha y si no hay exponente, este siempre va a ser 1).
EJEMPLO I
PASO I
Dividir el signo, aplicando la misma regla de la multiplicación.
– / + = –
PASO II
Dividir los números
8 ÷ 4 = 2
PASO III
Dividir incognita o letra restando exponentes (si una incógnita o letra no tiene exponente, este va a ser uno)
x5 ÷ x = x4
La respuesta es – 2x4
EJEMPLO II
Recuerda que si hay varias letras sin número, este va a ser siempre 1 y cuando dos incógnitas (letras) tengas el mismo exponente, la letra se elimina.
PASO I
Dividir los signos
– / – = +
PASO II
Se dividen los coeficientes (números)
TIP: Siempre que tengas una fracción para dividir queda la misma respuesta, por ejemplo:
PASO III
Se dividen las incógnitas (letras) restando exponentes, si hay más de una incógnita hay que resolver las semejantes, una por una.
x2 ÷ x = x
y ÷ y = / Se elimina porque 1 – 1 = 0
z3 ÷ z = z2
La respuesta sería:
(Ten presente que si el signo es positivo no se escribe)
EJEMPLO III
PASO I
Dividir signos
+ / – = –
PASO II
Dividir coeficientes (números)
15 ÷ 3 = 5
PASO III
Dividir incógnitas (letra) restando exponente, (OJO, si solo hay una incógnita, solo se pasa a la respuesta)
m3 ÷ m = m2
n ÷ 0 = n
p2 ÷ p = p
La respuesta: -5m2np
Regla para exponentes:
Al restar los exponentes toma en cuenta la regla de signos para suma y resta, puedes tener los siguientes casos:
x5 ÷ x3 = al restar exponentes seria 5 – 3 = 2
x5 ÷ x -3 = si el segundo exponente es negativo tenemos 5 – -3 = 8
x -5 ÷ x –3 = si ambos exponentes son negativos tenemos -5 – -3 = -2
x -5 ÷ x3 = si el primero es negativo tenemos -5 -3 = -8
Para obtener el área de la superficie (SA) de un cilindro, imagina un barquillo para helado (o nieve). La altura de inclinación es la distancia que hay de la punta del cono a cualquier extremo del circulo.
La fórmula es SA = πrs + πr2 de esa fórmula ya debes estar familiarizado con, πr2, con la que obtenemos el área de un circulo. La segunda parte de la fórmula, πrs, nos da el área de la superficie del resto de la formula. Como puedes ver para esta fórmula no necesitas la “altura” que nos sirve para obtener el volumen, solo necesitas la “altura de inclinación indicada por la “s”, el pi y el radio.
r = radio
π = pi (3.14)
s = altura de inclinación
Una vez que has identificado los datos que necesitas hay que seguir la formula sustituyendo los valores que te den.
EJEMPLO I
SA = πrs + πr2
SA = (3.14) (2) (8) + (3.14) (22)
SA = 50.24 + 12.56
SA = 62.8 in2
La respuesta se expresa en área cuadrada por eso va el dos después de la sigla de pulgadas, para familiarizarte con eso, estas son las más comunes: in = pulgadas, ft = pies yd = yarda, cm = centímetros, m = metros.
Una variación puede ser obtener solo la superficie de lo que abarca el cono sin la parte que cubre el circulo. Por ejemplo si se quiere cubrir un barquillos, sin que se incluya la parte superior donde va la nieve, solo hay que aplicar la primera parte de la fórmula es SA = πrs
EJEMPLO II
Obtener el área de superficie de la siguiente figura sin que se incluya la parte naranja.
SA = πrs
SA = (3.14) (3) (12.5)
SA = 117.75 cm2
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
1. Obtén el SA de un cono con una altura de inclinación de 15 ¼ ft y un radio de 5 ft.
2. Obtén el SA de un cono con un diámetro de 5ft y una s de 8ft, sin que se incluya la parte circular.
3. ¿Cuál es el área de la superficie cuadrada de un cono con un radio de 4 m y una altura de inclinación de 12 ¾ m?
4. Una bodega circular tiene el techo en forma de cono, si quieren cambiar el techo, ¿qué superficie va a cubrir el nuevo techo si la bodega circular tiene un diámetro de 120 yd y la altura de inclinación del techo es de 50yd? Si tienes dificultad revisa las partes del círculo.
5. Obtén el área de superficie de un cono con un diámetro de 12 in y una altura de inclinación de 18 ¾.
El área en figuras planas como un terreno, una alfombra son fórmulas más sencillas y con los que la mayoría puede estar más familiarizado. Por su parte, el área de superficie se obtiene de figuras tridimensionales, por ejemplo un cilindro, un cubo, prisma, cono o esfera.
Para obtener el área de la superficie (SA) de un cilindro, imagina un tambo. Si quisieras forrarlo todo alrededor, tendrías que obtener el área de la superficie, que incluye el área de dos círculos y la parte circular (alrededor). Para obtener ese tipo de áreas se usa la siguiente fórmula:
SA = 2πrh + 2πr2
Ejemplo I
SA = 2πrh + 2πr2
SA = área de superficie
π = pi
r = radio
h = altura
Si observas la fórmula y sabes cómo obtener el área de un circulo, podrás notar que la parte final de la fórmula, 2πr2, representa el área de los dos círculos, por lo tanto 2πrh nos da la parte de alrededor (verde).
Ejemplo II
Siguiendo la fórmula, hay que sustituir valores
SA = 2πrh + 2πr2
SA = 2(3.14) (4) (7) + 2(3.14) (42)
SA = 175.84 + 100.48
SA = 276.32 in2
Puede haber preguntas en las que se pida solo el área circular (sin considerar los círculos inferior y superior). De ser ese caso, solo hay que aplicar la primera parte de la fórmula SA = 2πrh, también se puede obtener multiplicando la circunferencia por la altura. Veamos un ejemplo:
SA = 2πrh
SA = 2 (3.14) (4) (h)
SA = 175.84
Aplicando el otro método, SA = Ch
C = circunferencia
h = altura
SA = 25.12 (7)
SA = 175.84
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
1. Obtén el SA de un cilindro con 2 ½ cm de radio y 14 ¼ cm de altura
2. Un cilindro con un diámetro de 6 in y una altura de 8 in
3. Obtén la parte circular de un cilindro con 6 ft de radio y 18 de altura
4. Un cilindro con un radio de ½ in y 5 in de altura
5. Obtén la parte circular de un cilindro con 6 ¼ cm de radio y 22 de altura
Los trinomios de segundo grado o trinomio cuadrado son aquellos que tienen tres términos. El primero va a tener una literal al cuadrado, el segundo su literal estará a la potencia uno y el último término no tendrá literal. Por ejemplo:
2x2+ 6 x – 4.
I Fórmula cuadrática para obtener las raíces
Si tenemos un trinomio cuadrado se pueden buscar sus factores, quiere decir encontrar los términos que multiplicados entre si nos dan el trinomio. Ese es un método para obtener los valores de “x” que también se pueden obtener aplicando la fórmula cuadrática. A esas “x” las vamos a llamar raíces, que no es otra cosa que los puntos por los que atraviesa una parábola en la coordenada de “x”. Es posible que algunos trinomios cuadrados no tengan raíces, ósea, que no toquen la coordenada de “x”.
La siguiente ilustración muestra un ejemplo, las raíces siempre se van a encontrar en el punto en que cruzan la parábola y la coordenada de “x”.
Para encontrar las raíces veamos el siguiente ejemplo aplicando la fórmula cuadrática en el siguiente trinomio cuadrado
x2 – 6x + 5
Paso I
Igualar el trinomio a cero para convertirlo en ecuación x2 – 6x + 5 = 0
Paso II
Asignar los valores “a”, “b”, “c”. Si aún no sabes asignarlos revisa este enlace.
El valor de «a» siempre va a ser el coeficiente del término que esta elevado al cuadrado.
El valor de «b» va a ser el coeficiente del término cuya potencia es 1.
El valor de «c» va a ser el coeficiente que no tiene ninguna incognita.
Paso III
Sustituir los valores de a, b, c en la fórmula.
Paso IV
Resolver para encontrar los dos valores de “x”, algunas veces estos pueden ser negativos o en otras posiblemente no se puedan obtener. Valores para «x»x = 1, x = 5. Para aprender a aplicar la fórmula cuadrática se puede visitar este enlace fórmula cuadrática.
Paso V
Representar las coordenadas asignando el valor de cero a las “y” (1, 0), (5, 0) que son las raíces de la primera imagen.
Para probar que los valores de “y” son cero pueden sustituir los valores de “x” en el trinomio cuadrado.
Sustituyendo x = 1
y = x2 – 6x + 5
y = (1)2 – 6(1) + 5
y = 1 – 6 + 5
y = 0
Sustituyendo x = 5
y = x2 – 6x + 5
y = (5)2 – 6(5) + 5
y = 25 – 30 + 5
y = 0
Las raíces están representadas por las estrellas amarillas.
II Intercepto en “y”
Con el trinomio cuadrado también podemos encontrar el intercepto en “y”, este es un poco mas sencillo. Si ya sabes sustituir valores en la ecuación ya que solo consiste en darle a la “x” el valor de cero. Veamos
y = (0)2 – 6(0) + 5
y = 5
Las coordenadas del intercepto en “y” van a ser (0, 5). Después de practicar un poco te vas a dar cuenta de que no se necesita llevar a cabo la ecuación, ya que el valor de “y” siempre va a ser “c” ósea el tercer término del binomio cuadrado.
III Vértice o punto de cambio
El vértice indica el punto en el que la parábola cambia de dirección. Para obtenerlo se usa una parte de la fórmula cuadrática y seguir los siguientes pasos.
PASO I
Sustituir los valores de “a” y “b” en el binomio x2 – 6x + 5 = 0 y resolvemos
PASO II
Sustituimos el valor de “x = 3” para encontrar el valor de “y”
y = x2 – 6x + 5
y = (3)2 – 6(3) + 5
y = 9 – 18 + 5
y = – 4
El vértice queda en la coordenada de (3, – 4)
IV Funciones
Lo siguiente es escribir los valores de las coordenadas que hemos obtenido y representar la función en una tabla.
Para encontrar otras coordenadas, solo hay que asignar valores a la “x”, pueden ser incluso fracciones y cada una de esas coordenadas van a representar la parábola.
Sustituyendo x = 2
y = x2 – 6x + 5
y = (2)2 – 6(2) + 5
y = 4 – 12 + 5
y = – 3
coordenada (2, – 3)
Sustituyendo x = 4
y = x2 – 6x + 5
y = (4)2 – 6(4) + 5
y = 16 – 24 + 5
y = – 3
coordenada (4, – 3)
V Graficar las funciones
Una vez que tienes identificas la función, solo queda representar cada una de las coordenadas en el plano cartesiano para representar la parábola.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
1. 2x² – x – 6
2. 5x² + 8 + 41x
3. x² – 26x – 155
4. 24x + x² + 143
5. 63 – 16x + x²
Deben obtener las raíces, intecepto, vertice; posteriormente graficarlo y representar la función.
Una vez que hemos aprendido a encontrar en común factor usando números, vamos a practicar un poco como obtener el común factor usando literales (letras).
Para encontrar la literal (letra) común, hay que observar cual es común a cada uno de los términos y escoger la que tenga el exponente mas chico. Por ejemplo, si tenemos x4 + x2, de estos dos términos el que tiene el exponente más chico es el x2, esa va a ser la literal común.
Si un término tiene más de una literal con exponentes diferentes se aplica el mismo procedimiento con cada literal.
Ejemplo x6y3 + x2 + y7 – x3y3, en este caso la literal “x” con el exponente más chico es x2 y la literal “y” con el exponente más chico es y3, al final los literales comunes son x2y3.
En seguida se presentan tres ejercicios para identificar las literales comunes: (No hay que sumar o restar, solo buscar las literales comunes)
m6n3, m8n2, m5n7, m3n6
x2y5z9, x5y12z11, x3y3z8
a15b3, a3b, a5b6, a2b7
Respuestas, literal común.
m3n2
x2y3z8
a2b
El siguiente paso es aprender a buscar el “máximo común factor” y para esto se combinan el común factory las literales comunes, en otras palabras, vamos a combinar números y letras.
Ejemplo I
6x2 + 15x
PASO I
Identifica el común factor (2)(3) = 6 y (3)(5) = 15, el común factor es 3
PASO II
Identifica la literal común, ósea la letra que tiene el exponente más chico y es la “x”
PASO III
Escribe los factores comunes (el 3 y la “x”) fuera del paréntesis y los restantes (los números que sobran del PASO I, que son el 2 y 5) dentro del paréntesis expresando multiplicación de términos 3x (2x + 5)
IMPORTANTE: Para determinar que literal (letra) va dentro del paréntesis, hay que restar el exponente de la literal con la literal común
x2 – 1 = 1
También se pude obtener dividiendo, como se explica mas abajo.
PASO IV
Para comprobar se multiplica y se debe obtener las expresión inicial.
3x (2x + 5)
6x2 + 15x
EJEMPLO II
45m5n3 – 10 m2n
PASO I
Identificar el común factor, (3)(3)(5) = 45 y (2)(5) = 10. El común factor es 5
PASO II Identificar la literal común (letras que tienen el exponente más chico) m2n
PASO III
Escribir el común factor y la literal común fuera del paréntesis. Dentro del paréntesis se escriben los términos restantes respetando los signos de multiplicación.
5m2n (9m3n2 – 2)
IMPORTANTE: para determinar que exponente van a llevar las literales dentro del paréntesis, solo se restan los exponentes de la expresión original con los exponentes de la literal común que no es otra cosa que la división.
m5 – 2 n3 – 1
m3n2.
Solo un repaso, se resta porque si recuerdas, en la multiplicación de términos, al multiplicar se suman sus exponentes y factorizar es lo contrario a multiplicar, ósea dividir.
También puedes dividir la expresión original entre el máximo común factor y nos quedaría así.
La respuesta anterior es la que va dentro del paréntesis y el máximo común divisor fuera 5m2n (9m3n2 – 2)
Pasos para la división:
(Hay que dividir la expresión que queremos factorizar entre el máximo común divisor45m5n3 ÷ 5m2n)
Se divide el signo usando la misma regla de multiplicación de signos (+ • + = +)
Se dividen los coeficientes -números- (45 ÷ 5 = 9)
Se dividen las literales (letra) (OJO) al dividir incognitas se restan sus exponentes m5-2 =3 = m3 y n3-1 =2 = n2
Por último para dividir (– 10 m2n ÷ 5m2n) se repiten los mismos pasos. Solo al final, al dividir las literales, como tienen el mismo exponente, se eliminan y no se escribe ninguna literal, solo el –2.
Ejemplo II
4a2b3 – 6a3b2 + 8a4b
PASO I
Obtener el común factor (2)(2) = 4, (2)(3) = 6, (2)(4)= 8. El común factor es 2
PASO II
Identificar la literal común y es a2b
PASO III
Escribe el común factor y la literal común fuera del paréntesis y el resto dentro del paréntesis 2a2b (2b2 – 3ab + 4a2) Si se te dificulta obtener los términos que van dentro del paréntesis, también puedes dividir la expresión original entre el máximo común factor o simplemente resta los exponentes del ejercicio original con la literal común. El otro método es dividir.
Para entender la factorización vamos a definir los conceptos y mostrar ejemplos sencillos para después elaborar operaciones más avanzadas. Primero, un “factor” es cada uno de los números que se multiplican para formar un producto, podemos decir que es la operación opuesta a la multiplicación.
Podemos ilustrar esa explicación buscando todos los posibles factores del 12.
En otras palabras (2) (2) (3) = 12, por lo que los factores de 12 son 2, 2, 3, o dependiendo los factores que necesitemos podemos usar el 4 y 3, etc.
Veamos otros ejemplos:
(3) (5) = 15 por lo que los factores de 15 son 3 y 5
(2) (3) (7) = 42 por lo que los factores de 42 son 2, 3 y 7
(5) (7) = 45 por lo que los factores de 45 son 7 y 5
Factor común
Cuando un número entero divide exactamente a dos o más números dados sin dejar un residuo le llamamos “factor común”, para ilustrar este ejemplo hay que buscar los factores de 6, 10 y 30.
6 = (2)(3)
10 = (2)(5)
30 = (2)(3)(5)
En los ejemplos anteriores nuestro “factor común” es el 2 porque cada uno de estos números es divisible entre 2 y no deja residuo.
Para poder obtener los factores de una expresiones algebraicas donde ya se incluyen literales (letras) hay que entender y dominar estos conceptos primero usando números. Puedes llevar a cabo los siguientes ejercicios.
Obtén los factores y el “factor común” de las siguientes cantidades.
La pendiente en algebra es la inclinación de una recta representada en el plano cartesiano y es necesaria para resolver las ecuaciones lineales planteadas con la fórmula:
y = mx + d
Las preguntas relacionadas con la pendiente pueden variar mucho y presentárselas en diferente formato por lo que es importante que aprendan a obtenerla e identificarla usando los siguientes métodos.
1. Aplicando la fórmula
2. Obtenerla viendo las coordenadas
3. Usando el plano cartesiano
4. Identificarlas en las funciones
De los métodos anteriores ya deben estar familiarizados con el primero y el tercero, ese tema se explica en “pendiente”, entender ese tema les va a facilitar la siguiente explicación.
Si tenemos las siguientes coordenadas m (3, 4) n (1, 0) y sabemos que la fórmula es:
Paso I
Asignar valores de las variables (letras) que estan en la fórmula a las coordenadas y nos quedan de la siguiente manera: (Hay que tenerpresente que el primer número de cada coordenada representa las «x» y el segundo siempre va a representar las «y»).
Paso II
Sustituir valores aplicando la fórmula y resolvemos.
SEGUNDO MÉTODO
En la medida en que se familiaricen y resuelvan sin problema la fórmula de la pendiente van a tener la habilidad de obtenerla solo viendo las coordenadas y sin aplicar la fórmula. Digamos que lo hagan mentalmente y eso requiere práctica y sobre todo dominio de las operaciones de números en signos.
La mejor forma de aplicar este método es visualizar los valores mentalmente y tener presente que solo deben restar y al final solo simplifican o dividen la fracción.
La parte difícil se va a presentar cuando se presenten valores negativos, analicen los siguientes ejemplos y vean como los signos cambian el valor de la pendiente.
La operación mental que debes hacer es 4 – 0 y 3 – – 1 te queda 4/4 y eso es = 1
Recuerda, es siempre – – 1 porque un signo es de la fórmula y otro es el del – 1 y cuando tenemos dos signos negativos juntos se multiplican.
La operación mental que debes hacer es restando las «y» es 4 – 0 y restando las «x» – 3 – – 1 = 4/–2 = – 2
La operación mental que debes hacer es restar las «y» – 4 – 0 = – 4 y restar las «x» 3 – – 1 = 4 al acomodar – 4/4 = -1
Para desarrollar esta habilidad no hay más que practicar y tratar de hacerlo lo más rápido y asertivamente posible, esto te va a permitir contestar en menor tiempo.
TERCER MÉTODO
Identificar la pendiente en el plano cartesiano cuando te presentan una recta numérica donde no necesariamente se te van a indicar las coordenadas como el ejemplo siguiente:
PASO I
Visualizar las coordenadas, que son los puntos donde se cruzan los puntos y atraviesa la recta.
PASO II
Elegir un par de coordenadas y aplicar el método para obtener la pendiente visualizando un triángulo rectángulo. Se cuentan las unidades (cuadros en y) y las unidades en x. Se representan en forma de fracción poniendo el valor en «y» en el lugar del numerador y el de «x» en el lugar del denominador.
PISTA: Se puede usar cualquier par de coordenadas y la respuesta va a ser siempre la misma.
CUARTO MÉTODO
Otra forma de identificar la pendiente es en las funciones que es la representación de las coordenadas en una tabla o relación de datos. En el siguiente ejemplo usamos las coordenadas de la imagen anterior, solo se escriben en la columna de la izquierda los valores de “x” y en la derecha el valor correspondiente a “y”. También es posible que en lugar de la «y» este el símbolo ʄx que indica que esos datos son una función en «x».
Si pones atención puedes identificar que el cambio en “y” representa la pendiente que en la imagen anterior es «2», solo hay que tener presente que siempre que el cambio en la relación de«x» se de uno en uno, la «pendiente» va a ser el cambio que esta representado en «y» o ʄx.
Si solo te presentan una función, como el caso anterior, no es necesario aplicar la fórmula de la pendiente. Solo hay que identificar la diferencia entre un número y otro en la columna de las “y”, esa es la pendiente. De hecho, puede haber problemas donde este método facilite la solución de la fórmula y = mx + d, donde “m” representa la pendiente.
Ahora, en caso de que el cambio en «x» no sea de uno en uno, solo tienes que identificar el cambio que hay en la relacion de «y», lo escribes en el lugar del numerador, después identifica el cambio en «x» y lo escribes en el lugar del denominador. Como se esta representando en forma de fracción. Algunas veces va a ser necesario simplificar o dividir.
Practica con el siguiente ejemplo, primero identifica el cambio en «x», si va de dos en dos, de tres en tres, de cinco en cinco, etc.
Una vez que lo identifiques escribelo en el lugar del denominador.
Después identifica el cambio en «y» y escribelo en el lugar del númerador.
En este ejemplo tu pendiente debe ser 2/3 porque el cambio en «y» es de dos en dos y el cambio en «x» es de tres en tres.
Ahora hay que obtener la pendiente con este otro ejemplo:
En este caso hay que simplificar después de obtener los cambios te debe quedar 2/4 y esta respuesta hay que simplificarla (si no sabes como simplificar, revisa este tema) y la respuesta final debe ser ½.
Últimos tips, siempre que los valores en «y» sean de cero en ambas coordenadas, no hay pendiente y finalmente hay que tener presente que si la pendiente es negativa, es un poco mas difícil identificar el signo solo con los cambios en las relaciones de «x» y «y» pero se puede comprobar haciendo la operación mentalmente o aplicando la fórmula.
EJERCICIOS DE PRACTICA
Con los siguientes pares de coordenadas, obten la pendiente aplicando esos cuatro métodos, en todos te debe dar el mismo resultado y en las funciones pueden intentar por lo menos encontrar cinco coordenadas diferentes.
Al momento de contestar el examen de matemáticas se hace uso de diferentes símbolos que no se encuentran en el teclado. Para poder representarlos al momento del examen se va a tener acceso a un un botón para insertarlos en las posibles respuestas escritas.
La siguiente lista muestra cada símbolo y lo que representan.
Entre los mas comunes se encuentras los de las operaciones básicas (suma +, resta -, multiplicación x y división ÷).
Vamos a poder identificar una ecuación de segundo grado cuando exponente mayo de la incógnita (letra) es un 2.
Por ejemplo 5x2 + 7x + 6 = 0. Para resolver una ecuación cuadrática hay que hallar sus raíces para lo cual se pueden usar dos métodos, uno es factorizar el trinomio y el otro aplicando la fórmula cuadrática, expresada abajo.
Para aplicar la fórmula cuadrática hay que asignar los valores de “a, b, c” que los vamos a obtener de la ecuación de segundo grado de la forma siguiente.
Al final, video y ejercicios.
EJEMPLO I
20 – 2x2 + 3x
PASO I
Ordenar la ecuación de segundo grado este en orden ascendente e igualarlas a cero, que quiere decir del exponente mayor al menor. Por ejemplo, si tenemos 20 – 2x2 + 3x, el orden correcto es poner primero la incógnita (letra) que este elevada al cuadrado, seguida de la incógnita que no tienen exponente pero sabemos que es uno, y por último el número que no tiene incógnita. Nos quedaría de la siguiente manera:
– 2x2 +3x + 20 = 0
Como puedes observar cada término va acompañado de su signo y después de ordenarla solo se iguala a cero.
Puede haber diferentes maneras en que se exprese la ecuación de segundo grado, por ejemplo – 2x2 + 3x = – 20
En este caso hay que despejar si es necesario, tal como se hace en las ecuaciones de primer grado. Después de hacerlo tenemos:
– 2x2 + 3x + 20 = 0
(pon especial atención en el signo del número cinco ya que pasa del otro lado del signo igual con el signo contrario).
PASO II
Asignar los valores de (a, b, c) a los tres términos que componen la ecuación, donde el primer número va a ser “a”, el segundo “b” y el tercero “c” ejemplo:
– 2x2 + 3x + 20 = 0
a = – 2 b = 3 c = 20
PASO III
Una vez asignados los valores de (a, b, c) hay que sustituirlos en la fórmula cuadrática respetando tanto los signos de la fórmula como los de cada término. Con los valores anteriores queda de la siguiente manera:
PASO IV
Para resolver la fórmula cuadrática hay que empezar con las operaciones que están dentro del símbolo de radical.
Elevar el 32 = 9
Multiplicar – 4 (– 2) (20) = 160
Multiplicar los denominadores 2 (– 2) = – 4
Sumar ambos 9 + 160 = 169
Obtener la raíz cuadrada de 169 = 13 y expresa los dos posibles valores de “x”.ATENCIÓN: como la respuesta de la raíz cuadrada puede ser + o – (positiva o negativa) se expresan los dos posibles valores de “x” en uno sumando y en otro restando, es por esa razón que un 13 va a ser positivo y otro negativo.
Resolver las operaciones correspondientes para obtener los dos valores de “x”
Los valores de “x” o raíces de la ecuación cuadrática son: x =– 2 ½ y x = 4
EJEMPLO II
2 – 3x2 = 5x
PASO I
Ordenar la ecuación cuadrática (al pasar el 5x del otro lado del signo igual, cambia de signo).
– 3x2– 5x +2 = 0
PASO II
Asignar los valores de (a, b, c) en la ecuación y queda:
a =– 3
b = – 5
c = 2
PASO III
Sustituir los valores en la fórmula cuadrática. (IMPORTANTE: el valor de “b” es – 5 y la fórmula también tiene un valor negativo, por tanto se deben escribir ambos signos), quedando de la siguiente manera:
PASO IV
Multiplicar signos y números, poniendo especial atención en la multiplicación de signos. Si aun no estas familiarizado con este tema repasa MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO.
–– 5 = 5 (se multiplican los signos)
– 5 2 = 25
– 4 (– 3) (2) = 24
– 2 (– 3) = 6
Se acomodan los valores de cada operación en la fórmula cuadrática y continua resolviendo según corresponda.
PASO V
Sumar o restar los radicandos 25 + 24, y se obtiene su raíz cuadrada.
PASO VI
Separar los dos valores de la raíz cuadrada, uno va a ser positivo y otro negativo.
En la multiplicación de radicales hay que estar familiarizado con la simplificación para que se faciliten las operaciones. Una de las características importantes es que al multiplicar los radicales estos deben tener el mismo índice aunque el radicando y el coeficiente sean diferentes. También puede ser posible simplificar antes de multiplicar, lo que hace la operación más sencilla. Veamos los ejemplos:
EJEMPLO I
PASO I
Multiplicar los coeficientes 3 • 4 y los radicandos 5 • 2.
EjEMPLO II
Multiplicar después simplificar
PASO I
Multiplicar los coeficientes (3 x 4) y los radicandos (20 x 18)
PASO II
Simplificar el radicando 360
PASO III
Pasar los números elevados al cuadrado hacia afuera (en el lugar del coeficiente) y dejamos los números que no tienen ningún exponente.
PASO IV
Multiplicar los coeficientes (12 • 2 • 3) y los radicandos (5 •2)
Otro método para resolver la multiplicación es simplificar antes de multiplicar. Veamos el mismo problema
Simplificar antes de multiplicar
EjEMPLO III
Simplificar radicandos y después multiplicar
PASO I
Multiplicar los coeficientes
PASO II
Simplificar los radicandos (20 y 18) 20 = 2•2•5 y 18 = 2•3•3
PASO III
Ya que nuestro índice es 2, hay que identificar los números que se repitan dos veces y por tanto se puedan elevar al cuadrado. (Estos son el 2 y el 3)
PASO IV
Pasar los números elevados al cuadrado hacia afuera (en el lugar del coeficiente) y dejamos los números que no tienen ningún exponente.
PASO V
Multiplicar los coeficientes (12 • 2 • 3) y los radicandos (5 •2)
En algunos ejercicios puede ser más fácil simplificar los radicandos antes de multiplicar, como en el siguiente ejemplo.
Ejemplo IV
PASO I
Multiplicar los coeficientes.
PASO II
Simplificar los radicandos (24, 54 y 375) y expresar los contenidos en la parte del radicando.
PASO III
Ya que nuestro índice es 3, hay que identificar los números que estén elevados al cubo ósea la tercera potencia y ponerlos en el lugar del coeficiente dejando adentro los que no tienen ninguna potencia.
PASO IV
Pasar en el lugar del coeficiente los números que esten elevados al cubo. Se deja los números sin potencia en el lugar del radicando.
PASO V
Multiplicamos los coeficientes (30 • 2 • 3) y los radicandos (3 • 2 • 3)
Para entender un poco la simplificación de radicales hay que hacer una pequeña reseña de los exponentes y la raíz cuadrada, recuerda que si solo tenemos el signo de radical su índice es 2. En esos casos podemos usar sin problema las raíces cuadradas, por ejemplo 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100 son producto de la multiplicación de un número al cuadrado que quiere decir que su exponente siempre va a ser 2.
También es importante que aprendes las partes que forman un radical y ten presente que el ( • ) indica multiplicación
Un número elevado al cuadrado = x² (5² = 5 • 5)
Un número al cubo = x³ (5³ = 5 • 5 • 5 )
Un número a la cuarta potencia = x4 (54 = 5 • 5 • 5 • 5 )
Cuando un radical no es producto de un cuadrado perfecto, también se puede simplificar o expresar de una manera más simple, aunque si no estás familiarizado con la multiplicación y división, puede ser un poco complicado de entender. Además es indispensable que sepas los nombres y partes de un radical.
Vamos a saber que un radicar esta simplificado
Cuando ya no se puede extraer ningún factor de él (división)
Cuando no hay fracción bajo el signo radical
Cuando el índice de la raíz no puede reducirse
EJEMPLOS I
El 32 no es una raíz cuadrada perfecta por tanto lo tenemos que simplificar usando la multiplicación y división.
PASO I
Identificar el índice del radical para después obtener un valor que sea un cuadrado perfecto. (En este caso el índice es 2, recuerda cuando es 2 no se escribe), (también puede ser un número al cubo, cuarta potencia, etc.).
PASO 2
Busca los factores, esto se te puede facilitar aplicando el método para obtener el máximo común divisor y de ahí buscar el número elevado al cuadrado. La forma de hacerlo es extraer el radicando e irlo dividiendo en números primos, empezando por el 2, si no es dividible entre dos hay que usar el 3, 5, 7, 11, 13, etc.
PASO 3
Como ya sabemos que nuestro índice es 2, identificamos el número que este elevado al cuadrado (4) y lo pasamos al lugar del coeficiente. Recuerda, el exponente del 4 es 2 que está representado por el índice del signo radical.
PASO 4
Puedes comprobar que tu respuesta esta correcta elevando el coeficiente (4) usando como exponente el índice del signo radical (2) y por último multiplicarlo por el radicando. 4² • 2 = (4 • 4 • 2) = 32
EJEMPLO 2
PASO I
Identifica el índice del radical, en este caso es (2) y vamos a buscar un número elevado al cuadrado.
PASO 2
Busca los factores esto se te puede facilitar aplicando el método para obtener el máximo común divisor y de ahí dentifica el cuadrado perfecto.
PASO 3
Como ya sabemos que nuestro índice es 2, identificamos el número que este elevado al cuadrado y lo pasamos al lugar del coeficiente. Recuerda, el exponente del 3 es 2 que está representado por el índice del signo radical.
PASO 4
Puedes comprobar que tu respuesta esta correcta elevando el coeficiente (3) usando como exponente el índice del signo radical (2) y por último multiplicarlo por el radicando. 3² • 2 = (3 • 3 • 2) = 18
EJEMPLO 3
PASO I
Identificar el índice de la raíz para obtener un número elevado al cubo porque el índice del radical es 3.
PASO 2
Busca los factores, esto se te puede facilitar aplicando el método para obtener el máximo común divisor y de ahí buscar un número elevado al cubo.
PASO 3
Como ya sabemos que el índice del radical es 3, identificamos el número que este elevado al cubo (23 ) y lo pasamos al lugar del coeficiente. Recuerda, el exponente del 2 es el 3 y está representado por el índice del signo radical.
PASO 4
Puedes comprobar que tu respuesta esta correcta elevando el coeficiente (2) usando como exponente el índice del signo radical (3) y por último multiplicarlo por el radicando. 2³n 2 = (2 • 2 • 2 • 2 = 16
EJEMPLO 4
PASO I
Identificar el índice de la raíz para obtener un número elevado a la cuarta potencia porque el índice de la raíz es 4.
PASO 2
Busca los factores, esto se te puede facilitar aplicando el método para obtener el máximo común divisor y de ahí buscar un número elevado a la cuarta potencia.
PASO 3
Como ya sabemos que el índice del radical es 4, identificamos el número que este elevado a la cuarta potencia (34 ) y lo pasamos al lugar del coeficiente. En este ejemplo ya tenemos un coeficiente (2), solo pasamos a la parte de afuera el otro coeficiente multiplicando (2 • 3).
PASO 4
Multiplica ambos coeficientes 2 • 3 = 6 y representa tu respuesta.
PASO 5
Comprueba tu respuesta elevando el coeficiente (6) usando como exponente el índice del radical (4) y por último multiplícalo por el radicando.
64 • 3 = (6 • 6 • 6 • 6 • 3) = 3888.
Si resuelves la expresión inicial , elevando el 2 a la cuarta potencia y multiplicándolo por 243, podrás ver que te da la misma respuesta.
Los radicales solemos asociarlos con la “raíz cuadrada” pero esta es solo una parte de todo lo que comprende un radical que puede expresarse de diferente manera representando en cada una operaciones diversas, por ejemplo a todas estas expresiones las conocemos como “radicales”.
Partes de un radical
En la imagen, el tres es el radicando y el cuatro el índice, lo que se debe obtener es la cuarta raíz de tres.
Cuando tenemos expresiones sin el índice, indica que el índice es “2”, lo que conocemos como raíz cuadrada, por ejemplo: , en todos estos ejemplos, aunque no lo veas, el índice es “2” y generalmente no se escribe.
Es importante tener presente la respuesta de cualquier “raíz cuadrada” puede ser positivo o negativo y para eso usamos el símbolo «mas menos». Para entender ese concepto veamos el siguiente ejemplo:
(–5 )2 = 25
( 5)2 = 25
Pon mucha atención en el primer ejemplo al elevar el -5 al cuadrado tenernos (-5) (-5) = 25 porque multiplicas el signo y recuerda que los paréntesis representan una multiplicación.
Por esa razón la respuesta a la raíz cuadrada de ,, puede ser 5 y – 5, también se puede representar y se lee “mas menos 5”. Por lo general siempre se va a obtener la raíz positiva, a menos que se indique otra cosa, se recurre al signo negativo.
El coeficiente en los radicales
El coeficiente se representa escribiendo un número o letra enfrente de otro (2x, az,) significa 2 por “x”, y “a” por “z”. Entonces el 2 es coeficiente de “x”, “a” es el coeficiente de “z”.
Esto mismo aplica con los radicales, si tenemos significa 8 por , también se lee 8 es el coeficiente de . Otros ejemplos
Radicales semejantes
Los radicales son semejantes cuando tiene el mismo índice y el mismo radicando, no importa que el coeficiente sea diferente. Por ejemplo, son radicales semejantes, todos tienen como índice el tres y radicando el 4 aun cuando sus coeficientes sean diferentes.
Cuando un radical no tiene coeficiente, se sobreentiende que es el 1, por ejemplo tienen como coeficiente el número 1.
Suma y resta de radicales
Para poder sumar o restar radicales, estos deben ser semejantes, quiere decir que deben compartir el mismo índice y radicando; también hay que estar familiarizados con la suma y resta de números con signo para poder realizar estas operaciones.
Ejemplos:
Si tienes dificultad para entender las respuestas, ve la operación sin la raíz. Recuerda que si no hay un número antes del signo de raíz, ese número es 1.
Las graficas son la representación sintetizada de una base de datos que tienen una relación entre sí. Los formatos más comunes de representar esos datos son usando las graficas de barras, lineales y circulares.
Para la grafica de barras y las lineales vamos a usar las coordenadas y dibujar barras horizontales o verticales donde la escala es proporcional a los datos que representa.
EJEMPLOS
Los siguientes datos representan el desempeño de 11 estudiantes al contestar seis preguntas. Para graficar estos datos vamos a usar las coordenadas.
Para representar los datos en una grafica, vamos a poner en la línea horizontal el número que representa los estudiantes y en la línea vertical el número de pregunta.
También puede graficarse poniendo el número de pregunta en la línea horizontal y el número que representa a los estudiantes en la línea vertical.
Si quisiéramos incorporar mas información a la grafica, podríamos usar dos colores y representar mas datos, por ejemplo cuales de esos estudiantes fuero hombres y cuales mujeres. En la tabla inicial, las F = mujeres y la M= hombres. La grafica quedaría así:
Como puedes ver, esta grafica es casi idéntica a la anterior, solo que contiene dos colores, que indican el género de cada estudiante, de esta manera estamos incluyendo más información en la misma grafica sin necesidad de hacer dos separadas.
Estas graficas pueden representarse de manera horizontal, quiere decir que las barras no estarían paradas si no quedarían de la siguiente manera y si observas con cuidado y revisas los datos te vas a dar cuenta que las últimas dos graficas representan la misma información lo único que cambia es la dirección de las barras.
EJERCICIOS DE PRACTICA
La siguiente tabla muestra los datos demograficos de las personas que vieron nuestros videos en el canal de Youtube durante 30 días, el total de vistas fue de 62,495.
Identifica la siguiente información:
1. ¿Qué porcentaje de usuarios son mujeres?
2. ¿Qué porcentaje de usuarios tienen una edad entre 45 a 54 años de edad en los Estados Unidos?
3. ¿En qué país es mas alto el nivel de usuarios de entre 13 y 17 años de edad?
4. De acuerdo con los datos de la gráfica, se puede deducir que en Chile los videos del canal son mas populares entre las edades de:
5. ¿Entre qué edades es mas popular el canal en cada país?
Si ya has estudiado los PORCENTAJES, puedes obtener la siguiente información:
6. ¿Cuántas personas del sexo masculino de entre 35 y 44 años de edad vieron los videos durante ese periodo?
7. ¿Cuántas personas mayores de 65 años vieron videos?
8. ¿Cuál fue el número mas elevado de visitas en cada país y a qué edades corresponde?
9. ¿Cuántas mas personas, de entre 45 a 54 años vieron los videos, en Estados Unidos que en Chile?
Un formato común para representar datos son las graficas lineales, de barras y circulares, siendo estas tres las mas comunes. Sin embargo, el nuevo examen del GED incluye otro tipo de gráfica llamado «diagrama lineal» e incluye la representación de datos marcados con la letra «x» sobre una línea.
A los maestros les recomiendo que realicen esta actividad con sus estudiantes para que se familiaricen con este tipo de formato y la forma de representarlo. Aun cuando las preguntas pueden ser planteadas de diferente manera, los elementos más importantes a considerar son, en este caso, el número de preguntas y estudiantes.
Al finalizar la clase suelo asignar un número a cada estudiante, les presento ciento número de preguntas relacionadas con el tema visto, en este ejemplo son cinco. Después de cada pregunta cada estudiante indica si su respuesta fue correcta y la marco en una tabla, presentada abajo.
Los números rojos indican el número de pregunta; los azules, los estudiantes.
Veamos como representarlas de acuerdo al formato planteado en el Nuevo examen del GED.
PASO I: Dibuja una línea y bajo ella los números del uno al cinco, que van a indicar el número de preguntas correctas que obtuvo cada estudiantes.
PASO 2: Contar el número de preguntas correctas que obtuvo cada estudiante, empezando por el primero. En este caso el estudiante No. 1 obtuvo 4 preguntas correctas y vamos a marcar una x en el numero 4.
Pasa al estudiante No. 2, obtuvo 4 correctas, marca otra x arriba del 4, el estudiante No. 3 obtuvo una correcta, marcas una x arriba del 1, y asi sucesivamente.
Al terminar, queda de la siguiente manera e indica que un estudiante obtuvo una pregunta correcta, siete, cuatro buenas y tres cinco buenas. Como puedes ver en la parte superior de la línea hay 11 “x” que indica el total de los estudiantes. Sencillo, verdad!
Es posible que en el examen solo te pidan representar esta grafica o si está incompleta, que incorpores las “x” que hagan falta. También pueden evaluarte la MODA, MEDIANA, MEDIA –promedio- o RANGO. En ese caso coincide que todos van a ser 4.
MODA = 4
MEDIANA = 4
RANGO= 4
MEDIANA o PROMEDIO = 4
En este último, multiplicas 1(1) + 4 (7) + 5 (3) y el resultado lo divides entre 11 que fue el total de estudiantes y la respuesta es 4.
EJEMPLO II
Otra actividad que puedes realizar es tomar el record de las millas que caminas durante 7 días. (si tienes un Iphone, baja la aplicación de Argus) si no solo invéntate los datos redondeado a enteros y grafícalos.
En los últimos 7 días yo camine: 2, 6, 1, 2, 2, 5, 4
En este caso no se presenta tabla, simplemente los datos, no importa en que día fue, solo que son los últimos 7 días. Para hacer la tabla, nos vamos en el rango de numero que tenemos que van del 1 al 6.
Para representarlo, dibujamos la línea y la cantidad de millas en la parte de abajo, en este caso, van del 1 al 6
En este caso, las x representan los días, y como un día camine una milla, pongo una “x” arriba del 1, tres días camine 2 millas, van tres “x”. Otra “x” va encima del 4, porque solo un día camine cuatro millas, y así sucesivamente hasta representar todos los días. En este caso, las “x” representan los días aunque no se especifique que día.
Una vez que estudies estos conceptos y definiciones, te vas a dar cuenta que el mas fácil es la moda que en este caso es el 2.
El RANGO es también fácil de obtener, solo restas 6 – 1 = 5
Para obtener la mediana, si ordenas los números en orden tenemos
1, 2, 2, 2, 4, 5, 6
Ten presente, si tuviéramos solo 6 datos, digamos que tenemos 2, 2, 2, 4, 5, 6 en este caso seleccionamos los dos números que quedan en medio y los dividimos en dos, en este caso la mediana es 3.
Por último el promedio o media, en este caso sumas todos los datos (1 +2 + 2 + 2 +4 + 5 + 6) ÷ 7 = 3.1
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Los siguientes ejercicios van a variar en cada caso y vas a iniciar colectando los datos o inventando la información para después graficarla.
1. Elabora 10 ejercicios al azar de cualquier tema que quieras practicar durante 7 días, registra tu desempeño como se muestra en la primera grafica. (a la izquierda puedes poner el número de pregunta y en la parte superior los días). Una vez que tengas los datos, grafícalos usando el formato de las “x”.
2. Registra el cambio de temperatura durante cinco días, usando la temperatura máxima como parámetro. En este caso los valores de la recta puedes ser más grande, dependiendo de los grados que cambie la temperatura de un día a otro.
su índice es 2. En esos casos podemos usar sin problema las raíces cuadradas, por ejemplo 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100 son producto de la multiplicación de un número al cuadrado que quiere decir que su exponente siempre va a ser 2. 
recuerda cuando es 2 no se escribe), (también puede ser un número al cubo, cuarta potencia, etc.). 
a todas estas expresiones las conocemos como “radicales”. 
, en todos estos ejemplos, aunque no lo veas, el índice es “2” y generalmente no se escribe.
«mas menos». Para entender ese concepto veamos el siguiente ejemplo:
, puede ser 5 y – 5, también se puede representar y se lee “mas menos 5”. Por lo general siempre se va a obtener la raíz positiva, a menos que se indique otra cosa, se recurre al signo negativo.
significa 8 por 
, también se lee 8 es el coeficiente de . Otros ejemplos
son radicales semejantes, todos tienen como índice el tres y radicando el 4 aun cuando sus coeficientes sean diferentes.
tienen como coeficiente el número 1.
