Si tenemos dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas podemos buscar en punto de intersección de ambas aplicando tres métodos: de igualdad, de sustitución y de reducción (suma o resta).
Antes de continuar con el tema, revisa los temas previos
En esta ocasión vamos a revisar el método de sustitución para lo cual vamos a seguir los siguientes pasos.
1) 2x + y = 7
2) x + 3y = 11
PASO I
Elegir una de las ecuaciones y despejar una de las variables, en este caso vamos a despejar la “y” de la ecuación 1.
2x + y = 7 Despejando tenemos y = 7 – 2x
PASO II
El valor de “y” (7 – 2x) se sustituye en la ecuación 2 y tenemos:
x + 3(7 – 2x) = 11
PASO III
Resolvemos para encontrar el valor de “x”
x + 21 – 6x = 11
–5x = 11 – 21
x = – 10 ÷ – 5
x = 2
PASO IV
Sustituimos el valor de “x” en cualquiera de las ecuaciones
2 + 3y = 11
3y = 11 – 2
3y = 9
y = 9 ÷ 3
y = 3
El punto donde se cruzan ambas rectas es (2, 3)
Para comprobar se pueden asignar diferentes valores a la “x” o a la “y” en ambas ecuaciones
Representando las funciones en el Plano Cartesiano las rectas quedan de esta manera:
La multiplicación de fracciones es más sencilla de lo que parece y con un par de tips se puede facilitar la tarea.
En esta ocasión vamos a revisar como multiplicar tres fracciones y lo único que hay que tener en mente simplemente multiplicar numeradores con numeradores y denominadores con denominadores.
Ejemplo I
PASO I
Multiplicar todos los numeradores entre si y los denominadores
(1x2x1 = 2)
(2x3x5 = 30)
PASO II
Simplificar si es necesario, esto es buscar un número que divida al numerador y el denominador sin dejar residuo. En este caso va a ser el número 2.
Otro método para resolverlas es simplificar antes de multiplicar, esto puede facilitar el procedimiento si se trata de número muy grandes.
Ejemplo II
PASO I
Para simplificar hay que buscar un número que divida el numerador y el denominador de dos fracciones diferentes. En este caso el 4 y el 8 se dividen entre 4 y el 7 con el 7 se dividen entre 7.
PASO II
Dividir respectivamente.
PASO III
Multiplicar los numeradores y los denominadores
La respuesta ya está simplificada y no hay que hacerlo al final.
Una “escala” aplicada a geometría o cualquier representación que incluya distancias y dimensiones nos permite presentar proporciones aplicables a un mapa, plano o incluso cantidades.
Los sistemas de medidas que se empleen casí siempre van a pertenecer a la misma familia, quiere decir que si en el dibujo de un mapa se usan centímetros, en la distancia real van a equivaler a metros o kilómetros. Por el contrario, si se usa el sistema ingles se pueden usar pulgadas, pies, yardas o millas.
A continuación tenemos dos ejemplos de esos sistemas de medida. Pensemos que las figuras representan dos mapas, en el chico el largo mide 1 cm; en el grande es de 2 kilómetros. Quiere decir que por cada centímetro que haya en la figura chica, van a recorrer dos kilómetros en la figura grande.
Una escala siempre puede variar, dependiendo que “factor de escala” se use, no es otra cosa que la equivalencia que se esta usando. Para obtenerlo es muy sencillo, simplemente se identifican los valores o medidas que están en la misma posición de ambas figuras (pueden ser mapas, planos, figuras geométricas, etc.).
Una vez identificadas dichas medidas, se divide el valor de la mas grande entre la mas chica. Usando el ejemplo anterior dividiríamos 2 entre 1 y la tendríamos que el factor de escala que se uso es 2.
No necesariamente va a ser así de sencillo. Veamos otro ejemplo:
En este ejemplo el ancho de la figura pequeña es 3 pies y el ancho de la figura grande es 8 millas. Esto nos indica que por cada 3 pies que se recorren en la figura chica, va equivaler a 8 millas en la figura grande. Para obtener el factor de escala hay que dividir 8 entre 3 y la respuesta es 2 enteros con 1/4 o en decimales 2.25.
Encontrar el factor de escala es de mucha utilidad ya que una vez que se tiene, se pueden encontrar otras medidas que quizás se desconocen solo hay que seguir las siguientes reglas. (Recuerda, los valores deben estar en la misma posición en ambas figuras).
Para obtener una medida de la figura grande y se tiene el valor de la figura chica se multiplica dicho valor por el factor de escala.
Para obtener una medida de la figura chica y se tiene el valor de la figura grande se divide dicho valor entre el factor de escala.
Por tanto para encontrar la equivalencia en millas de la figura grande solo multiplicamos 4 pies por el factor de escala y la respuesta debe ser 9 millas.
Preguntas de practica:
Responde la pregunta 1, 2 y 3 con la información presentada en la imagen.
1. Identifica el factor de escala de la siguiente figura.
2. ¿Cuál es el valor de m?
3. ¿Cuál es el valor de n?
4. La distancia real entre dos ciudades es de 45 kilometros, si un estudiante quiere dibujar el mapa a escala, ¿qué factor de escala estaría usando si la distancia en el mapa del dibujo es de 5cm?
Para entender la división en algebra hay que saber dividir números naturales ya que se siguen los mismos pasos que una división regular. Además de eso es importante saber y dominar los siguientes temas:
Una vez repasados esos temas hay que aprender las partes de la división y los pasos a seguir.
Ejemplo
3m2 – 13m – 10 entre m – 5
PASOS I Ordenar el dividendo y el divisor en relación a la incógnita o letra (del exponente mas grande al mas chico. Poner dentro el dividendo y fuera el divisor.
PASO II Dividir el primer término del dividendo (3m2) entre el primer término del divisor (m). La respuesta se pone en la parte superior y es el primer termino del cociente.
PASO III Se multiplica el primer termino del cociente que se obtuvo de la división (3m) y después multiplica por todo el divisor (m – 5). La respuesta se escribe bajo el dividendo en el termino que corresponda para restarlo. IMPORTANTE: como se va a restar, se cambia el signo. Las respuestas de la multiplicación fueron 3m2 y – 15m, las escribimos – 3m2 y 15m.
PASO IV Se restan los terminos semejantes y el -10 se baja, nos queda 2m – 10.
PASO V Una vez que restamos, dividimos el primer término de la respuesta (2m) entre el primer término del divisor (m) y lo colocamos con su signo en la parte superior (lugar del cociente).
PASO VI Este segundo término del cociente (2) se multiplica por todo el divisor (m – 5) y la respuesta se resta del dividendo, recuerda!!!! Cambiando el signo.
Al restar nos queda cero. Y podemos hacer la comprobación multiplicando (m – 5) por (3m + 2)
Área I, un 25% incluye solucionar problemas cuantitativos con números racionales (fracciones)
Colocar en orden fracciones y decimales, poder identificarlos en la recta numérica.
Aplicar propiedades numéricas (conmutativa, asociativa, identidad de la suma, inverso aditivo, distributiva) que implican múltiplos y factores.
Simplificar expresiones numéricas con exponentes racionales (fracciones).
Identificar el valor absoluto de un número racional en términos de su distancia del 0 en la recta numérica y determinar la distancia entre dos números racionales en la recta numérica.
Hacer cálculos con números racionales y resolver problemas con números racionales (fracciones).
Escribir y hacer cómputos con expresiones numéricas con cuadrados y raíces cuadradas, cubos y raíces cubicas de números racionales positivos
Determinar cuándo una expresión numérica es indefinida.
Calcular tasas unitarias.
Usar factores de escala para calcular la magnitud de un cambio de tamaño y convertir de dibujos reales a dibujos a escala.
Resolver problemas aritméticos con dos pasos del mundo real que implican índices, proporciones y porcentajes.
Área II, un 20% incluye la solución de problemas cuantitativos en medidas
Calcular el área y el perímetro de varias formas: triángulos, rectángulos, polígonos y figuras compuestas
Encontrar las longitudes de los lados de triángulos, rectángulos y polígonos cuando se da el área o el perímetro (despejar formulas).
Calcular el área y la circunferencia de círculos y encontrar el radio o el diámetro cuando se da el área o la circunferencia.
Usar el teorema de Pitágoras (a2 + b2 = c2) para determinar las longitudes desconocidas de los lados de un triangulo recto o buscar el valor de la hipotenusa.
Calcular el volumen y el área de superficie de prismas y pirámides rectangulares, cilindros, conos, esferas y figuras compuestas.
Resolver la altura, el radio, el diámetro o las longitudes de los lados de cilindros, conos, y pirámides rectangulares cuando se da el volumen o área de superficie.
Representar, desplegar e interpretar datos categóricos en graficas de barra, graficas de circulo, grafica de puntos, histogramas, diagramas de caja, tablas y diagramas de dispersión.
Calcular la media, mediana, moda, rango y promedio ponderado; calcular el valor de un dato faltante cuando se proveen el promedio o los demás valores.
Usar técnicas de conteo para resolver problemas y encontrar combinaciones y permutaciones.
Determinar la probabilidad de eventos simples y compuestos.
Área III, un 30% incluye la solución de problemas algebraicos con expresiones y ecuaciones
Calcular expresiones lineales.
Evaluar expresiones lineales, polinomios y racionales.
Crear ecuaciones cuadráticas y expresiones lineales, ecuaciones y desigualdades con las descripciones escritas que se ofrezcan.
Calcular y factorizar con polinomios.
Calcular expresiones racionales.
Crear expresiones racionales con las descripciones escritas que se ofrezcan.
Resolver problemas algebraicos y de la vida real que implican ecuaciones lineales.
Resolver problemas algebraicos y de la vida real que implican un sistema de dos ecuaciones lineales.
Resolver problemas aritméticos y de la vida real con desigualdades y trazar graficas de las soluciones en una recta numérica.
Resolver ecuaciones cuadráticas en una variable.
Área IV, un 25% incluye solución de problemas algebraicos con gráficas y funciones
Ubicar puntos y trazar graficas de ecuaciones lineales en el plano de coordenadas.
Encontrar la pendiente de una línea de una gráfica, ecuación o tabla.
Entender que una tasa unitaria es equivalente a una pendiente en una relación proporcional.
Para una relación lineal o no lineal, trazar gráficas e interpretar las características clave de graficas y tablas en términos de cantidades.
Escribir la ecuación de una línea con una pendiente dada a través de un punto dado.
Escribir la ecuación de una línea con una pendiente dada a través de un punto dado.
Escribir la ecuación de una línea que atraviesa dos puntos específicos dados.
Usar la pendiente para identificar líneas paralelas y perpendiculares, y para resolver problemas geométricos.
Comparar dos relaciones proporcionales distintas o dos funciones lineales o cuadráticas cuando cada una de ellas se representa de manera distintas
Usando una tabla o gráfica, representar o identificar que una función tiene exactamente un egreso por cada ingreso
Evaluar funciones lineales y cuadráticas.
Las nuevas preguntas del examen de matemáticas varían en formato, en algunas hay que elaborar las gráficas, escribir la respuesta e incluye preguntas con problemas verbales, las siguientes preguntas sirven de practica pero para familiarizarse con el formato de las nuevas preguntas visitar: Nuevo examen
Todos las preguntas presentadas a continuación son temas que también se incluyen en el examen.
1. Marcos trabajo 30 horas esta semana y gano a $7.50 por hora. Su amigo Andrés gano a $9.00 por hora. ¿Cuántas horas debió trabajar Andrés para igualar el ingreso de Marcos en 30 horas?
a) 30
b) 25
c) 28
d) 20
e) 27
2. Laura quiere saber cuánto representan en °F, 22 °C; si utiliza la siguiente formula, ¿qué resultado obtendrá redondeado a la unidad mas proxima?
a) 60 °F
b) 58 °F
c) 65 °F
d) 72 °F
e) 75 °F
3. Carlos llena su tanque con 32 galones, si le queda ¼ de tanque, ¿cuántos galones ha usado?
a) 8
b) 16
c) 30
d) 28
e) 24
4. Leticia tiene un terreno que mide 49cm cuadrados, ¿cuánto mide cada lado del terreno si forma un cuadrado perfecto?
a) 12.25
b) 7
c) 24.5
d) 7.5
e) 8
5. Obtén el área de la siguiente figura
6. Si Armando tiene un trozo de madera que mide 8 pies, ¿cuántos trozos de 3 pulgadas puede obtener? (1 pie = 12 pulgadas)
a) 90
b) 28
c) 30
d) 32
e) 25
7. El matrimonio Martínez quiere poner una pequeña albarca en su patio, si quieren que mida 6 metros de diámetro y 1.5 metros de profundidad, ¿Cual es el volumen total de la alberca?
a) 10.59
b) 4.5
c) 28.26
d) 42.39
e) 4.71
8. ¿Cuál es el interés ganado con un capital de $7,000.00 al 14% anual en 15 meses?
a) $1,200.00
b) $980.00
c) 1,225.00
d) $245.00
e) $2,940.00
9. Si Melisa usa 3 tazas de harina para preparar 2 tartas, ¿cuántas tazas necesitara para preparar 5 tartas?
a) 6 ¼
b) 5
c) 7
d) 9
e) 7 ½
10. Un poste de 25 pies forma una sombra de 15 pies de largo a cierta hora del día. Si quieren poner un cable de tensión que baya de la punta del poste al extremo donde termina la sombra, ¿cuánto debe medir el cable de tensión? Redondea tu respuesta a la unidad más cercana.
a) 39 pies
b) 29 pies
c) 33 pies
d) 25 pies
e) 35 pies
11. En un triangulo rectángulo el ángulo “a” mide (3x-15) y el ángulo “c” mide (x+25). ¿Cuál es la medida del ángulo “a”?
a) 20
b) 80
c) 45
d) 60
e) 65
12. Julia tiene 40 pies de tela para diseñar una cortinas, si cada cortina va a medir 2 pies con 6 pulgadas. ¿Cuántas cortinas puede hacer?
a) 12
b) 18
c) 6
d) 16
e) 18
13. Estefania necesita 8 segmentos de tela para hacer unas servilletas, si quiere que cada servilletero mida 1 pie con 9 pulgadas. ¿Qué cantidad de tela necesita? Representa tu respuesta en pies.
a) 22
b) 21
c) 14
d) 15
e) 12
14. Evalué
a) -16
b) 2
c) 16
d) 12
e) -2
15. Evalué
a) 649
b) 625
c) 607
d) 36
e) 663
16. La medida de los ángulos de un triangulo tiene una razón de 3:2:1. ¿Con cuál expresión se puede obtener la medida del ángulo menor?
a) 6 = 180
b) x + 2x + 2x = 180
c) 180 = 3x + 2x + 2x
d) x = 180/6
e) 3:2:1= 180
17. En un determinado momento del día, una persona de 6 ½ pies de altura proyecta una sombra de 4 pies. Al mismo tiempo, un poste proyecta una sombra de 25 pies. ¿Qué altura, en pies, tiene el poste?
a) 40 5/8
b) 42
c) 40 ¼
d) 45
e) 40 ½
18. Una casa y un terreno cuestan $150,000.00. Si la casa cuesta el doble que el terreno, ¿cuánto cuesta la casa?
a) $50,000
b) $100,000
c) $75,000
d) $40,000
e) $110,000
19. El área de un circulo es 28 centimetros cuadrados, calcule la medida aproximada del radio.
a) 9 cm
b) 8 cm
c) 4 cm
d) 3 cm
e) 5 cm
20. ¿Cuál expresión muestra el volumen de la siguiente figura si de largo mide “y” y un lado de su base cuadrangular es de 6?
21. Obtén el perímetro de la siguiente figura.
22. Si en un juego de foot ball el equipo anfitrión obtuvo el triple de puntaje que el equipo visitante, cual expresión muestra el puntaje del equipo visitante si el puntaje de ambos equipos fue de 132?
23. Calcula el área de la siguiente figura.
24. Representa la siguiente cantidad en notación científica .000048
25. Juan y Marcos viajaron en línea recta, mientras Juan se dirigió hacia el norte 25 millas mientras Marcos manejo 32 millas hacia el este. Una vez que se detienen, ¿aproximadamente, qué distancia los separa a ambos?
a) 45 millas
b) 40 millas
c) 38 millas
d) 50 millas
e) 57 millas
26. Adela organizo la fiesta de cumpleaños de su hija. Si acudieron 18 adultos y 20 niños, ¿cuál es la razón de niños a adultos?
18 y 20
4 a 5
9:10
10 a 9
8:10
27. Un rectángulo mide 3x de ancho y 8x de largo. ¿Cuál es el área del rectángulo?
28. En un triangulo rectángulo un ángulo mide 10˚ mas que el más chico. ¿Cuál expresión expresa la medida del ángulo más chico?
(10 + x) + 90 = 180
x + 2x + 90 = 180
x + (x – 10) + 90 = 180
x (x + 10) + 90 = 180
(x + 10) + x + 90 = 180
29. La arista de un cubo mide 4x. ¿Cuál es el volumen del cubo?
30. Un tráiler va a ser cargado con 10 cajas cuadradas de 5 pies cada una. Si las dimensiones del tráiler son de 40 pies de largo y 8 de ancho y 10 de altura. ¿Cuánto espacio libre queda en el tráiler?
31. Si el área de un rectángulo es de 18 y su base es el doble que lo ancho. ¿Cuánto mide cada uno respectivamente?
2 y 4
3 y 9
2 y 6
3 y 6
4 y 8
Extensión de litorales (km)
FUENTE: INEGI. México en el Mundo.
32. ¿Cuál es la diferencia de litorales entre México y Perú?
33. ¿Cuál es la mediana de la extensión litoral de estos países?
34. ¿Qué distancia hay entre el punto M y O?
35. Encuentra el valor de la siguiente expresión
36. Si el área de un círculo es de 200.96. ¿Cuál expresión permitiría encontrar el radio?
37. ¿Cuál es la moda de los gastos que son considerados muy caros?
38. ¿Cuál es el promedio de número de personas que consideran que los bienes y servicio servicios son muy caros?
39. ¿Cuál es la razón de las personas que consideran que el gasto en alimentos es muy caro con las que consideran que es justo?
40. Obtén la mediana de las personas que consideran que los bienes y servicios son justos.
41. Una carnicería necesita surtir un pedido de 15 ¼ de libras de carne, y solo cuenta con 1/3 de esa cantidad. ¿Cuánta carne le hace falta completar el pedido?
42. Martha va a cocinar una olla de pozole cuyas dimensiones son 50 cm de altura y tiene un radio de 3 cm. Si solo llena ½ de olla con agua. ¿Qué espacio queda vacio?
43. Armando tiene dos trabajos de medio tiempo. Por las mañanas cubre un horario de 8:30 a 12:15p.m y por las tardes de 5:00 a 9:30 pm. (Descansa sábados y domingos). ¿Cuántas horas trabajo en las últimas dos semanas?
44. Si le pagan a 13 dólares la hora, ¿cual expresión muestra cuanto gano en esas dos semana?
(4 ¼ x 4 ½) + 13 x 2
12 + 4 ¼ + 4 ½ x 2
8 ¼ + 13 +2 x 5
(3 ¾ + 4 ½) x 2 x 5 x 13
(4 ¼ + 4 ½) ÷ 13 x 2
45. Resuelva
46. La matricula escolar de una escuela a inicio del año es de 246 estudiantes, si al final del año solo se gradúan 2/3 de esa cantidad. ¿Cuántos estudiantes desertaron en total?
47. Carla camina ¼ de milla para llegar a su trabajo. ¿Cuánto camina, de ida y vuelta, durante la semana si trabaja 5 días a la semana?
48. ¿Qué porcentaje de personas optan por visitar a un medico en farmacias?
49. ¿Cuál es la razón de las personas que cambian a un medicamento genérico intercambiable con aquellos que optan por conservar su medicamento original?
50. ¿Cuántas más personas deciden asistir a consulta al sector publico con aquellas que deciden acudir al sector privado?
ARITMETICA es una de las ramas mas antiguas de las matemáticas en la que se aplican las operaciones básicas como suma, resta, multiplicación, división, potencia y raíz cuadrada. Para el examen del GED es indispensable el dominio de estas operaciones ya que son fundamentales para la solución de problemas verbales y de razonamiento.
Las FRACCIONES expresan una parte de un todo o un entero que puede ser cualquier numero natural u objeto o cosa que pueda ser divido. También se conocen como quebrados.
La GEOMETRIA, una de las ramas mas antiguas de las matemáticas se encarga de estudiar las propiedades de las figuras geométricas; no solo abarca las áreas, volúmenes y longitudes, su campo de aplicación práctica en la arquitectura, astronomía, topografía, mecánica, etc.
La ALGEBRA como una de las principales ramas de las matemáticas en la que se usa un lenguaje diferente al de aritmética, una de las principales diferencias es que los números se representan con símbolos que usualmente son letras del alfabeto.
Al factorizar trinomios cuadrados es necesario identificar qué tipo de trinomio es para saber cuál método aplicar. Los mas fáciles son los trinomios cuadrados perfectos y los pasos para resolverlos se explican en este enlace.
Características del trinomio cuadrado:
x2 + 12x + 4
El coeficiente y la incógnita del primer término tienen raíz cuadrada.
El coeficiente del tercer término es también una raíz cuadrada.
Si el trinomio NO cubre las dos carácteristicas anteriores, hay que verificar si es de la forma x2 + bx + c, para saberlo el trinomio debe cubrir las siguientes carácteristicas:
El coeficiente del primer término(x2) es el número 1, (recuerda que si un término no tiene coeficiente o número este siempre va a ser 1.
x2+ 5x + 6
La incógnita del primer término (x2) es una letra al cuadrado.
El segundo término (bx) tiene la misma incógnita (letra) que el primero y su exponente es 1, sin importar que coeficiente (letra) tiene.
El tercer término es independiente del primero y segundo término, esto es que no comparte la misma incógnita o letra.
Una vez que identificas que se trara de un trinomio de este tipo, los pasos para resolverlo son los siguientes:
Ejemplo I
x2 + 5x+ 6
PASO I
Descomponer en factores el primer término obteniendo la raíz cuadrada de la incógnita. Exprésalo en forma de binomio y escribe una “x” encada uno.
(x ) ( x )
PASO II
En el primer factor escribe el signo del segundo término del trinomio, en este caso es positivo + 5x
(x + ) ( x )
PASO III
En el segundo factor escribir el signo que resulte de la multiplicación del segundo y tercer término. En este caso es + ∙ + = +
(x + ) ( x + )
PASO IV
Factoriza el tercer término, esto es buscar todos los números que multiplicados entre si nos da el valor de «c» y sumados o restados nos da el valor de «b».
2 ∙ 3 = 6 sumados 2+3 =5 y restados da 1
1 ∙ 6 = 6 sumados 1 + 6 = 7 y restados nos da 5
IMPORTANTE: Si los signos del trinomio son iguales y positivos, se busca el par de números que sumados nos de el segundo término, en este caso el 2 y 3.
(x + 2) (x + 3)
Si el segundo y el tercer termino fueran negativos se usarian el 6 con signo negativo y el 1 con signo positivo.
También es posible que los signos del trinomio sean diferentes, quiere decir uno positivo y otro negativo, en ese caso solo si el tercer término es negativo se buscan los números que restados den el segundo término.
PASO V
Comprobar multiplicando (x +2) (x + 3) la respuesta debe ser el trinomio x2 + 5x + 6
Ejemplo II
m2 + 3m– 10
PASO I
Descomponer en factores el primer término obteniendo la raíz cuadrada de la incógnita. Exprésalo en forma de binomio y escribe una “m” encada uno.
(m ) (m )
PASO II
En el primer factor escribe el signo del segundo término del trinomio, en este caso es positivo + 3x
(m + ) (m )
PASO III
En el segundo factor escribir el signo que resulte de la multiplicación del segundo y tercer término. En este caso es + ∙ – = –
(x + ) ( x – )
PASO IV
Factoriza el tercer término, esto es buscar todos los números que multiplicados nos da esa cantidad.
2 ∙ 5 = 10
1 ∙ 10 = 10
IIMPORTANTE: Si los signos del trinomio son iguales, se busca el par de números que sumados nos del segundo término. En este caso son diferentes, no se aplica esta regla.
Como los signos del trinomio son diferentes y el negativo está en el tercer término. Se buscan los números que restados den el segundo término (3). Por tanto 5 menos 2 nos da 3, al representarlo el 2 va a ser negativo.
(m + 5) (m – 2)
PASO V
Comprobar multiplicando (m + 5) (m – 2) la respuesta debe ser el trinomio m2 + 3m – 10.
Un monomio está compuesto por un solo término el cual incluye signo, coeficiente, incógnita y exponente por tanto un polinomio es aquel que tiene dos o más términos. Para factorizar un polinomio vamos a seguir los siguientes pasos:
Si tienes dificultad con estos temas es recomendabel revisar primero:
PASO I: Buscar el factor común de ambos términos. El factor común para las incógnitas (letras) es la que se encuentra en ambos términos. Para entender el factor común de los coeficientes (números) revisa este enlace.
Para este caso el factor común es la “b”
PASO II: Dividir cada termino entre el factor común que se encontró, ósea que vamos a dividir b2 ÷ b y 3b ÷ b. Si tienes dificultad para dividir términos, revisa este enlace.
b2 ÷ b = b
2b ÷ b = 2
PASO III: Se escriben las respuestas dentro de un paréntesis incluyendo los signos, y afuera del paréntesis se escribe el factor común.
b (b + 2)
Ejemplo II
10n – 30mn2
PASO I: Buscamos el factor común para las incógnitas (letras) y los coeficientes (números)
10 → 2, 5, 10
30 → 3, 10
n – mn2 → n
Nuestro factor común va a ser el 10 porque se repite en ambos coeficientes y la n
OJO: Si al factorizar se repite más de dos veces un número escogemos el MAYOR como factor común
PASO II: Dividimos los términos entre los factores comunes
10n ÷ 10n = 1
– 30mn2 ÷ 10n = – 3mn
PASO III: Poner las respuestas que obtuvimos de las divisiones dentro de un paréntesis respetando signos y afuera el factor común que obtuvimos
10n(1 – 3mn)
Ejemplo III
15x3+ 20x2 – 5x
PASO I: Obtenemos el factor común de los coeficientes y las incógnitas
15 → 3, 5
20 → 2, 4, 5, 10
5 → 1, 5
Factor común → 5
Para las incógnitas es x
PASO II: Dividimos cada termino entre el factor común
15x3÷ 5x → 3x2
20x2 ÷ 5x → 4x
– 5x ÷ 5x → -1
PASO III: Escribimos las respuestas de la división dentro de un paréntesis incluyendo los signos y afuera el factor común.
De la factorización de trinomios, el de cuadrados perfectos es uno de los más fáciles ya que solo tenemos que entender el concepto de la raíz cuadrada perfecta, que no es otra cosa que buscar el número que multiplicado por el mismo nos de el valor que buscamos, por ejemplo la raíz cuadrada de 25 es 5 porque 5 por 5 es 25 y así sucesivamente, este tema lo puedes revisar el siguiente video.
Al buscar los factores de un trinomio cuadrado perfecto se van a obtener aquellos que multiplicados por sí mismo nos dan el trinomio. Si ya sabes multiplicar factores se te va a facilitar entender este tema, veamos el primer ejemplo y los pasos para resolverlo:
Antes de aplicar este método de factorización debes determinar si el primer y tercer término del trinomio son cuadrados perfectos, en el caso de las incógnitas o letras, solo es ver si su exponente es par, quiere decir que la raíz cuadrada de x4 = x2, de m6n2 = m3n y así sucesivamente.
x2+ 6x + 9
PASO I
Obtener la raíz del primer término (azúl), abrir un paréntesis y poner la respuesta. (Para obtener la raíz cuadrada de cualquier incognita, simplemente se divide el exponente entre 2).
(x
PASO II
Identificar el signo de segundo término (verde) y escribirlo enseguida.
(x +
PASO III
Obtener la raíz cuadrada del tercer término (rojo), escribelo después del signo y cerrar el paréntesis.
(x + 3)
PASO IV
Elevar al cuadrado la respuesta.
(x + 3)2
Ejemplo II
x4+ 4x2y + 4y2
PASO I
Obtener la raíz cuadrada del primero y tercer término – azul y rojo- (recuerda que los exponentes de las incógnitas se dividen entre dos).
PASO II
Escribir las respuestas dentro de un paréntesis.
(x2 2y)
PASO III
Escribir el signo del segundo término y elevas al cuadrado.
(x2 + 2y)2
Para comprobar la respuesta, simplemente se multiplica el binomio por el mismo.
(x2 + 2y) (x2 + 2y)
x4 + 4x2y + 4y2
Ejercicios de practica
4 – 4x + x2
4x2 + 12x + 9
x2y2 + 8xy +16
25m2 – 10mn + n2
m2n2 + 10mn + 25
36x2 – 108x + 81
9m2 + 12mn + 4n2
m2 + 4mn + 4n2
9x4 – 30x3y + 25x2y2
16m8 – 64m5n – 64m2n2
RESPUESTAS
Las respuestas las puedes representar (x – 2)2 o (x – 2) (x – 2)
(x – 2)2
(2x + 3)2
(xy + 4)2
(5m – n)2
(mn + 5)2
(6x – 9)2
(3m + 2n)2
(m + 2n)2
(3x2 – 5xy)2
(4m4 – 8mn)2
Pasos para resolverlos
1. x2– 4x + 4 Primero verifica que el trinomio este ordenado
(x ) (x ) Obten la raíz del primer término – separando las x
(x 2) (x 2) Obten la raíz del tercer término – √4 = 2
(x –2) (x 2) En el primer factor escribes el signo del segundo término.
(x – 2) (x – 2) Multiplicas el singo del primer término por el signo del tercero. – por + = –
2. 4x2 + 12x + 9
(2x ) (2x ) Obten la raíz del primer término – √4 = 2 y √x2 = x
(2x 3) (2x 3) Obten la raíz del tercer término – √9 = 3
(2x +3) (2x 3) En el primer factor escribes el signo del segundo término.
(2x + 3) (2x + 3) Multiplicas el singo del primer término por el signo del tercero. + por + = +
3. x2y2 + 8xy +16
(xy ) (xy ) Obten la raíz del primer término – √x2 = x y √y2 = y
(xy 4) (xy 4) Obten la raíz del tercer término – √16 = 4
(xy +4) (xy 4) En el primer factor escribes el signo del segundo término.
(xy + 4) (xy + 4) Multiplicas el singo del primer término por el signo del tercero. + por + = +
4. 25m2 – 10mn + n2
(5m ) (5m ) Obten la raíz del primer término – √25 = 5 y √m2 = m
(5m n) (5m n) Obten la raíz del tercer término – √n2 = n
(5m –n) (5m n) En el primer factor escribes el signo del segundo término.
(5m – n) (5m – n) Multiplicas el singo del primer término por el signo del tercero. – por + = –
5. m2n2 + 10mn + 25
(mn ) (mn ) Obten la raíz del primer término – √m2 = m y √n2 = n
(mn 5) (mn 5) Obten la raíz del tercer término – √25 = 5
(mn +5) (mn 5) En el primer factor escribes el signo del segundo término.
(mn + 5) (mn + 5) Multiplicas el singo del primer término por el signo del tercero. + por + = +
6. 36x2 – 108x + 81
(6x ) (6x ) Obten la raíz del primer término – √36 = 6 y √x2 = x
(6x 9) (6x 9) Obten la raíz del tercer término – √81 = 9
(6x –9) (6x 9) En el primer factor escribes el signo del segundo término.
(6x – 9) (6x – 9) Multiplicas el singo del primer término por el signo del tercero. – por + = –
7. 9m2 + 12mn + 4n2
(3m ) (3m ) Obten la raíz del primer término – √9 = 3 y √m2 = m
(3m 2n) (3m 2n) Obten la raíz del tercer término – √4 = 2 y √n2 = n
(3m +2n) (3m 2n) En el primer factor escribes el signo del segundo término.
(3m + 2n) (3m + 2n) Multiplicas el singo del primer término por el signo del tercero. + por + = +
8. m2 + 4mn + 4n2
(m ) (m ) Obten la raíz del primer término – √m2 = m
(m 2n) (m 2n) Obten la raíz del tercer término – √4 = 2 y √n2 = n
(m +2n) (m 2n) En el primer factor escribes el signo del segundo término.
(m + 2n) (m + 2n) Multiplicas el singo del primer término por el signo del tercero. + por + = +
9. 9x4 – 30x3y + 25x2y2
(3x2 ) (3x2 ) Obten la raíz del primer término – √9 = 3 y √x4 = x2
(3x25xy) (3x25xy) Obten la raíz del tercer término – √25 = 5 , √x2 = x y √y2 = y
(3x2–5xy) (3x2 5xy) En el primer factor escribes el signo del segundo término.
(3x2–5xy) (3x2– 5xy) Multiplicas el singo del primer término por el signo del tercero. – por + = –
10. 16m8 – 64m5n – 64m2n2
(4m4 ) (4m4 ) Obten la raíz del primer término – √16 = 4 y √m8 = m4
(4m48mn) (4m48mn) Obten la raíz del tercer término – √64 = 8, √m2 = m y √n2 = n
(4m4–8mn) (4m4 8mn) En el primer factor escribes el signo del segundo término.
(4m4– 8mn) (4m4– 8mn) Multiplicas el singo del primer término por el signo del tercero. – por – = –
Una vez que te has familiarizado con la división de términos se te va a facilitar las diferentes variables de división que se presentan en algebra. Primero vamos a recordar lo siguiente:
Un monomio se compone de un término sin importar el número de incógnitas o letras que tenga (-4x3yz4).
Un binomio se compone de dos términos y un trinomio de tres, estos también se conocen como polinomios que son los que ya tienen dos o más términos, por ejemplo: binomio (5m-3n2 – 8mn) , trinomio (-3xy + xy – 2x2y).
Cuando tenemos más de tres términos es más común que los llamen polinomio (7mn4 -3m2 +mn2 +2mn).
Ahora veamos como dividir un polinomio (que puede tener dos o más términos) con un monomio, quiere decir que en la parte del numerador vamos a tener varios términos y en la parte del denominador tendremos solo uno.
EJEMPLO I
PASO I
Dividir, siguiendo los pasos de la división, el primer término que está en café.
PASO II
Dividir el segundo término (azúl) con el denominador.
PASO III
Dividir el tercer término (verde) con el denominador.
PASO IV
Representar tu respuesta juntando cada una de las anteriores
EJEMPLO II
PASO I
Dividir, siguiendo los pasos de la división, el primer término que está en café.
PASO II
Dividir el segundo término (azúl) con el denominador.
PASO III
Dividir el tercer término (verde) con el denominador.
PASO IV
Representar la respuesta
EJEMPLO III
PASO I
Dividir, siguiendo los pasos de la división, el primer término que está en café. Si se te dificulta visita “Fracciones”.
Al dividir 3n ÷ 6m = ½mn
Al dividir enteros solo escribe el número uno en lugar del denominador y se multiplica cruzado.
PASO II
Dividir el segundo término (azúl) con el denominador.
Recuerda que si no hay coeficiente o número este va a ser 1 y al dividir 1entre 6 nos da un sexto.
PASO III
Dividir el tercer término (verde) con el denominador
PASO IV
Representar la respuesta
PASO V
Simplificar términos semejantes, este paso no siempre va a ser necesario, solo cuando hay términos semejantes que son aquellos que tienen la misma incógnita o letra y el mismo exponente. En el ejemplo anterior todos son términos semejantes y se simplifican aplicando la ley para suma y resta. Aquí se puede repasar la suma y resta de fracciones y recuerda que para algunos exámenes puedes usar la calculadora.
Cuando nos presentan una ecuación lineal de la forma y = mx + b, sabemos que podemos obtener los valores de las variables (x, y) y representar la función (recta) en el plano cartesiano, en el siguiente tema vamos a trabajar con dos ecuaciones juntas y lo primero es que vamos a buscar el punto donde se cruzan estas rectas aplicando el método de eliminación por sustituían.
Si el tema se te dificulta, considera revisar los temas previos:
En estas dos ecuaciones los valores de “x” y “y” van a ser los mismo pero el resultado va a ser diferente, en la primera debemos buscar dos números que sumados nos den 6 (primera) y esos mismos numero restados nos dé 4 (segunda). El único par que cumple esta función son el 5 y 1.
5 + 1 = 6
5 – 1 = 4
Este ejemplo es sencillo, pero si tenemos números más grandes que incluyan multiplicación se puede complicar un poco más así que veamos el método para resolverlas paso a paso.
EJEMPLO I
x + y = 9
10x + 5y = 60
En este ejemplo, hay que buscar un número (x) que sumado a otro número (y) nos de 9, esos mismos valores de “x” y “y” deben resolver la segunda ecuación donde se multiplica diez por el primer número (x) y se suma la multiplicación de cinco por el otro número (y) donde nos da como resultado 60.
PASO I
Hay que escoger un coeficiente (número) para igualarlos, si escogemos las “y” ambas ecuaciones deben tener 5y y si escogemos las “x” ambas deben tener 10x. Para este ejemplo vamos a igualar las “y” para tener en ambas ecuaciones 5x. Una debe ser negativa y la otra positiva.
PASO II
Ya que se elegieron cual coeficiente (número) que se van a igualar, se busca el mcm, que en este caso es el 5. Posteriormente se multiplica cada uno de los términos de la primera ecuación por -5. (El cinco debe ser negativo porque queremos que en la primera ecuación nos de -5y.
– 5 ( x) = – 5x
– 5 (y) = – 5y
– 5 (9) = – 45
Y la ecuación quedaría así: – 5x = 5y = – 45
PASO III
Una vez que se multiplica la ecuación, se acomoda en orden para sumar o restar ambas ecuaciones
-5x – 5y = – 45
10x + 5y = 60
5x / = 15
x = 3
PASO IV
Ya restada la ecuación, solo queda despejar y obtener el valor de “y” en cualquiera de las dos ecuaciones.
10x + 5y = 60 Sustituimos el valor que obtuvimos de «x» en la ecuación.
10(3) +5y = 60 Se multiplica 10 por 3 y se despeja del otro lado de la ecuación.
30 + 5y = 60
5y = 60 – 30
y = 30/5
y = 6
Por tanto el punto de intercepción de ambas ecuaciones es (3, 6)
PASO V
Representa los valores de “x” y “y” en el plano cartesiano que indican donde se cruzan ambas rectas. (3, 6)
PASO VI
Obtener dos valores más de cada función y graficar para representar las rectas. Esto se hace asignando valores a la “x”, tu respuesta puede variar dependiendo que valores asignes, pero la recta debe tener la misma dirección. Si no sabes cómo graficar una ecuación, revisa este enlace.
PASO VII
Graficar ambas funciones
IMPORTANTE: Si se presenta el caso en el que los coeficientes (números) que queremos igualar tienen el mismo signo y no se puede restan, simplemente hay que cambiarle los signos a toda la ecuación.
Ejemplo II
2x + y = 7
x + 4y = 14
Siguiendo los pasos anteriores, igualamos la segunda ecuación para tener 2x multiplicando toda la ecuación por dos.
2 (x) = 2x
2 (4y) = 8y
2 (14) 28
Restando
2x + y = 7
2x + 8y = 28(OJO, como puedes ver el 2x es positivo, hay que cambiarlo a negativo por tanto los signos de los términos restantes también cambian). Una vez cambiados, hay que restar.
2x + y = 7
– 2x – 8y = – 28
/ -7y = – 21
Despejas “y”
y = – 21 / – 7
y = 3
Una vez encontrado el valor de “y”, se siguen los pasos del IV al VII hasta que se grafiques ambas ecuaciones.
La esfera no es otra cosa que una figura en forma de pelota, y en esta el único valor que necesitamos es el radio y el valor de pi, el resto de los valores están dados en la fórmula.
Siguiendo la fórmula tenemos que:
SA = área de superficie
π = pi (3.1416)
r = radio
SA = 4πr2
Ejemplo I
La siguiente esfera tiene un radio de 3.
PASO I
Sustituir los valores de la fórmula.
SA = 4πr2
SA = 4 x 3.14.16 x 32
PASO II
Elevar al cuadrado y multiplicar.
SA = 4 x 3.1416 x 9
SA = 113.09cm2
PASO III
También se recomienda practicar usando la calculadora solo se introducen todos los valores usando los signos correspondientes.
4 x 3.14.16 x 32
Ejemplo II
Obtén el área de la superficie de una esfera con un diámetro de 5cm.
PASO I
Determinar el valor del radio, recuerda que el diámetro es lo que la esfera de un extremo al otro. Por lo tanto, el radio es la mitad del diámetro.
r = 2.5
PASO II
Sustituir los valores de la fórmula
SA = 4π r2
SA = 4 x 3.1416 x 2.52
PASO III
Elevar al cuadrado y multiplicar
SA = 4 x 3.14.16 x 6.25
SA = 78.54cm2
PASO IV
También se puede usar la calculadora, solo introduce todos los valores usando los signos correspondientes
4 x 3.1416 x 2.52
Como puedes ver el área de superficie de la esfera es fácil de obtener ya que se usa una fórmula sencilla, pero también hay que considerar que se pueden plantear diferentes preguntas como el siguiente caso.
Ejemplo III
Para esta figura analiza: ¿cuántas figuras se encuentran en la imagen?, si quieres obtener el área de superficie de toda la figura, ¿qué partes incluirías?, ¿cuáles excluirías?, ¿qué parte de las formulas usarías? Revisemos la siguiente información.
PASO I
Escribir las fórmulas de cada figura y analiza que parte no vas a usar.
SA = 4πr2 SA = 2πrh +2πr2
La fórmula verde indica el área de la esfera; la morada, del cilindro. Si se quiere obtener solo el área de superficie se debe omitir la parte interna (circulo crema) que representa un circulo de la base de la esfera y el de la parte superior del cilindro
En la primera fórmula solo se necesita la mitad de la esfera (color azul) por tanto solo hay que dividir todo entre dos o quitar el 4 y poner un dos, nos quedaría así: SA = 2πr2
En la segunda fórmula no necesitamos el circulo de la parte superior y como la primera parte representa toda la parte gris, el circulo que queda en la parte inferior de cilindro sería el único que necesitamos. Por tanto solo se necesita el área de un circulo la fórmula nos quedaría así:
SA = 2πrh +πr2
(ojo, quitamos el número dos de la segunda parte porque ese indica dos círculos y como solo queremos uno solo lo quitamos)
PASO II
Escribe la expresión completa una vez que ya las modificaste
SA = 2πr2 + 2πrh +πr2
La parte roja indica la fórmula de la esfera; la parte verde, el cilindro.
PASO III
Sustituye los valores
SA = (2 x 3.14 x 42) + (2 x 3.14 x 4 x 12) + (3.14 x 42)
PASO IV
Resuelve, multiplica los números dentro de los paréntesis
SA = 150.72 + 301.44 + 50.24
Suma todas las cantidades
SA = 502.4in2
PASO V
Resuelve esa expresión usando la calculadora, solo introduce los datos como se presentan y debes obtener la misma respuesta.
(2 x 3.14 x 42) + (2 x 3.14 x 4 x 12) + (3.14 x 42)
EJERCICIOS DE PRACTICA
1. Obtén el área de superficie de un círculo con un diámetro de 18 cm.
2. Obtén el área de superficie de un círculo con un radio de 4 ¼ cm.
3. Cuál es el área de superficie de una bodega circular en forma de esfera que tiene un diámetro de 25 metros.
4. Una esfera tiene un volumen de 3052.08 cm cúbicos, ¿cuál es el área de superficie? Pista: hay que despejar el radio con la fórmula del volumen y después obtener el área de superficie.
5. Marta decora esferas navideñas con tela, si quiere hacer una de dos colores, ¿cuánta tela ocupa para cada color si el radio de la esfera es de 2.5 cm?
6. Una peletería necesita cubrir un helado en forma de cono y media esfera para su distribución en tiendas locales, cual es el área de la superficie superior del helado si la circunferencia del helado es de 9.42 pulgadas. PISTA: hay que despejar el valor del radio usando la fórmula de la circunferencia, con el radio obtener el área de superficie de la media esfera.
El prisma rectángular, a diferencia del prisma recto, tiene como bases dos rectángulos, por tanto se debe multiplicar lo largo “l” por lo ancho “w” para obtener el área de la parte superior e inferior.
En las partes laterales también se forman cuatro rectángulos y dos de esos son más largos que los otros dos. Veamos eso en la formula
SA = 2lw + 2lh + 2wh
La primera parte 2lw es para obtener el área de las bases (en color naranja incluida en el recuadro amarillo) multiplicando largo por ancho; esto se multiplica por dos ya que son dos bases, la de arriba y la de abajo.
La segunda parte de la formula 2lhes para obtener el área de los rectángulos más grandes (parte morada) y representa lo largo por la altura.
Por último, la tercera parte de la fórmula 2wh es para obtener los rectángulos de las partes laterales (representadas en verde) y consiste en multiplicar el ancho por la altura.
Siguiendo la formula tenemos que la:
SA = área de superficie
l = largo
w = ancho
h = altura
Ejemplo I
PASO I
Sustituir los valores en la fórmula.
SA = 2lw + 2lh + 2wh
SA = (2 x 8 x 5) + (2 x 8 x 11) + (2 x 5 x 11)
PASO II
Multiplicar los paréntesis.
SA = 80 + 176 + 110
PASO III
Sumar los tres valores
SA = 366 cm2
PASO IV
También se recomienda practicar usando la calculadora. Solo hay que introducir todos los valores usando los paréntesis y los signos correspondientes (2 x 8 x 5) + (2 x 8 x 11) + (2 x 5 x 11) y te va a dar automáticamente la respuesta.
Ejemplo II
Usemos el mismo ejemplo del prisma recto pero con diferente medida. Pensemos que la siguiente figura es una jaula de un hamster y la parte gris es la puerta de la jaula, si esta sobre el suelo, solo se te pide taparla por encima. Como le harías para obtener el área de are de la superficie?, que parte es la que no vas a obtener? Y si quieres dejar sin forrar la puerta (parte gris) que paso extra tendrías que hacer? ¿Cómo expensarías la fórmula para representar toda la operación?
PASOS I
Determinar que parte de la fórmula se va a usar y cuál se tiene que modificar.
Como no se va a forrar la parte inferior, solo se debe obtener el área del rectángulo superior, los dos laterales y los dos restante (enfrente y trasero). Por último, se tiene que restar el área de la puerta (parte gris)
SA = 2lw + 2lh + 2wh (ORIGINAL)
SA = lw + 2lh + 2wh – wl (MODIFICADA)
PASO II
Analizar ¿cómo se modificó la fórmula, qué se quitó y qué se agregó de la fórmula original?
PASO III
Sustituir valores siguiendo la fórmula modificada.
SA = lw+2lh+2wh – wl
SA = (12×7)+(2x12x8) + (2x7x8) – (6×5)
PASO IV
Multiplicar los valores dentro de los paréntesis.
SA = 84 + 192 + 112 – 30
PASO V
Sumar los valores y resta el último valor.
SA = 358 cm2
PASO VI
Practicar el uso de la calculadora introduciendo todos los valores en un paso. Solo incluye los paréntesis y signos de multiplicación, suma y resta para obtener la respuesta.
Por último, hay que tener presente que la forma en que se plantean los problemas requieren un análisis extra y determinar si tienes que usar toda la fórmula, una parte o modificarla como fue el casa del ejemplo II.
De las figuras geométricas esta es una de las más sencillas para obtener el área de superficie ya que cuatro de sus lados son iguales y las dos restantes son cuadrados perfectos. Si observas la figura, la parte naranja (rodeada de amarillo) es un cuadrado y en la parte inferior hay uno similar. Los lados restantes, que se encuentran a los costados están en forma de rectángulo y en total son cuatro.
Siguiendo la fórmula:
SA = área de superficie
p = perímetro
h = altura
B = área de la base
En la figura, el perímetro del cuadrado está indicado por la parte amarilla y para obtenerlo solo multiplicamos 4 por la medida de uno de sus lados.
La B indica el área del cuadrado y para obtenerla solo elevas la medida de uno de los lados amarillos al cuadrado.
EJEMPLO I
PASO I
Identificar y obtener el perímetro del cuadrado (naranja) y el área.
La línea azul indica el perímetro y la formula es p = 4s donde la “s” indica el lado. Aplicando la fórmula tenemos p = 4(3) y la respuesta es 12.
El color naranja “B” indica el área del cuadrado, (A= s2) resolviendo A = 32 y la respuesta es 9.
PASO II
Sustituir los valores usando la fórmula y los valores que de perímetro = 12 y área de la base = 9.
SA = ph + 2B
SA = (12×6)+(2×9)
PASO III Multiplicar los valores dentro del paréntesis
SA = 72 + 18
PASO IV Sumar ambos valores
SA = 90 cm2
Ejemplo II
Pensemos que la siguiente figura. Es una jaula de un hamster y la parte gris es la puerta de la jaula, si esta sobre el suelo, solo se pide taparla por encima.
¿Cómo harías para obtener el área de la superficie?, ¿qué parte es la que no vas a obtener?, y si quieres dejar sin forrar la puerta (parte gris) ¿qué paso extra tendrías que hacer? y ¿Cómo expensarías la fórmula para representar toda la operación?
PASOS I
Determinar qué parte de la fórmula se va a usar y cuál tendrías hay modificar. La parte naranja representa dos cuadrados, se usa el 2B de la fórmula.
No podemos usar la primera parte de la fórmula porque no se quiere a obtener la parte inferior de la jaula. Pero si se necesita incluir el área de las tres caras restantes; una de ellas tiene la puerta para eso tenemos que obtener el área de uno de los rectángulos y multiplicarlo por tres. 3lw.
Por último tenemos que restar el área que representa la puerta y para obtenerla se aplica la fórmula del área del rectángulo a = lw
Juntando toda la información:
SA = 3lw + 2B – lw
PASO II
Obtener el valor de B que está representado por la parte naranja.
A = 62
A = 36 cm2
PASO III
Sustituir los valores de la fórmula.
SA = (3x8x6) + (2×36) – (5×2)
PASO IV
Multiplicar los valores dentro de los paréntesis.
SA = 144 + 72 – 10
PASO V
Sumar y restar los valores correspondientes.
SA = 206 cm2
PASO VI
Practica el uso de la calculadora introduciendo los valores como se presentan para obtener la repuesta en un solo paso
(3x8x6) + (2×36) – (5×2)
Por último, hay que tener presente que la fórmula es de las más sencillas para el área de superficies. Sin embargo, la forma en que se plantean los problemas requieren un análisis extra y determinar si se tiene que usar toda la fórmula, una parte o modificarla como fue el casa del ejemplo II.
Muchos podemos sentir que materias como álgebra no tienen relación directa con nuestra vida cotidiana, sin embargo no hay nada más alejado de la realidad. A continuación vamos a revisar una serie de datos a los que se conjuntan los conocimientos básicos de algebra con la elaboración de gráficas, funciones y ecuaciones lineales que al final representan la misma información pero representado en diferentes formas.
Antes de estudiar este tema debes estar familiarizado o saber resolver lo siguiente:
La siguiente tabla represente el desempeño de los estudiantes en un examen final de 5 preguntas.
El “Puntaje inicial” es el que ganaron los estudiantes antes de contestar el examen, si un estudiante falta o llega tarde, se le van restando puntos por esa razón puede ser negativo y si un estudiante participa en clase o hace tarea, su puntaje va a ser positivo.
El “valor de la pregunta” es diferente para cada estudiante de esta manera podemos elaborar diferentes ecuaciones lineales para cada estudiante.
Revisa este video antes de continuar.
Veamos un ejemplo usando los datos del estudiante número 6 que tiene un puntaje inicial de -1 y cada pregunta tiene un valor de 1 ½ puntos, si en total contesto 4 preguntas correctas podemos obtener su puntaje final con una simple multiplicación y resta. (1 ½ x 4) – 1 = 5, ahora representemos toda esa información en el Plano Cartesiano y en forma de ecuación.
PASO I
Representa los datos en forma de función, enlistando las preguntas (representada por la “x”) y el puntaje obtenido (representado por “fx”).
Como puedes ver el primer dato indica 0 y -1 porque el estudiante antes de contestar las preguntas ya tenía negativo un punto. Al obtener una pregunta buena con un valor de 1 ½ (segunda columna) su puntaje pasa a ser de ½ punto. Para entender el concepto de -1 + 1 ½ revisa el tema “Suma y resta de números con signo”.
PASO II
Graficar los datos de esa función en el Plano Cartesiano
PASO III
Obtener la pendiente de la recta usando cualquiera de los cuatro métodos.
P = 1 ½
PASO IV
Elaborar la ecuación usando la formula y = mx + b donde la m representa la pendiente y “b” el intercepto en “y”.
y = 1 ½ x -1
Si tienen la calculadora TI-30XS Multiview, en el siguiente video se explica como resolverlas.
EJERICICIOS DE PRACTICA
Una vez que has identificado los pasos para obtener la ecuación, puedes hacer una por cada estudiante, tomando en cuentta que cada uno tiene diferente puntaje inicial y el valor de las preguntas varia para cada uno.
Parte 1. Escribir la ecuación por cada estudiante
Parte 2. Buscar dos coordenadas por cada ecuación (asignando los valores de creo y uno a la «x»). Si asignas otros valores a la «x», puedes obtener diferentes coodenadas pero siempre deben quedar sobre una linea recta al representarlas en el plano cartesiano.
Parte 3. Representa las coordenadas en el plano cartesiano.
RESPUESTAS
Parte 1
1. y = ½x – 2
2. y = 2x + 1
3. y = x + 3
4. y = 2x – 2½
5. y = 3x + ½
6. y = 1½x -1
7. y = ½x
8. y = x – 4
9. y = 2x + 1½
10. y = 4x + 5
11. y = 1½x – 1½
12. y = 3x + 2
13. y = 5x + 4
14. y = x – 5
15. y = 1½x + 2½
Parte 2
1. x = 0, y = -2
x = 1, y = -1.5
2. x = 0, y = 1
x = 1, y = 3
3. x = 0, y = 3
x = 1, y = 4
4. x = 0, y = -2.5
x = 1, y = 1/2
5. x = 0, y = 1/2
x = 1, y = 3.5
6. x = 0, y = -1
x = 1, y = 1/2
7. x = 0, y = 0
x = 1, y = 1/2
8. x = 0, y = -4
x = 1, y = -3
9. x = 0, y = 1.5
x = 1, y = 3.5
10. x = 0, y = 5
x = 1, y = 9
11. x = 0, y = -1.5
x = 1, y = 0
12. x = 0, y = 2
x = 1, y = 5
13. x = 0, y = 4
x = 1, y = 9
14. x = 0, y = -5
x = 1, y = -4
15. x = 0, y = 2.5
x = 1, y = 4
Parte 3: Representa las coodenadas anteriores en el plano cartesiano
En un informe reciente emitido por el GED® Testing Service se hizo entrega de una lista de habilidades y preguntas de los principales errores o equivocaciones que tienen los estudiantes al momento de hacer el examen. A continuación se incorporan las preguntas tal como las ofreció el GED® Testing Service, no quiere decir que son el único tipo de preguntas solo son ejemplos del tipo de preguntas en las que más se han equivocado los estudiantes.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
1. HABILIDAD:
Obtener el área y circunferencia de un cirulo. Encontrar el radio o diámetro de un círculo cuanto se da el área o circunferencia
EJEMPLO:
El área de un circulo es 855 pulgadas cuadradas. ¿Cuál es el diámetro del círculo?
2. HABILIDAD:
Obtener el perímetro y área de un polígono. Encontrar la longitud de un polígono cuando se da el perímetro o área.
EJEMPLO:
Encuentra la altura y perímetro de un triángulo cuya área es de 12 pies cuadrados y su base de 6 pies y los lados laterales miden 5 pies.
3. HABILIDAD
Obtener el perímetro y área de dos figuras compuestas que puede incluir círculos
EJEMPLO:
Encuentra el área y perímetro de la siguiente figura
4. HABILIDAD:
Usar factores de escala para determinar la magnitud de un cambio de tamaño. Convertir entre dibujos reales y dibujos de escala.
EJEMPLO:
Dos rectángulos semejantes. El área de uno de los rectángulos es 24 pulgadas cuadradas y de largo mide 8 pulgadas. El otro rectángulo tiene un ancho de 12 pulgadas. ¿Cuál es el área del segundo rectángulo? Pista: primero debes obtener el ancho del primer rectangulo, aplicar la regla de tres o aplicar el factor de escala para obtener el largo del segundo rectangulo y finalmente obtener el área.
¿Cuál es el factor de escala entre el primero y segundo rectángulo?
5. HABILIDAD:
Resolver problemas verbales de interés, incluyen pero no están limitados a: interés simple, impuestos, márgenes, rebajas, propinas, comisiones, incremento o disminución de intereses.
EJEMPLO:
En Junio Sam trabajo 45.5 horas en junio y en julio 35 horas. ¿Cuál es el porcentaje de disminución en sus horas de junio a julio, al porcentaje más cercano?
6. HABILIDAD:
Localizar puntos en el plano cartesiano
EJEMPLO:
Marca la siguiente coordenada (-3, 4)
7. HABILIDAD:
Determinar la pendiente de una línea en una gráfica, ecuación o tabla (función)
EJEMPLO:
¿Cuál es la pendiente de la línea representada por la siguiente ecuación y = -5x + 2?
¿Cuál es la pendiente de la línea que paso por los puntos (-4, 3) y (2, -1)?
8. HABILIDAD:
Graficar dos variables de una ecuación lineal
EJEMPLO: Grafica la recta de la siguiente ecuación y= 2x -1
Completa una función asignando valores para “x” y “y”
PROBLEMAS ALGEBRAICOS REPRESENTADOS VERBALMENTE CON SITUACIONES REALES
1. HABILIDAD:
Encontrar el valor de una variable en una ecuación lineal, formulas. Los estudiantes deben: Identificar o crear el primer paso para resolver una ecuación. En estos ejercicios el estudiante no debe resolver toda la ecuación, solo identificar o crear el primer paso a seguir para resolverlo.
EJEMPLO:
En la siguiente ecuación:
-2(x – 7) = 8x + 3 – 6x
¿Cuál de las siguientes opciones puede ser el primer paso para resolver la ecuación?
Sumar 7 a los dos lados de la ecuación
Restar “x” en los dos lados de la ecuación
Combinar todos los términos del lado derecho de la ecuación
Aplicar la propiedad distributiva en el lado izquierdo de la ecuación
2. HABILIDAD:
Resolver eciaciones lineales con una variable. Se presenta una desigualdad lineal en una variable, el estudiante debe tener la habilidad de identificar o crear el primer paso o procedimiento para resolverlo
EJEMPLO:
Con este tipo de pregunta, el estudiante no debe resolver toda la desigualdad, simplemente necesitan tener la habilidad de identificar o crear el primer paso para resolverlo.
Para la ecuación:
4x2 + 3x – 27 = 0
¿Cuál es el primer paso que debes hacer para encontrar el valor de “x”?
3. HABILIDAD:
Crear expresiones lineales presentadas verbalmente usando símbolos o representar situaciones reales en forma de expresión. Se da una situación real expresada verbalmente y el estudiante debe tener la habilidad de expresar el problema en una expresión lineal
EJEMPLO:
En un viaje de estudios, debe haber un maestro por cada 6 estudiantes. ¿Cuál expresión puede ser usada para representar el número de maestros requeridos?
6 – m
m/6
6+m
6/m
4. HABILIDAD:
Crear una o dos variables en una ecuación lineal para representar situaciones que se te den.
EJEMPLO:
En un viaje de estudios, debe haber un maestro por cada 6 estudiantes (s). Además, un maestro (m) extra es requerido como encargado del viaje. ¿Cuál ecuación puede ser usada para encontrar el número de maestros “m” que se requiere por estudiante “s”?
m = 6s + 1
m = s/6 + 1
s = 6/m + 1
s = c/6 + 1
5. HABILIDAD
Crear una desigualdad lineal de una variable para representar situaciones que se den.
EJEMPLO:
Juan tiene $500 en una cuenta de ahorros cuando inicia el verano. Quiere tener por lo menos $200 en la cuenta para finales del verano. Saca $25 dólares cada semana para la comida, ropa y boletos para el cine. ¿Qué desigualdad representa esta situación?
RESPUESTAS:
33 redondeado
A = 4, P = 14
A = 30.195, P = 20.13
A = 384, FE = 4
23%
A la izquierda en x tres unidades y hacia arriba en “y” cuatro unidades
– 5, pregunta dos: negativo dos tercios
posibles valores (-1, -3), (0, -1), (1, 0)
ALGEBRA
d
Asignar los valores de a,b y c en la formula cuadrática o factorizar
