En las operaciones que se incluyen en aritmética, álgebra y análisis matemático se siguen ciertas condiciones relacionadas con las propiedades numéricas llamadas: neutras, conmutativa, asociativa y distributiva. Estas propiedades nos permiten simplificar una expresión aplicadas a la suma y multiplicación. Así vamos a aprender:
Las propiedades de los elementos neutros para la suma y multiplicación
La propiedad conmutativa para la suma y multiplicación
La propiedad distributiva para la suma y multiplicación
La propiedad asociativa que combina ambas, la suma y la multiplicación.
PROPIEDAD DEL ELEMENTO NEUTRO
Para la SUMA, dicha propiedad nos dice que cualquier número sumado a 0 va a dar como resultado es el mismo número. Con respecto al cero, no aplica a la multiplicación porque cualquier número multiplicado por cero nos da cero y no el número original.
4 + 0 = 4
Para la MULTIPLICACIÓN, la propiedad del número neutro corresponde al número uno, ya que cualquier número multiplicado por uno nos da el mismo número original.
6 x 1 = 6
PROPIEDAD CONMUTATIVA
Para la SUMA, nos indica que no importa el orden en que se sumen dos números, el resultado siempre va a ser el mismo.
Nos da la misma respuesta si sumamos 4 + 5 = 9 o 5 + 4 = 9
Esta ley solo aplica a la SUMA, y no a la resta.
La conmutatividad en la MULTIPLICACIÓN nos dice que cuando dos o más números son multiplicados, su orden puede cambiarse sin afectar el resultado.
Por ejemplo, se obtiene el mismo resultado si multiplicas 5 • 6 = 30 o si multiplicas 6 • 5 = 30 .
PROPIEDAD ASOCIATIVA
Para la SUMA, nos indica que los números en una expresión aditiva pueden reagruparse usando paréntesis. Lo único que indica con los paréntesis, es que los números que se encuentran dentro, se deben sumar primero.
1) (3 + 4 ) + 5
7 + 5
12
2) 3 + (4 + 5)
3 + 9
12
Como puedes observar el paréntesis no afecta el resultado final ya que lo único que indica es cuales números se suman primero.
La propiedad asociativa para la MULTIPLICACIÓN tiene la misma función que en la suma, se agrupan dos números y se resuelve primero lo que está dentro del paréntesis.
1) (3 • 4) • 5
12 • 5
r = 60
2) 3 • (4 • 5)
3 • 20
r = 60
Así, es lo mismo (3 • 4) • 5 que 3 • (4 • 5)
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
Esta propiedad relaciona tanto la propiedad conmutativa como la distributiva, así como las operaciones de SUMA y MULTIPLICACIÓN.
En el siguiente ejemplo, entre el tres y el paréntesis no hay ningún signo por lo que indica multiplicación y entre paréntesis se tiene la suma de 5 + 4 por lo que se debe resolver primero y al final multiplicar el 3 por 9.
3 (5 + 4)
3 • 9
r = 27
Otra forma de resolverlo es que el factor o número que esta fuera del paréntesis se distribuye en cada uno de los sumandos que estan dentro del paréntesis. En otras palabras, el número que esta fuera multiplica por separado cada uno de los números que estan dentro del paréntesis.
3 (5 + 4)
15 + 12
r = 27
Piensa que tienes cinco manzanas y cuatro peras distribuidas en tres canastas, en total vas a tener 27 frutas, pero el total de manzanas son 15 y de peras son 12.
Estas propiedades también se aplican en álgebra y en la siguiente tabla se ilustran algunos ejemplos.
En el siguiente video se explican cada una de las propiedades y al final un par de ejercicios.
EJERCICIOS DE PRACTICA
Reescribe las siguientes operaciones usando la propiedad CONMUTATIVA
1. 3 + 4
2. 2.5 + 3.2
3. 4 • 5
4. 6 • 2
5. m + n
6. r + q
7. z + y
8. w + v
9. d • k
10. h • f
Reescribe las siguientes operaciones usando la propiedad ASOCIATIVA
1. (5 + 2) + 7
2. 3 + (8 + 2)
3. (5 • 2) • 4
4. 9 (3 •2)
5. m (n •p)
6. z (x •y)
7. p (m •n)
8. q (h •g)
9. 7 (4 •3)
10. 6 (2 •5)
Reescribe la operación usaldo la propiedad DISTRIBUTIVA
La UNAM ofrece varios cursos en línea, completamente gratuitos, por medio de la plataforma CURSELA, entre ellos esta del de ÁLGEBRA BÁSICA que es de mucha utilidad para los estudiantes que se están preparando para presentar el examen del GED, HiSET, TASC, CENEVAL o incluso cualquier examen que aborde el tema.
Para tomar el curso deben activar una cuenta en la plataforma COURSERA. Si inicias el curso y consideras que es un poco difícil, estudia los TEMAS PREVIOS incluidos abajo.
El curso comprende cinco unidades y se da una semana para terminar cada unidad:
Unidad I NUMERACIÓN Y LENGUAJE ALGEBRAICO
Unidad II ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Unidad III POLINOMIOS
Unidad IV PRODUCTOS NOTABLES
Unidad V SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO POR FACTORIZACIÓN
Cada unidad incluye en promedio diéz temas a cubrir, ejercicios de practica y un examen final.
TEMAS PREVIOS
Si inician la clase y la encuentran un poco difícil, les recomiendo estudien los siguientes temas ya que hay temas que no se cubren y que son indispensables para entender lo abordado en la clase.
Para estudiar los temas, solo dale click a cada uno. Si hay algún enlace que no funciona o tienes alguna duda, puedes dejar tus comentarios al final de la columna.
Aprender las equivalencias entre yardas, pies y pulgadas es una parte fundamental para los contenidos de geometría del examen de MATEMÁTICAS.
Para los que estas acostumbrados a usar el sistema métrico puede ayudar asociar una YARDA con un METRO, aunque no representan el mismo tamaño, su equivalencia es casi igual. (Un metro equivale a 1.09 yardas)
YARDAS
Iniciando con la yarda, esta se compone de tres pies.
De esta manera se pueden convertir pies a pulgadas. Si queremos convertir yardas a pies, multiplicamos y para convertir pies a pulgadas dividimos.
Veamos un ejemplo: Si tenemos 5 yardas y queremos representarlas en pies multiplicamos por tres. 5 x 3 = 15 por tanto 5 yardas equivalen a 15 pies.
También podemos convertir los pies a yardas, Si se tienen 21 pies para representarlos en yardas, se divide entre tres. 21 ÷3 = 7 por tanto 21 pies equivalen a 7 yardas.
PIES
Con respecto al pie, este equivale a 12 pulgadas.
Para convertir pies a pulgadas se multiplican por 12
Para convertir pulgadas a pies, se divide entre 12
Ejemplo I
Obtener la equivalencia de 8 pies en pulgadas.
PASO I
Multiplicar 8 x 12 = 96
Por tanto 8 pies equivalen a 96 pulgadas
Ejemplo II
Obtener la equivalencia de 120 pulgadas a pies
PASO I
Dividir 120 entre 12 = 10
Por tanto 120 pulgadas equivalen a 10 pies.
Hasta ahí es sencillo, pero qué pasa si tenemos fracciones o parte de una de un pie.
EQUIVALENCIA EN FRACCIONES ENTRE PIES Y PULGADAS
TERCIOS
Primero podemos representar el pie en tercios, lo dividimos en tres partes, es lo mismo si dividimos 12 entre 3 = 4, (ver ilustración).
Quiere decir que cada segmento equivale a 4 pulgadas, así tenemos que:
CUARTOS
También se puede dividir el pie en cuatro segmentos lo que equivale a 12 entre 4 = 3. Quiere decir que cada cuarto de pie representa 3 pulgadas
El signo de agrupación que se usa con más frecuencia es el paréntesis, también tenemos los corchetes [ ] y las llaves { }. En esta lección vamos a trabajar con los paréntesis donde el objetivo es eliminarlos para poder llevar a cabo las operaciones y resolver los ejercicios.
El primer paso para eliminar paréntesis es aplicar la ley de signos de multiplicación y al hacerlo tenemos:
Siguiendo la ley de signos vamos a resolver el siguiente ejemplo:
Ejemplo I
(-2) (-4)
Cuando se tienen dos o mas números dentro de un paréntesis, indica multiplicación y el primer paso es MULTIPLICAR SIGNOS
PASO I
MULTIPLICAR SIGNOS
Menos por menos nos da mas.
+
PASO II
MULTIPLICAR NÚMEROS
Dos por cuatro es 8
R = 8
Ejemplo II
5 – ( 6) + 4
PASO I
Los números que no tienen paréntesis pasan igual, y se multiplican los signos que estan junto al paréntesis -(6) -Si un número no tiene signo, su signo es positivo)
5 – 6 + 4
PASO II
Se suman y restan los números de izquierda a derecha.
Si ya tienes conocimentos de los temas anteriores puedes iniciar el examen. Este contiene diez preguntas se deben contestar en quince minutos. Al terminar el examen se explica como resolver cada problema paso a paso.
A continuación, se presenta un examen de practica que incluye diez preguntas las cuales son parecidas a algunas que les han salido a estudiantes que ya hicieron el examen el GED. Aunque no necesariamente son exactamente iguales, pueden dares una idea de lo que puede venir en el examen.
Antes de hacer el examen puedes repasar los siguientes temas:
Las instrucciones y preguntas del examen estan en el video. Vas a tener un minuto y medio para contestar cada pregunta. Una vez que las contestes puedes evaluar cuantas fueron correctas y revisar la explicación al final del video.
El formato para el examen de matemáticas está compuesto por dos partes. La primera, incluye cinco preguntas para resolver a mano. En la segunda parte se puede usar la calculadora. A continuación, se presentar una serie de ejercicios de practica parecidos a los que les van a presentar en el examen. Esto no quiere decir que van a ser los mismos ejercicios.
Una de las habilidades que se evalúa en el examen de matemáticas es el pensamiento crítico.
Al estudiante le pueden presentar desde problemas verbales con textos extensos hasta ejercicios aparentemente sencillos de geometría.
Entre ese tipo de ejercicio puede estar obtener el área, que es un tema sencillo, pero al combinar uno o mas figuras puede tener un grado de dificultad mas elaborado. A
A continuación, se presentan tres videos donde se explica el uso de formulas y la manera de resolverlos. Al final de cada video hay ejercicios de practica.
Resolver los trinomios cuadrados es sencillo si se tienen conocimientos básicos de la ley de signos para multiplicar y si incluye raíces cuadradas perfectas.
Y a pesar de que hay varios métodos para resolverlo, entre ellos la factorización, esta se puede dificultar cuando no se tienen número enteros.
Si se trata de trinomios cuadrados perfectos o de números enteros se recomienda aprender a aplicar la fórmula cuadratica de manera manual. Una vez aprendida, es indispensable también practicar usando la calculadora, sobre todo cuando se tienen trinomios representados con números racionales (fracciones) o decimales.
La siguiente imagen muestra las teclas que se usan en la calculadora TI-30XS MultiView para resolver una ecuación cuadrática o de segundo grado.
Pon especial atención a los signos negativos, uno esta entre paréntesis (-) en la parte inferior junto a la tecla «enter», otro no tiene paréntesis y esta arriba del signo +. Ambos se van a usar.
Ejemplo I
x2 + 3x – 10
Paso I Asignar valores (para aprender a asignar los valores, revisa el video)
a = 1
b = 3
c = – 10
Paso II Sustituir los valores de a, b y c en la fórmula
IMPORTANTE: Para la primera parte en el valor de «b» se deben multiplicar los signos antes de ponerlos en la calculadora, en este caso multiplicar –(+3) menos por mas da menos. Por esa razon queda –3.
Paso III. Una vez asignados los valores, puedes introducirlos en la calculadora, revisa el video y se muestra paso a paso como hacerlo. Después del video estan los pasos escritos como referencia.
Los valores en la calculadora se ponen en el orden que se indica a continuación:
Tecla “on” (Para prenderla)
n/d (Para indicar la fracción)
– (Para indicar el signo negativo usando la tecla (-)
3
+
2nd (Para activar la función de raíz)
x2 (para indicar la raíz cuadrada)
3
x2 (Para elevar el número al cuadrado)
– (Este signo negativo es el que está arriba del signo +, no el que está entre paréntesis)
4
(1) (Entre paréntesis el uno para indicar la multiplicación)
(-10) [Se repite con el 10 pero se usa el signo negativo que esta entre paréntesis (-)]
cursor hacia abajo (circulo)
2
(1) (Entre paréntesis el uno para indicar multiplicación)
Enter (Para terminar la operación)
Con esto se obtiene un valor de «x» pero todas las ecuaciones cuadraticas tienen dos valores para «x». Para obtener el otro valor hay que repatir todos los pasos y solo en el paso 5 poner el signo negativo que no esta entre paréntesis.
EJERCICIOS DE PRACTICA
Resuelve asignando valores para «x» y posteriormente poniendo los valores en la calculadora.
Una parte importante de los temas de geometría es el área de superficie (SA), que no es otra cosa que forrar figuras tridimensionales como el cilindro, la esfera o en palabras mas sencillas, una caja.
Para saber qué cantidad de material se necesita para forrarlas, cada figura geométrica tiene su fórmula. Ahora, lo recomendable antes de intentar resolver cualquier fórmula, es aprender lo que representa cada variable (letra) y constante (número).
En los siguientes videos se explican cada una de dichas formulas así como la parte que representan en la figura. Es importante que te familiarices con estos conceptos para poder después resolver ejercicios con datos reales y posteriormente problemas verbales relacionados con este tema.
PRISMA RECTO
SA = ph + 2B
p = perímetro
h = altura
B = área de superficie
PRISMA RECTÁNGULAR
SA = 2lw + 2lh + 2wh
l = largo
w = ancho
h = altura
PIRÁMIDE
SA = ½ps + B
p = perímetro
s = altura de incinación
B = área de la base
ESFERA
SA = 4πr2
π= Pi (3.14)
r = radio
CONO
SA = πrs + πr2
π= Pi (3.14)
r = radio
s = altura de inclinación
EJERCICIOS
Para los siguientes ejercicios no es necesario asignar valores a las formulas, solo debes escribir la parte de la fórmula que se te pide.
Escribe la parte de la fórmula con la que puedes obtener la parte circular del cilindro.
¿Con cuál fórmula podrías obtener el área de superficie de un prisma recto quitando la parte superior?
¿Cuál expresión indica la mitad del área de superficie de una esfera?
a) SA = 4πr
b) SA = 2πr2
c) SA = ½πr2
¿Qué parte de la fórmula del prisma recto indica las bases.
¿Qué parte de la fórmula de un cono debes usar si no quieres cubrir la parte inferior, sin incluir el circulo?
Imagina que tienes una jaula para tu mascota y quieres forrar la parte de encima (sin cubrir la parte que toca el suelo). ¿Cómo podrías representar la fórmula?
La pirámide está compuesta por cuatro triángulos y la base puede ser cuadrada o rectángular. Si la base es cuadrada, los cuatro triángulos van a ser correspondientes quiere decir que van a tener las mismas medidas. Ahora, si la base es rectangular, la parte superior va a estar compuesta por dos pares de triángulos, cada par con las mismas medidas.
Por lo tanto, para obtener el área de superficie, hay que obtener el área de cuatro triángulos y un cuadrilátero.
Analicemos la fórmula.
SA = ½ ps + B
En la primera parte ½ ps se multiplica un medio por el perímetro por la altura de inclinación. También se puede sustituir ½ por .5 y en la siguiente imagen se indica de donde se obtienen los valores de “p” y “s”.
En la imagen, la parte verde representa el valor del perímetro “p” y la línea roja es la altura de inclinación representada por la “s” en la fórmula.
Para obtener el valor de “p”, si la base es cuadrada se multiplica cuatro por el lado (5).
Si la base es rectangular, se sigue la siguiente formula: p = 2L + 2w
Sustituyendo tenemos:
SA = ½ x 20 x 8
Para la segunda parte de la fórmula que es la “B” se debe obtener el área de la base. Si la base es cuadrada, se eleva el valor del lado al cuadrado
A = L2, sustituyendo, A = 52 (cinco por cinco).
Con todos los valores la fórmula nos queda de la siguiente manera:
SA = ½ x 20 x 8 + 25
Paso I
Multiplica ½ por 20 por 8
SA = 80 + 25
Paso II
Suma ambos valores
SA = 105 cm2
Ejemplo II
Ahora revisemos un ejemplo con la base rectangular.
Una vez que obtienen el valor de “p” (perímetro) y “B” (área de la base), el siguiente paso es sustituir los valores en la formula
SA = ½ ps + B
SA = ½ (28) (12) + 45
Multiplica los paréntesis
SA = 168 + 45
Suma ambos valores
SA = 213cm2
EJERCICIOS:
Pista: Para los ejercicios 3 y 4 se da el valor de B que representa el área de la base. Para obtener «p» se debe despejar la formula del área para obtener el largo. En este enlace se explica como despejar una formula. (B=LW, solo divide el valor de B entre el de W). En la número ocho, la base es cuadrada, para obtener el valor del lado, solo hay que obtener la raíz cuadrada de 36.
Una de las dificultades que enfrenan los estudiantes al aprender Álgebra es la confusión entre tantos números, letras y signos. Para facilitar este proceso de aprendizaje es recomendable identificar primero que tipo de operación se debe hacer, estas son las más básicas de suma, resta, multiplicación y división.
Primero, vamos a recordar las reglas de signo para suma y resta.
I. Números con signos iguales se suman:
– 4 – 5 = – 9
+ 4 + 5 = + 9
II. Números con signos diferentes se restan y se deja el signo del mayor:
+ 4 – 5 = – 1
– 4 + 5 = + 1
Solo se van a sumar o restar los TERMINOS SEMEJANTES que comparten la misma incognita (letra) y el mismo exponente.
2x2 + 6x2 – 8x2 (Todos son semejantes)
2x2 + 6x3 – 8x (Ninguno es semejantes, comparten la misma incognita – letra – pero diferente exponente)
Para aprender a sumar y restar terminos semejantes visita este enlace.
El siguiente paso es aprender a distinguir cuando se debe multiplicar teniendo presente siempre la ley de signos:
I. Números con signos iguales da positivo:
+ por + = +
– por – = +
II. Números con singos diferenes da negativo:
+ por – = –
– por + = –
III. Indica que se esta multiplicando cuando:
2x -hay un número y letra juntos
2(x) – hay paréntesis
2 • x – hay un punto entre el número y la letra u otro número
2 * x – hay un asterisco entre el número y la letra
¾x – hay una fracción junto a la letra
IV. Pasos para multiplicar
Primero se multiplica el signo
Segundo, se multiplican los coeficientes (números)
Tercero, se multiplican las incognitas (letras) – sumando exponentes
Cuarto, simplificar sumando y restando si es necesario
Para aprender a multiplicar términos, visita este enlace
Otra operación básica es la división
I. Pasos para dividir
Primero se multiplica el signo
Segundo, se dividen los coeficientes (números)
Tercero, se dividen las incognitas (letras) – RESTANDO exponentes
Obtener el perímetro es uno de los temas mas sencillos en geometría ya que solo consiste en sumar los lados externos de la figura. El cuadrado, rectángulo y triángulo son las figuras geométricas mas sencillas. Los polígonos se clasifican según la posición de sus ángulos y la cantidad de lados en una figura plana. Entre los mas sencillos se encuentran los regulares e irregulares; en los primeros, todos sus lados tienen la misma longitud al igual que sus ángulos internos. Por su parte los polígonos irregulares nos indica simplemente que nos son regulares, ósea que no tienen lados y ángulos iguales.
Para obtener el perímetro de los polígonos irregulares simplemente hay que sumar todos sus lados. El grado de dificultad se incrementa cuando no nos presentan todas las medidas y hay que obtenerlas con los datos que se nos presentan.
Para obtener el perímetro de las siguiente figuras, hay que buscar el valor de los lados que no están escritos (lineas azules) y al final sumar todos los valores.
1.
2.
3.
4.
PARA OBTENER LA LONGITUD DEL LADO INCLINAD DE LAS SIGUIENTES FIGURAS, USA EL TEOREMA DE PITAGORAS.
Una función es una relación numérica de valores que tienen una relación de dependencia, quiere decir que si tenemos dos cantidades o valores numéricos el primero va a depender siempre del segundo.
Un ejemplo sencillo para entender una función son las semanas laborales, si una persona gana $300 durante una semana laboral. Para ganar $600 debe trabajar 2 semanas y así sucesivamente. El ingreso que obtenga siempre va a depender del número de semanas que trabaje. ¡Sencillo, ¿verdad?!
Ahora, hay una variedad inmensa de funciones, pero ahora nos vamos a enfocar en las cuatro mas comunes, algunas mas complicadas que otras: constante, lineal, cuadratica y cúbica.
FUNCIÓN CONSTANTE
La función es constante cuando permanece siempre igual, sin importar cual sea el valor de entrada.
La fórmula para esta función es fx= c
FUNCIÓN LINEAL
Esta función nos permite dibujar una linea recta y se forma usando la fórmula fx = mx + b donde “m” es la pendiente (inclinación de la recta) y “b” es el intercepto en “y”. Ahora por cada valor que le demos a la “x” vamos a obtener un valor correspondiente para “y”(fx).
Para aprender mas sobre este tema se pueden estudiar los siguientes enlaces.
La función cuadratica es un polinomio de segundo grado, siempre va a cambiar de dirección en un punto que se llama VÉRTICE.
Siempre que el valor de +ax2es positivo, la dirección de la parábola va hacia arriba (como una U). Siempre que el valor de -ax2es negativo, la dirección de la parábola va hacia abajo (como una «U» invertida).
Los puntos claves en una parábola son el vértice, las raíces y el intercepto en «y».
Para aprender a obtener los valores en la parábola visita esta lección.
Otra pista importante en las funciones cuadraticas es que mientras mas chico sea el valor de “ax2 » mas ancha va a ser la parábola.
FUNCIÓN CÚBICA
f(x)= ax3 + bx2 – cx – d
Una función cúbica es un polinomio de tercer grado. Muchos de estos polinomios tienen tres raíces, quiere decir que la grafica va a tener tres puntos que atraviesan «x».
Si la «+ax3» es positiva, la gráfica va a iniciar de abajo hacia arriba (de izquierda a derecha).
Si la «- ax3« es negativa, la gráfica va a iniciar de arriba hacia abajo (de izquierda a derecha).
Ejemplo:
f(x)= x3 + x2 – 4x – 4
0 = x3 + x2 – 4x – 4 Se iguala a cero el polinomio.
