Una vez que se ha aprendido a multiplicar términos representados en monomios o binomios se puede iniciar con la multiplicación de factores con dos términos. Para ello es importante dominar la ley de signos para suma y resta y para multiplicación y división, de lo contrario puede crear confusión. De igual manera, hay que tener presente que la multiplicación en algebra puede representarse de la siguiente manera, los primeros tres son los más usados.
2x
2(x)
2 • x
2*x
A continuación tenemos dos factores, cada uno con dos términos, (x + 5) (x – 4). Para resolverlo, los dos términos del primer factor (x + 5) multiplican los dos términos del segundo factor (x – 4). Puede haber varios métodos para resolverlo, pero veamos el más sencillo aplicando el siguiente orden:
EJEMPLO I
(x + 5) (x – 4)
PASO I
Multiplicar los términos de los factores en el orden que se indica.
x (x) = x2
x (– 4) = – 4x
5 (x) = 5x
5 (–4) = – 20
PASO II
Hay que escribirlos en el orden en que se multiplican.
x2– 4x + 5x – 20
PASO III
Simplificar sumando o restando términos semejantes, en este caso el – 4x y 5x se restan. Nos da x.
PASO IV
Se escriben todos los valores juntos. (La «x» al cuadrado, la «x» sola y el coeficiente).
x2 + x – 20
EJEMPLO II
(x – 3) (6 + x)
PASO I
Multiplicar los términos de los factores en el orden que se indica.
x (6) = 6x
x (x) = x2
–3 (6) = –18
–3 (x) = –3x
PASO II
Se escribe primero el que tienen potencia 2; segundo, los que tienen literales con potencia 1; al final el coeficiente (número).
Una vez que has aprendido a identificar y aplicar las desigualdades en la recta numérica, puedes intentar resolver desigualdades expresadas en forma de ecuación. Para eso es indispensable saber resolver ecuaciones, veamos esta comparación para identificar las semejanzas y diferencias.
Una desigualdad se resuelve siguiendo los mismos pasos que se utilizan para resolver una ecuación, (solo recuerda que en lugar de tener el símbolo = vamos a tener algún símbolo de desigualdad).
EJEMPLO I
2x – 4 < – 2
PASO I
Hay que ordenar la desigualdad poniendo del lado derecho todos los números y dejando a la izquierda la “x”. Recuerda que al pasar un número de la izquierda a la derecha, cambia su signo, (si esta sumando, pasa restando; si está multiplicando pasa dividiendo o viceversa)
2x < – 2 + 4
PASO II
Simplificar si es necesario, en este caso simplificamos los números usando la ley de signos para suma y resta.
2x < 2
PASO III
Despejar el dos, como está multiplicando a la x, pasa dividiendo al otro lado del signo de desigualdad.
x < 2/2
PASO 4
Realizar la división de 2 entre 2 y obtienes el valor de la desigualdad. En este caso indica que el valor de x debe ser menor a 1 (0, –1, –2, –3, etc.).
x < 1
Representación en la recta numérica.
EJEMPLO II
–5x + 2 (x – 4) ≤ 7
PASO I
Simplificar, primero despejando paréntesis.
–5x +(2x – 8) ≤ 7
–5x +2x – 8 ≤ 7
PASO II
Pasar el -8 al lado derecho de la desigualdad. (Es negativo, pasa con signo positivo)
–5x +2x ≤ 7 + 8
PASO III
Sumar o restar términos semejantes en ambos lados de la desigualdad.
–3x ≤ 15
PASO IV
Despejar el -3. (Está multiplicando a la x, pasa del otro lado dividiendo)
x ≤ 15/–3
IMPORTANTE: Si en el último paso se multiplica un número negativo el símbolo de la desigualdad se invierte.
x ≥–5
Finalmente solo se representa la desigualdad en la recta numérica.
Ejemplo III
3x – 6x – 10 < x + 6 + 4
PASO I
Simplificar ambos lados de la desigualdad 3x – 6x = –3x y 6 + 4 = 10 antes de despejar
– 3x – 10 < x + 10
PASO II
Despejar pasando los números con “x” a la izquierda y los números que no tienen incognita a la derecha cambiando su signo o poniendo el signo contrario.
–3x –x < 10 +10
PASO III
Simplificas ambos lados de la desigualdad
-4x < 20
PASO IV
El -4 está multiplicando a la “x”, lo despejamos dividiendo al 20 y pasa con su signo negativo
x < 20/–4
PASO 5: Dividimos 20 entre -4, recuerda que al dividir, los signos se multiplican y el signo de desigualdad cambia de dirección.
IMPORTANTE: Si en el último paso se multiplica un número negativo el símbolo de la desigualdad se invierte.
x >–5
Por último representas la desigualdad en la recta numérica.
Las desigualdades nos sirven para indicar cuando una cantidad puede ser igual, más grande o más chica que otra. Para entender y aplicar las desigualdades hay que familiarizarse con los siguientes símbolos <, >, ≤, ≥, =. Veamos un ejemplo de cada uno.
2 < 3 (dos es menor que tres)
5 > 2 (cinco es mayor que dos)
x ≤ 8 («x» es igual o menor a 8)
x ≥ 8 («x» es igual o mayor a 8)
3 = 3 (tres es igual a tres)
Para los siguientes símbolos vamos a usar una “variable” o letra “x” para representar un número desconocido que puede ser representado con la desigualdad.
x ≥ 3(el número representado por “x” debe ser igual o mayor a tres). Por tanto, el valor de «x» puede ser 3, 4 o mayor.
x ≤ 3(el número representado por «x» debe ser igual o menor a tres). Por tanto, el valor de «x» puede ser 3, 2, 1, 0, -1 o menor.
Estas desigualdades se pueden representar en la recta numérica, la cual incluye números negativos y positivos. Con respecto a los números negativos hay que verlos un poco a la inversa, por ejemplo -9 es menor a -2, contrario a lo que pasa con los números positivos. Veamos la recta numérica para entender este concepto, vas a poder ver que cualquier número que quede a la izquierda de otro va a ser menor.
En el lado de los números positivos 3 > 2 (tres es mayor que dos) y como puedes ver el dos esta al lado izquierdo del tres. De igual manera podemos decir que -2 > -3 (negativo dos es mayor a negativo tres) y en este caso el -3 esta a la izquierda del -2. Parece contradictorio, verdad, si tienes dificultad para entenderlo, solo recuerda que el número que queda a la izquierda siempe va a ser menor. También considera que mientras mas grande sea un número negativo, su valor es menor.
Ahora vamos a representar las desigualdades en la recta numérica.
MÉTODO I
La forma más sencilla para representar una desigualdad en la recta numérica es simplemente marcar los posibles valores de la «x». Por ejemplo x < 5 indica que el valor de la «x» es menor a 5 por tanto la x = 4, 3, 2, 1, 0, -1, etc., en la recta numérica tenemos:
Esa grafica indica que en la desigualdad x < 5, los posibles valores de la x pueden ser todos los numeros marcados con el circulo rojo, puede ser de cualquier color. En el examen de practica del nuevo examen del GED se incluye una pregunta con ese formato, pero con una desigualdad mas difícil.
Otros ejemplos usando este mismo método.
x > – 3
En los siguientes ejemplo vamos a usar el símbolo ≥,y el ejemplo nos indica que xes igual o mayor a tres, por eso marcamos también el tres. (Solo esta en rojo para destacar que se marca, no tiene que ir necesariamente de un color en particular).
x ≥ – 3
El siguiente ejemplo indica que el valor de la x es igual o menor a -1.
x ≤ – 1
Otro método, que puede parecer mas confuso, es el que usa cirulos negros y transparentes que se explica a continuación. (Si tienes dificultad para entender el MÉTODO II, procura dominar el MÉTODO I).
MÉTODO II
EJEMPLO I
x ≥ 2 (“x” es igual o mayor a dos)
PASO I
Dibuja un circulo negro sobre el número 2 de la recta numérica; el circulo negro indica que el valor de la «x» puede ser 2.
PASO II
Dibuja una fecha hacia la derecha que indica que el valor de “x” puede ser 2, 3, 4 o mayor.
Pista: si te confundes hacia donde dirigir la fecha solo asocia el símbolo de la desigualdad como una flecha > y dirigelo hacia esa dirección.
EJEMPLO II
x ≤ 1 («x» es igual o menor a 1)
PASO I
Dibuja un circulo negro sobre el número -1
PASO II
Dibuja una fecha hacia la izquierda, (ojo, el símbolo de la desigualdad también apunta a la izquierda ≤ ) e indica que el valor de “x” puede ser 1, 0, -1, -2, etc.
EJEMPLO III
x > -2 (x es mayor a -2)
PASO I
Dibuja un circulo, transparente, en el -2 que indica que el valor de “x” NO PUEDE SER -2.
PASO II
Dibuja una fecha hacia la derecha (ojo, el símbolo > se dirige a la derecha) que indica que el valor de “x” NO ES -2, pero puede ser -1, 0, 1, 2, etc.
EJEMPLO IV
x < -1 ( “x” es menor a -1 pero no puede ser -1)
PASO I
Marca un circulo trasparente en el -1 para indicar que el valor de la “x” NO PUEDE SER -1.
PASO II
Dibuja una flecha hacia la izquierda, asocia el símbolo < que se dirige hacia la izquierda e indica que el valor de “x” NO ES -1 pero puede ser -2, -3, etc.
Dependiendo del estado o del centro donde vayan a hacer su examen, la calculadora se las pueden proporcionar. Se recomiendo confirmar antes de presentarse al examen ya que en algunos casos los estudiantes deben llevar su propia caluladora. Se puede encontrar en Amazon por 13 dólares apróximadamente.
Al mometo del examen también se va a tener acceso a la calculadora virtual por medio de un botón localizado en la parte superior derecha. Aunque esto último es muy inconveniente y quita tiempo por lo que se recomienda tener su propia calculadora y llevarla al momento de presentar su examen.
Para tener acceso a la calculadora tienen que dar un click con el cursor del ratón a la ventana localizada en la parte superior izquierda de la pantalla, va a verse así. Instrucciones generales en PDF en español.
CALCULADORA
FRACCIONES
RADICALES
EJERCICIOS DE PRACTICA
ORDEN DE OPERACIONES
EJERCICIOS
RESPUESTAS
1. 19
2. 40
3. 4
4. 2/15
5. 9
En las siguientes imagenes se muestran algunas de las funciones de la calculadora.
La potencia es una operación en la que un número se multiplica cierta cantidad de veces. El exponente es el número que nos indica la cantidad de veces que un número base se va a multiplicar, si tenemos 53 se multiplica el 5 tres veces: 5 x 5 x 5 = 125.
El número uno elevado a cualquier potencia siempre es igual a 1 14 = 1
Cualquier número elevado a la potencia 1 da como resultado el mismo número, 61 = 6
Cualquier número elevado a la potencia 0 da como resultado uno, 30 = 1
Al aplicar los exponentes en algebra hay que estar familiarizados con la multiplicación de signos y seguir las reglas para cada operación.
SUMA O RESTA
Al sumar o restar dos o más términos semejantes, sus exponentes no cambian, solo se suman o restan las bases.
a4 + 2a4 + 4a4 + 7a4 = 14a4
-b3 +5b3 -3b3 + 7b3 = 8b3
PRODUCTO (Multiplicación)
Cuando se multiplican dos términos, se suman los exponentes
x4 ·x3 = x4+3 = x7
COCIENTE (división)
Al dividir dos términos, se restan los exponentes.
POTENCIA DE UN EXPONENTE
Al aplicar la potencia a un término, se multiplican su exponente
(m3)5 = m3·5 = m15
Al aplicar la potencia del de un cociente, se escribe el mismo exponente tanto en el nominador como el denominador
(g f)5 = g5f 5
Para obtener la potencia de otra potencia, se multiplican sus exponentes.
(s3 t )2 = s6 t 2
Las operaciones que se realizan son:
s3 • 2 = 6
La t no tiene nungún exponente, solose pone el que esta fuera del paréntesis.
(3m3)2 = 9m6
Las operaciones que se realizan son:
32= 3 x 3 = 9
m3 • 2 = m6
POTENCIAS CON BASES NEGATIVAS
Al elevar una potencia con una base negativa, se multiplican primero signos, conservando la base el mismo signo en ambos números base.
El plano cartesiano no solo consiste en ubicar coordenadas, buscar distancias o pendiente, también hay una parte importante en la que el Álgebra juega un papel fundamental. Saber resolver ecuaciones y tener el concepto de los que es una variable o incógnita (representada por letras) es importante, sobre todo en este tema en el que vamos a presentar una fórmula que está compuesta por puras variables de las cuales solo vamos a identificar lo que representa cada una para poder buscar la ecuación de una recta en el plano cartesiano.
La fórmula que nos vamos a aplicar es la siguiente:
Como puedes ver tenemos cuatro letras diferentes y si ya conoces el plano cartesiano recordaras que incluye las coordenadas de “x” y “y”. Así que en la fórmula ya conoces y sabes lo que significan esas dos letras. La letra “m”representa la pendientede la recta y la letra “d” representa el intercepto en “y”.
Si aún no sabes obtener la pendiente de una recta te recomiendo que revises este enlace y trata de aprender ambos métodos. PENDIENTE.
El intercepto indica el punto donde se cruza la recta con la coordenada de “y” y debe ser solo en la coordenada de “y” la cual dependiendo donde se cruce puede ser negativo o positivo.
Veamos el siguiente ejemplo:
PASOS PARA ENCONTRAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA
Obtén la pendiente de la recta que quieres resolver
Identifica donde cruza en la coordenada de “y”, solo cuentas los cuadros a partir del cero al lugar donde cruza y ese es el intercepto. Recuerda que este puede ser negativo si va hacia abajo o positivo si va hacia arriba.
Sustituye los valores de “m” y “d” en la fórmula
Simplifica signos si es necesario
Buscar la pendiente de la recta “mn”
PASO I
Para busca la pendiente de la recta mn
PRIMERO: cuenta las unidades (cuadros) en la coordenada de “y” a partir del punto “m” hacia arriba (línea roja).
SEGUNDO: después de subir 4 cuadros hacia arriba en la coordenada de “y”, cuenta las unidades (cuadros) hacia la izquierda dirigiéndote al punto “n” (línea verde). IMPORTANTE: cada que te diriges a la izquierda o hacia abajo el valor del número va a ser negativo.
TERCERO: Representa tu resultado en forma de fracción, poniendo arriba lo obtenido en “y” y abajo el número obtenido en “x”
CUARTO: Simplifica la fracción, primero multiplica los signos + por – = – , después divide el cuatro y el seis entre 2 y la pendiente de esa recta es:
Si aún no te queda claro cómo obtener la pendiente, revisa este tema: PENDIENTE DE UNA RECTA
PASO II
Ubica el intercepto en “y” ósea, donde cruza la recta «mn» (línea azul) y la coordenada de “y” (línea negra obscura). El intercepto es 1.
PASO III
Sustituye los valores en la fórmula de las variables m = pendiente y d = intercepto con los valores que obtuviste anteriormente.
Ahora revisa el siguiente video para reafirmar lo aprendido y posteriormente puedes hacer los ejercicios de práctica.
El siguiente video explica otra forma de aplicar la ecuación lineal, como representar funciones usando una base de datos.
El nuevo examen del GED va a incluir algunas formulas diferentes a las que la mayoría estaba acostumbrado con la versión anterior. Algunas novedades incluyen formulas para obtener el área de superficies tridimensionales, ecuaciones cuadráticas, entre otras que se muestran a continuación.
Para imprimir la hoja de formulas como se las presentan en el examen del GED denle click al siguiente enlance.Para el examen del HiSET y TASC les van a dar un formulario diferente, formulario HiSET,formulario TASC tengan presente que no se incluyen las formulas del área y perimetro de figuras planas. También se puede imprimir la versión en inglés. La nomeclatura o abreviaciones que se usan en estas formulas estan en ingles que no hace ningúna diferencia solo el hecho de tener una letra diferente.
Las fracciones no solo se incluyen en las operaciones básicas como suma, resta, multiplicación o división.
Puede también incluir problemas en los que es necesario obtener lo que representa una fracción. Por ejemplo, si nos piden que indiquemos la equivalencia de ¾ en un tanque con capacidad de 32 litros o si queremos saber a cuanto equivalen 5/6 de $2,400 pesos. Para algunos, este tipo de problemas puede ser, vaya la redundancia, un problema.
Veamos si lo planteamos de una manera un poco más sencilla. Si nos pidieran que representáramos ½ de 32, un medio es la mitad, por tanto la mitad de 32 es 16. Ahora ½ de $2,400 serían $1,200. En estos ejemplos no estamos haciendo otra cosa que obtener la mitad de cada cantidad, y la mitad está representada por ½ o en decimal equivale a .5. (Para saber la equivalencia en decimal, solo divide el numerador entre el denominador 1 ÷ 2 = .5).
Ahora volvamos a los ejemplos iníciales, para resolverlos vamos a explicar dos métodos. Al final, puedes utilizar el que se te facilite más:
Ejemplo I
Obtener ¾ de 32
PRIMER MÉTODO: Solo tienes que multiplicar ¾ por 32
SEGUNDO MÉTODO: El segundo método puede ser más fácil para algunos y hay que seguir dos pasos.
1. Dividir el total o la cantidad principal (32) entre el denominador (4)
32 ÷ 4 = 8
2. El resultado de la división hay que multiplicarlo por el numerador
8 x 3 = 24
La operación completa se representaría así: 32 ÷ 4 x 3 = 24
Ejemplo II
A cuanto equivalen 5/6 de $2,400 pesos
PRIMER MÉTODO: Solo tienes que multiplicar 5/6 por 24,000 (Una pista, si usas números con varios ceros, los puedes eliminar y al final solo los agregas al resultado).
1. Dividir el total o la cantidad principal (24) entre el denominador (6) –has lo mismo con los ceros-
24 ÷ 6 = 4
2. El resultado de la división hay que multiplicarlo por el numerador
4 x 5 = 20
La operación completa se representaría así: 24 ÷ 6 x 4 = 20 (si agregas los tres ceros del 24,000 te quedan 20,000).
Por último vamos a desarrollar dos ejemplos más:
1. Representa 2/3 de hora
Una hora tiene 60 minutos, siguiendo el segundo método
Dividimos 60 ÷ 3 = 20
Multiplicamos por el numerador 20 x 2 = 40
Toda la operación quedaría 60 ÷ 3 x 2 = 40 minutos
2. Un grupo de 64 personas, representa a cuanto equivalen 5/8 de personas
Dividimos 64 ÷ 8 = 8
Multiplicamos por el numerador 8 x 5 = 40
Toda la operación quedaría 64 ÷ 8 x 5 = 40 personas
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Martha tiene que manejar 3 horas para llegar a su destino, si lleva manejando 45 minutos, ¿qué fracción de tiempo le falta manejar?
Marcos tiene una tabla de un pie de largo, si usa 1/3 de la tabla, ¿cuántas pulgadas le quedan? 1 pie = 12 pulgadas.
Leticia camina 18 millas a la semana. Si esa semana solo lleva 1/3 de las 18 millas que acostumbra recorrer, ¿cuántas millas le faltan por recorrer esta semana?
Darío tiene que cobrar 56 créditos en esta semana, si de estos lleva 3/8, ¿cuántos créditos ha cobrado en total?
Una compañía tiene 120 empleados de los cuales 2/3 son de tiempo completo, ¿cuántos empleados son de medio tiempo?
El presupuesto de gastos para una empacadora es de $16,000. Si ¾ de esa cantidad lo destinan a gastos de operación, ¿qué cantidad les queda para otros gastos?
Una compañía de mudanzas puede llenar un carro en 45 minutos, ¿qué fracción del carro puede llenar en 15 minutos?
Mariza puede llenar su tanque con 32 galones. Si solo tiene ¼ de gasolina en su tanque, ¿cuántos galones le faltan para tener su tanque lleno?
Don Fausto tiene un terreno de 42 000 metros cuadrados Si vende 3/7 de terreno, ¿qué fracción de terreno le queda?
Las preguntas relacionadas con el plano cartesiano o plano de coordenadas no solo incluyen encontrar distancias, pendientes o ecuaciones de una recta, también se puede evaluar la percepción y habilidad para identificar alguna coordenada usando preguntas verbales o figuras geométricas.
Estas preguntas, aunque son sencillas, requieren ciertos conocimientos previos, dale click a este link para saber cuales, PLANO CARTESIANO o puedes revisar el video que se presenta al final del artículo.
Ejercicios de práctica
1. ¿Cuál es el punto medio de la siguiente figura? Expresa sus coordedenadas.
2. ¿Cuáles serían las coordenadas del punto medio si el exagonal se mueve dos unidades a la derecha?
3. Si el punto «a» gira 90° en el sentido del reloj y el punto «b» se mantiene en el mismo lugar, ¿cuáles son las nuevas coordenadas del punto «a»?
4. Nombra las coordenadas del punto «b» y «c», si el triangulo (como se presenta en la imagen) se mueve tres unidades a la izquierda y dos hacia arriba.
El figura de abajo hace referencia a la pregunta 5 y 6
5. Si las coordenadas de las rectas «p» y «d» tienen la coordenada (2, -3) en comun, y «p» es 2 1/3 veces mas larga que «d». Indica la coordenada que queda al final de la recta «p.»
6. Si ambas rectas son del mismo tamaño, ¿cuál sería la coordenada en el extremo izquierdo del la recta «p»?
La figura de abajo hace referencia a las preguntas 7 y 8
7. Si las coordenadas de m (0, 0) y el triangulo rectángulo asentado sobre el eje de las «x» ¿cuál es la coordenada del punto «n»? Pista: hay que estar familiarizado con el Teorema de Pitágoras.
8. Si el punto «n» gira noventa grados en el sentido de las manecillas del reloj y el punto «m» se mantiene en su lugar, ¿cuáles son las nuevas coordenadas del punto «n»?
Las preguntas 9 y 10 hacen referencia a la figura de abajo
9. En el eje de las «x«, ¿qué coordenadas indican los extremos del diámetro?
10.Si el circulo se moviera tres unidades a la izquierda, ¿cuál sería su punto medio?
Los triángulos semejantes tienen la misma forma, diferente tamaño y medidas proporcionales. Un tipo de triángulos semejantes es el triángulo rectángulo y se forma cuando tenemos presente un ángulo de 90 grados (ángulo recto).
Estos triángulos los podemos encontrar en diversas circunstancias de la vida cotidiana como en la sombra de un poste, un edificio, una barda, etc. En este caso tenemos la sombra de un árbol y una persona.
Los ángulos “a” y “s” formarían el ángulo recto y mide 90°. También tenemos los lados correspondientes y son los que se encuentran en la misma posición. Por ejemplo, la altura del árbol y de la persona son lados correspondientes; al igual que las líneas rojas ab y sk. Por último, los lados “cb” y “ek” también son correspondientes.
Asignando valores tendríamos
Para obtener la altura del árbol son necesarios las tres medidas restantes (altura de la persona y su sombra y la sombra de del árbol).
Primer método:
Identificar los lados correspondientes, “ab” y “sk” después dividir la medida del lado más largo (sombra del árbol) con la del lado más chico (sombra de la persona) y multiplicarlo por la altura de la persona.
Ahí tendríamos (32 ÷ 4) x 6 = 48.
Segundo método:
Puede ser un poco más compleja para algunos y consiste en ordenar los datos por regla de tres identificando los lados correspondientes y quedaría de la siguiente manera:
Tercer método:
Aplicando una proporción, es el más sencillo pero no siempre se puede aplicar. Simplemente buscar un número que se múltiplo o divisor. Por ejemplo el 4 por 8 = 32 por tanto 6 x 8 = 48.
Encontrar medidas en triángulos semejantes no solo se aplica a los triángulos rectángulos, veamos otro ejemplo:
Acomodando la información en forma de proporción tenemos:
En Álgebra es importante distinguir entre un término, una expresión y una ecuación. Para resolver una ecuación es necesario sabersimplificar términos y multiplicar expresiones. Antes de continuar es importante que entiendas los temas anteriores, dale click a las letras azules si quieres repasar esos temas.
Una característica de la ecuación es que siempre tiene el signo de igualdad (=). Quiere decir que la cantidad expresada en la parte izquierda del signo igual es la misma que se encuentra en la parte derecha. Un ejemplo sencillo lo tenemos en la siguiente ecuación.
3x + 5 = 50
En la parte izquierda hay que buscar un número que multiplicado por tres y sumado a cinco nos de 50. En ecuaciones cortas se puede incluso hacer la operación mental que en este caso el valor de «x» es 15 porque 3 por 15 = 45 mas 5 nos da 50.
Veamos los pasos para resolver ecuaciones donde se requieren mas pasos.
x – 2x – 12 + 10 = 22 – 4x
PASO I
Simplificar si es necesario, esto es sumar, restar, multiplicar o dividir los términos en ambos lados de la ecuación. En la parte izquierda se suman los términos semajentes x – 2x nos da – x y -12 + 10 nos da – 2. A la derecha del signo igual no hay términos semejantes por tanto se queda igual.
-x – 2 = 22 – 4x
PASO II
Hay que ordenar la ecuación, quiere decir poner los números (coeficientes) del lado derecho de la ecuación y las letras (incógnitas) del lado izquierdo. IMPORTANTE, al hacer estos cambios, los números y letras cambian de signo.
-x + 4x = 22 + 2
El -2 se pasa a la derecha sumando porque estaba restando o negativo.
El – 4x pasa a la izquierda sumado porque estaba negativo del lado derecho.
PASO III
Simplificar si es necesario. -x + 4x = 22 + 2
– x + 4x se resta y nos da 3x.
22 + 2 se suman = 24
Tenemos así 3x = 24.
PASO IV
Despejar el último número (coeficiente). En este caso es el 3 y como esta multiplicando, lo despejamos dividiendo al 24
Para sumar fracciones vamos a identificar primero dos tipos de fracciones, las homogéneas que tienen el mismo denominador y las heterogéneas que tienen diferente denominador.
Las fracciones homogéneas se suman los numeradores y el denominador se recorre, es necesario simplificar si se requiere expresando el resultado en número mixto, entero o fracción propia.
Ejemplos I
Se suman los numeradores 1+ 2 = 3 y el denominador se recorre.
Ejemplo II
Se suman los numeradores 3 + 1 = 4, al pasar el denominador queda cuatro cuartos que es igual a un entero. Siempre que se tiene el mismo número como numerador y denominador es un entero.
En la suma de fracciones heterogéneas (diferente denominador) se usan métodos diferentes dependiendo de su país de origen.
PRIMER MÉTODO
Se busca el mínimo común múltiplo (m.c.m.) que es el número que puede ser divisible entre ambos denominadores.
Si el denominador mayor es divisible entre el otro denominador se puede usar como mínimo común múltiplo
Si son números chicos se puede obtener multiplicándolos los denominadores.
PASO I
Se busca el m.c.m. En el primer ejemplo es 15.
PASO II
Se divide el m.c.m. entre el denominador de la primera fracción y se multiplica por el numerador. (15 ÷ 3 x 1 = 5).
PASO III Para simplificar se busca un número que divida al numerador y denominador sin dejar residuo.
SEGUNDO MÉTODO
Este método se amplía las fracciones para tener fracciones homogéneas.
PASO I
Para tener el mismo denominador hay que convertir una o dos fracciones en fracciones homogéneas. (Generalmente se obtiene buscando un numero que multiplicado nos dé el mismo denominador)
Para obtener el mismo denominador hay que buscar un número que multipicado por el denominador nos de 6 y ese mismo número lo multiplicamos por el numerador.
PASO II
Substituye la fracción, suma los numeradores y pase el denominador
PASO III
Si es necesario, simplifica el resultado. Fracciones impropias se convierten a números mixtos.
Una fracción es un parte de un todo, puede ser una unidad o un grupo. Lo que determina el denominador es el número de veces en que se divide la unidad, en el siguiente ejemplo es el 7.
El numerador es la parte que queremos representar, en este caso, los cuadros blancos son 3.
En siguiente circulo esta dividido en ocho segmentos y eso representa el denominador. Las secciones marcadas de color verde son 5 y eso representa el numerador. Si quisieramos representar la parte blanca del circulo, seria 3/8.
En el siguiente ejemplo, 1/3 se obtiene dividiendo los 60 minutos entre tres. Así, sabrían que 2/3 de hora son 40 minutos. Por otra parte, si la hora la dividimos entre 4, tenemos las fracciones más conocidas de ¼ y ¾.
Las fracciones las podemos encontrar en la cotidianidad y las usamos en muchas circunstancias. Si tenemos un pastel, representa un entero, pero si lo dividimos en cuatro pedazos, cada uno es ¼ (un cuarto).
El denominador se determina en base al número de veces que se divie la unidad o en este caso el pastel. Si eran cuatro rebanadas y solo me sobra una, esta última representa ¼ porque es una rebanada de cuatro que tenía.
Las fracciones también pueden representan número de personas. Por ejemplo, si tenemos una clase de 12 estudiantes y falta la mitad de ellos a clases, podemos decir que falto media clase ósea ½. Sabemos que la mitad de la clase serian 6 estudiantes, por tanto ½ = 6 estudiantes.
¿Cuántos estudiantes representarían ¾ de la clase? Toda la clase, como muestra la imagen, se divide en cuatro partes, cada una representa 3 estudiantes y lo podemos obtener también dividiendo 12 ÷ 4 = 3, quiere decir que ¼ = 3 estudiantes, por tanto ¾ de clase, serian 9 estudiantes.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Si en la clase hay 12 estudiantes y faltan 4 estudiantes, ¿qué fracción de estudiantes asistieron a clases?
Si a la clase de 12 estudiantes asistieron 10 estudiantes, ¿qué fracción de estudiantes estuvo ausente?
Si un una yarda contiene 36 pulgadas, ¿cuántas pulgadas representa 1/3 de yarda?
¿Qué fracción de yarda representan 12 pulgadas?
¿Qué fracción de la yarda representarían 3 pulgadas?
Una de las áreas importantes en Álgebra son los problemas verbales para lo cual es importante estar familiarizado con el “lenguaje algebraico”.
Para plantear las oraciones en algebra vamos a recurrir a las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíz cuadrada. También se hace uso de las incógnitas (letras) donde las más comunes son x, y, y z. Revisa las siguientes tablas para que te familiarices con el lenguaje algebraico y como representar cada una de las operaciones.
Para poder identificar que representa una expresión verbal sigue los siguientes pasos:
Primero, hay que asignar una incognita (letra) a la cantidad desconocida.
Si hay otras cantidades desconocidas, hay que asignarles otra incognita (letra).
Utiliza las tablas anteriores para identificar qué operación matemática indica cada frase.
Por último, escribe la expresión con las operaciones que se indican.
Ejercicios de práctica
El producto de 5 y un número, divididos entre dos.
Un número elevado al cubo.
Doce menos que el doble de un número
Siete más que un número elevado al cuadrado
Cinco restado de un número
Cuatro veces un número dividido entre 3
Tres veces un número más la suma de la mitad de otro número
El cuadrado de un número más el cubo de ese mismo número
El producto de nueve y un número sumado a 15
Seis más el cuadrado de un número dividido entre el mismo número.
Una ecuación puede tener una o más variables, en específico las ecuaciones que usamos en una grafica tienen dos variables, esto se debe por las coordenadas que hay en el plano cartesiano “x” y “y”. En la siguiente ecuación y = 4x -3 tenemos las dos variables (letras) para resolverla, es necesario asignar un valor a cualquiera de las dos variables.
Las ecuaciones que forman una linea recta en la grafica recibe el nombre de ecuación lineal y para poder marcarla en el plano cartesiano es necesario conocer por lo menos dos puntos. Para eso hay que seguir los siguientes pasos:
(Al final un video y ejercicios)
PASO I
Para identificar el primer punto, hay que asignar un valor a la “x” y asi obtendremos un valor especifico para la “y”, generalmente se usa el cero “0” o números sucesivos. Una vez sustituido el valor de la “x” hay que despejar la “y”
y = 4x – 3
y = 4(0) – 3
y = – 3
Si el valor que le asignamos a la «x» fue 0 y el valor de “y” es -3, las coordenadas del punto A (0, -3). El primer número siempre representa las “x”.
PASO II
Hay que identificar el otro punto para la grafica se pueden asignar otro valor x= 1, se sustituye el valor de «x» en la ecuacion y = 4x – 3
y =4(1) – 3
y= 4 – 3
y = 1
Las coordenadas del punto H (1, 1) y se pueden ubicar en la recta
PASO III
Por último, graficamos la línea en el plano cartesiano usando las coordenadas del punto A y H. Para confirmar que la respuesta es correcta, se pueden asignar otros valores a la “x” y las coordenadas que se obtengan tendrán un orden sucesivo en la recta.
Se asigna otro valor a la “x” en este caso vamos a usar el 2.
y = 4(2) – 3
y = 8-3
y = 5
Las coordenadas del punto B (2, 5)
Como puedes ver ya usamos los valores 0, 1 y 2, ahora veamos que coordenadas nos da si sustituimos la x por los valores 3 y en otra ecuación por -1
y = 4(3) -3
y = 12 -3
y = 9
Las coordenadas del punto C (3,9)
La siguiente si x = -1
y = 4 (-1) – 3
y = – 4 – 3
y = -7
Las coordenadas del punto E (-1, -7)
También pueden resolver las ecuaciones lineales usando la calculadora TI-30XS Multiview.
EJERCICIOS DE PRACTICA
Grafica las siguientes ecuaciones. (La respuesta puede variar de acuerdo al valor que se le de a la “x”)
